综合模拟测试卷(七)

综合模拟测试卷(七)(满分150分，时间120分钟)一、单项选择题(本大题共20小题，1～12每小题2分，13～20每小题3分，共48分)1．已知函数f(x)＝25－x的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∪N＝()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x>1))))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x<1))))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－1<x<1))))))D．RD【解析】由题意得M＝R，故M∪N＝R.2．命题甲“G＝±eq\r(ab)”是命题乙“a，G，b三个数成等比数列”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要B【解析】G＝±eq\r(ab)a，G，b成等比数列，因为G可能为0，但a，G，b成等比数列⇒G＝±eq\r(ab).3．函数y＝(sin2x－cos2x)2周期有无数个，下列不是函数周期的是()A．2πB．πC.eq\f(2π,3)D.eq\f(π,2)C【解析】y＝(sin2x－cos2x)2＝1－2sin2xcos2x＝1－sin4x，∴周期T＝eq\f(π,2)的整数倍，故选C.4．等比数列1，eq\r(2)，2，eq\r(8)，…的第九项是()A．8B．16C．8eq\r(2)D．16eq\r(2)B【解析】a1＝1，q＝eq\r(2)，a9＝a1q8＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)))eq\s\up12(8)＝16.5．某班级安排甲乙丙丁四位同学参加4×100接力赛，他们的顺序由抽签随机决定，则甲跑第一棒的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,4)D【解析】甲乙丙丁被选中跑第一棒的概率是一样的，均为eq\f(1,4)，故选D.6．下列函数在其定义域上单调递增的是(以下选项中的参数，均使函数表达式有意义)()A．f(x)＝2x＋bB．f(x)＝－x2＋cC．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝log3axD．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝3axA【解析】易知f(x)＝2x＋b中k>0符合条件，故选A.7．圆x2＋y2＝1上点到直线3x＋4y－25＝0的最小距离是()A．6B．4C．5D．1B【解析】易知最小距离为d－r＝5－1＝4，故选B.8．二次函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x)))＝ax2＋4x－3的最大值为5，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(3)))＝()A．2B．－2C.eq\f(9,2)D．－eq\f(9,2)C【解析】函数f(x)的最大值为eq\f(4×a×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3))－42,4a)＝5，解得a＝－eq\f(1,2)，即f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋4x－3，∴f(3)＝eq\f(9,2).答案选C.9．已知圆柱底面周长为8πcm，高为3cm，则轴截面的面积是()A．12cm2B．24cm2C．36cm2D．48cm2B【解析】圆柱底面直径为eq\f(8π,π)＝8cm，∴轴截面面积为8×3＝24cm2.10．已知α是钝角，则－α是()A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角C【解析】α在第二象限，则由图可知－α在第三象限．11．在△ABC中，2sinBsinC＝1＋cosA，则△ABC是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形A【解析】由题意1＋cosA＝1－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋C))＝1－cosBcosC＋sinBsinC＝2sinBsinC，则cosBcosC＋sinBsinC＝1，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－C))＝1，故B＝C，所以三角形为等腰三角形，故答案选A.12．下列命题正确的是()A．两两相交的三条直线必共面B．三条平行直线必共面C．直线a，b共面，b，c共面，则a，c共面D．一个圆周上的三点可以确定一个平面D【解析】当三条直线相交于一点时，可能异面，故A错；三条平行直线可能异面，故B错；直线a，b共面，b，c共面，则a，c可能异面，故C错；一个圆周上的三点不在同一条直线上，故可确定一个平面，故选D.13．50件产品中有2件次品，任意抽出3件，至少一件次品的抽法有()A．Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,48)种B．(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,48)＋Ceq\o\al(1,48))种C．(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,48)－Ceq\o\al(1,48))种D．Ceq\o\al(3,100)种B【解析】当抽出一件次品时，即有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,48)种；抽出两件次品时，即有Ceq\o\al(1,48)种，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,48)＋Ceq\o\al(1,48)种，故选B.14．