9三角形中的边角面积向量等关系-2022年高考“32”选择填空题精准靶心方案18讲

“3+2”选择、填空题精准靶心方案18讲第9讲三角形中的边角关系，面积、最值，与向量的联系20O(甲)D(丁)C(丙)B(乙)1．假设甲、乙、丙三镇两两之间的距离皆为20O(甲)D(丁)C(丙)B(乙)A．24.5公里B．25公里C．25.5公里D．26公里解：△ACD中，∠CAD=120，∠CDA=45，AC=20．由正弦定理，知，所以，选A．2．如图，四边形ABCD中，若∠BAC=，∠ABD=∠ACD=90，AB=a，BD=b，则CD为（）．A．asin+bcosB．asin－bcosC．acos－bsinD．acos+bsinBACD解：作矩形CDEF，使B在EF上，FBACD∵∠BAC=且∠ABD=90，∴∠ABF=∠EDB=－90．CD=BF+BE=ABcos（－90）+BDsin（－90）=acos（90－）+b[－sin（90－）]=asin－bcos．选B．3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，bcosC+（a+c）（bsinC－1）=0，QUOTEa+c=3bcosC+(a+c)(bsinC-1)=0则（）A．B=60B．B=45C．△ABC面积最大值为QUOTE3316D．△ABC周长最大值为QUOTE332分析：bcosC+（a+c）（bsinC－1）=0，QUOTEbcosC+(a+c)(bsinC-1)=0可得化简，得，QUOTEsinC.[2sin(B-p6)-1]易得B=60△ABC的面积=≤，QUOTES?ABC=12acsinB=34(a+c△ABC的周长=a+b+c=QUOTEL?ABC=a+b+c=3+b，由余弦定理易得b2=因为a+c≥，QUOTE=2ac易得ac≤QUOTE≤34，所以b≥，所以周长最小为，排除D．综上选AC．4．在△ABC中，三边长a，b，c，满足a+c=3b，则的值为（）A．B．C．D．解：∵a+c=3b，∴sinA+sinC=3sinB=3sin（A+C），∴2sincos=，∴，∴∴，故选C．PBA5．如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为PBAA．4+4cos B．4+4sinC．2+2cos D．2+2sin解：设圆心为O，根据∠APB=，可知AB所对圆心角∠AOB=2，故扇形AOB的面积为．由题意，要使阴影部分面积最大，则只需P到AB的距离最大即可，此时PO与AB垂直，故阴影部分面积最大值S=4－S△OAB+S△PAB．而S△OAB=，S△PAB=，故阴影部分面积最大值S=4+4sin，选B．特征解法：连接圆心和A、B．6．在平面直角坐标系xOy中，已知P（，0），A、B是圆C：上的两个动点，满足PA=PB，则△PAB面积的最大值是．7．已知O为坐标原点，点P1（cos，sin），P2（cos，－sin），P3（cos（+），sin（+）），A（1，0），则（）A．B． C．D．分析：由已知点的坐标分别求得对应向量的坐标，然后逐一验证四个选项得答案．选AC．说明：本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查同角三角函数基本关系式及两角和的三角函数，考查运算求解能力．7．已知f（x）=3sinx+2，对于任意的x2∈[0，]，都存在x1∈[0，]，使得f（x1）+2f（x2+）=3成立，则下列选项中，可能的值是（）A．B．C．D．解：注意仔细审题，关注关键词“任意的”、“都存在”．由题设f（x1）+2f（x2+）=3，变形得f（x1）=3－2f（x2+）．又由题设“f（x）=3sinx+2，对于任意的x2∈[0，]，都存在x1∈[0，]，使得f（x1）+2f（x2+）=3成立”，设f（x1）=3sinx1+2对任意的x1∈[0，]的值域为A；f（x2）=3－2f（x2+）=－1－6sin（x2+），x2∈[0，]的值域为B，则AB．