下面不等式成立的是()A．log32＜log23＜log25B．log32＜log25＜log23C．log23＜log32＜log25D．log23＜log25＜log32A【解析】因log25＞2，2>log23＞1，log32<1，所以log32<log23<log25.15．直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2＝0平行，则实数a＝()A．－1B．2C．－1或2D．0或1B【解析】∵l1与l2平行，∴a(a－1)－2＝0，a＝－1或a＝2.当a＝－1时，l1：x－2y＋1＝0，l2：x－2y＋1＝0，两直线相等，故舍去；当a＝2时，l1：2x＋2y－1＝0，l2：x＋y＋4＝0，即l1与l2平行，故选B.16．设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B且|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1B.eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,2)＋y2＝1D.eq\f(x2,4)＋y2＝1A【解析】由|BF2|＝|F1F2|＝2，得：c＝1，b＝eq\r(3)，a＝2，所以椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.17．小船以10eq\r(3)的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的速度为10，则小船的实际航行速度为()A．20eq\r(2)B．20C．10eq\r(2)D．10B【解析】结合向量和知识，可知实际航行速度即为和向量的模eq\r(（10\r(3)）2＋102)＝20，故选B.18．光线从点A(－2，1)射到x轴后反射到B(4，3)，则光线从A到B经过的总距离是()A．2eq\r(10)B．2eq\r(13)C．2eq\r(11)D．2eq\r(14)B【解析】点A(－2，1)关于x轴的对称点(－2，－1)，则光线从A到B经过的总距离是eq\r(（－2－4）2＋（－1－3）2)＝2eq\r(13)，故选B.19．某单位为鼓励职工节约用水作如下规定：每月用水不超过10m3，按每立方米x元收费；每月用水超过10m3，超过部分加倍收费．现有职工月缴水费16x元，则该职工本月实际用水()A．13m3B．14m3C．18m3D．26m3A【解析】可知该职工实际用水超过10，超过部分水费为(n－10)2x，则16x＝(n－10)2x＋10x，n＝13，故选A.20．一抛物线形拱桥，当水面宽2eq\r(6)时，水面离拱桥顶3m，当水面宽4m时，水面()A．上升1mB．下降1mC．上升2mD．上升3mA【解析】可设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，易知有点(eq\r(6)，－3)代入方程得p＝1，则x2＝－2y；当水面宽四米时，将x＝2代入得到y＝－2，即水面上升1米，故选A.二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)21．经过圆(x＋1)2＋y2＝16的圆心且过抛物线y＝eq\f(1,4)x2焦点的直线方程为____________．x－y＋1＝0【解析】即经过点(－1，0)和(0，1)的直线，则为x－y＋1＝0.22．若x>1，则x＋eq\f(9,x－1)的最小值为____________．7【解析】x＞1，∴x－1＞0，x＋eq\f(9,x－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))＋eq\f(9,x－1)＋1≥2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))·\f(9,x－1))＋1＝7，当且反当x－1＝eq\f(9,x－1)⇔x＝4时，原式有最小值7.23．若向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(1，2)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(1，－1)))，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(（2a＋b）))＝____________．3eq\r(2)【解析】2a＋b＝2(1，2)＋(1，－1)＝(3，3)，∴|2a＋b|＝eq\r(9＋9)＝3eq\r(2).24．已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(cosx)))＝cos2x，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(sin30°)))＝____________．－eq\f(1,2)【解析】∵cos2x＝2cos2x－1，∴f(x)＝2x2－1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin30°))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)－1＝－eq\f(1,2).25．已知某等差数列的首项为1，且公差不为0.若a2、a3、a6成等比，则数列{an}前六项的和为____________．－24【解析】由已知得(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，解得d＝－2a1＝－2，则S6＝－24.26．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率e＝eq\f(\r(6),3)，过点A(0，－b)和B(a，0)的直线与原点的距离为eq\f(\r(3),2)，则求椭圆的方程是____________．eq\f(x2,3)＋y2＝1【解析】联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(6),3),\f(ab,\r(a2＋b2))＝\f(\r(3),2)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\r(3),b＝1，))∴椭圆方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1.27．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0,－2x＋1，x<0)))，则f(x)的最小值为____________．－1【解析】作出这个分段函数的图像，易知最小值为－1.三、解答题(本大题共9小题，共74分)28．(7分)△ABC中，已知BC＝2，AB＝4，S△ABC＝2eq\r(3)，求AC.【解】S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC·sinB⇔2eq\r(3)＝eq\f(1,2)×4×2·sinB⇔sinB＝eq\f(\r(3),2)，∴cosB＝±eq\r(1－sin2B)＝±eq\f(1,2)，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，当cosB＝eq\f(1,2)时，AC2＝16＋4－8＝12，AC＝2eq\r(3)，当cosB＝－eq\f(1,2)时，AC2＝16＋4＋8＝28.AC＝2eq\r(7).29．(7分)点A(－2，m)关于点B(3，1)的对称点刚好在直线x＋y－1＝0上，求过点A、B的直线方程．【解】由中点公式可以得到，点A(－2，m)关于点B(3，1)的对称点为(8，2－m)，代入直线x＋y－1＝0，得m＝9，则过点(－2，9)，(3，1)的直线方程是8x＋5y－29＝0.30．(7分)已知f(x)＝m·n，其中m＝(sinωx＋cosωx，eq\r(3)cosωx)，n＝(cosωx－sinωx，2sinωx)(ω>0)，若f(x)图像中相邻的两条对称轴间的距离不小于π.(1)求ω的取值范围；(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a＝eq\r(7)，S△ABC＝eq\f(\r(3),2).当ω取最大值时，f(A)＝1，求b，c的值．【解】(1)f(x)＝m·n＝cos2ωx＋eq\r(3)sin2ωx＝2sin(2ωx＋eq\f(π,6))，∵f(x)图像中相邻的对称轴间的距离不小于π∴eq\f(π,2ω)≥π，∴0<ω≤eq\f(1,2)，∴ω的范围为(0，eq\f(1,2)]．(2)f(x)＝2sin(x＋eq\f(π,6))，∴f(A)＝2sin(A＋eq\f(π,6))＝1，∴sin(A＋eq\f(π,6))＝eq\f(1,2)，∵0<∠A<π，∴eq\f(π,6)<∠A＋eq\f(π,6)<eq\f(7π,6)，∴∠A＝eq\f(2π,3)，由S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(3),2)，得bc＝2，又∵a2＝b2＋c2－2bccosA，∴b2＋c2＋bc＝7，联立得b＝1，c＝2或b＝2，c＝1.31．(7分)设计师计划从4个一级方案和6个二级方案中，各取2个作为产品首轮筛选方案，不同的选择结果有m种；求二项式(1－mx2)8展开式中含x2项的系数．【解】由已知得不同的选择结果m＝Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,6)＝90，则二项式(1－90x2)8通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)×1×(－90x2)r，即r＝1，则系数为－720.32．(8分)设各项为正数的等比数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(an)))的前n项和为Sn，已知S1＝2，S3＝14.(1)求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(an)))的通项公式；(2)若数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(bn)))满足bn＝3log2an，求eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(bn)))的通项公式．【解】(1)∵S1＝a1＝2，S3＝a1＋a1q＋a1q2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋q＋q2))＝14，∴q2＋q－6＝0，∴q＝2(q＞0)，an＝a1·qn－1＝2×2n－1＝2n；(2)bn＝3log22n＝3n.33.(8分)在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝eq\r(2)，AB⊥AC.求：(1)直三棱柱的表面积；(2)异面直线BC1与AC所成角的度数．【解】(1)由题意知：BC＝eq\r(2)，S表面积＝(AB＋AC＋BC)×AA1＋2S△ABC＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\r(2)))×eq\r(2)＋1×1＝3＋2eq\r(2)；∵AC∥A1C1，∴异面直线BC1与AC所成的角为∠BC1A1，BB1⊥平面A1B1C1，∴BA1在平面A1B1C1上射影为A1B1，由A1C1⊥B1A1，知A1C1⊥BA1，BC1＝eq\r(BC2＋CC2)＝2，∴cos∠BC1A1＝eq\f(A1C1,BC1)＝eq\f(1,2)，∴∠BC1A1＝60°.即异面直线BC1与AC成60°.34．(10分)设函数f(x)＝︱x2－4x＋3︱，求：(1)在区间[0，4]上作出函数图像；(2)写出该函数在R上的单调区间．第34题图【解】(1