又因为f（x1）∈[2，5]；当=时，x2+∈[，]，f（x2）=3－2f（x2+）=－1－6sin（x2+）∈[，5]，而符合题意；故选D．PMNO2PMNO28．某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，彰显城市积极向上的活力．某公式设计方案如图，等腰△PMN的顶点P在半径为20m的大圆O上，点M，N在半径为10m的小圆O上，圆心O与点P都在弦MN的同侧．设弦MN与对应劣弧所围成的弓形面积为S1，△OPM与△OPN的面积之和为S2，∠MON=2，当S2－S1的值最大时，该设计方案最美，则此时cos=BQ2PMNOA．B．Q2PMNO解：关注到等腰△PMN和扇形OMN，延长PO交MN于Q，则OQ垂直并平分MN．S2－S1=S△PMN－S△OMN－S1=S△PMN－（S△OMN+S1）=S△PMN－S扇形OMN===10sin（20+10cos）－100=200sin+50sin2－100．设f（）=200sin+50sin2－100，则f′（）=200cos2+200cos－200，令f′（）=0，可解得．易知当0＜cos＜时，f′（）＞0；当＜cos＜1时，f′（）＜0；当时，f′（）=0；说明这时存在（），使得S2－S1取得最大值，选B．ABDEFC1239．如图，正△ABC的边长为1，且∠1=∠2=∠ABDEFC123解：在△ABE中，∠ABE=60－15=45，∠AEB=180－15－45=120，利用正弦定理，得，而，即，．又因为△ABE与△CAD全等，所以AD=BE．故正△DEF的边长为DE=AE－AD=AE－BE=．10．某人在O点测量到远处有一物作等速直线运动．开始时该物位置在P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ=90．再过一分钟后，该物位置在R点，且∠QOR=30，则tan2∠OPQ=．OPQR解：因物体作等速直线运动，故RQ=QP．令RQ=QP=a，∠OPQOPQR则OQ=asin，∠QRO=60－．在△OQR中，由正弦定理，得，即，即，得tan=，故tan2=．11．设△ABC为一等腰直角三角形，∠BAC=90．若P、Q为斜边BC的三等分点，则tan∠PAQ=．BACQP解：设AB=AC=1，BACQP因为AQ2=12+－2×1×cos45=，所以AQ=；同理AP=．因此cos∠PAQ=．又因∠PAQ为锐角，所以tan∠PAQ=．另法：建立直角坐标系：A（0，0），B（0，1），C（1，0）．因为P，Q为BC的三等分点，所以P（，），Q（，），因此cos∠PAQ===，又因∠PAQ为锐角，所以tan∠PAQ=．12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b=6，a=2c，，则△ABC的面积为．解：注意到含60角的情形，如草图．于是过A作AD⊥BC于D，则D一定在BC上．ABDC6c60ABDC6c60在Rt△ACD中，得，将a=2c代入，得，因此△ABC的面积等于．13．已知＞0，存在实数，使得对任意n∈N*，，则的最小值是．分析：在单位圆中分析可得＞，由∈N*，即，k∈N*，即可求得的最小值．解：在单位圆中分析，由题意可得n+的终边要落在图中阴影部分区域（其中∠AOx=∠Box=），所以＞∠AOB=．因为对任意n∈N*都成立，所以∈N*，即，k∈N*，同时＞，所以的最小值为．14．在△ABC中，若sinA=2sinC，且三条边a，b，c成等比数列，则cosA的值为．解：由正弦定理，知，又b2=ac，于是a:b:c=2::1，从而由余弦定理，得．另法：由b2=acsin2B=sinAsicC，结合sinA=2sinC，得，而，上两式平方相加，得．15．设O为△ABC的外心，若，则sin∠BAC的值为．COBA解：O为△ABCCOBA条件所反映出来的关系隐蔽，先变变形为，结合所画图形，有，因此．CDOBA不妨设圆CDOBA由平面几何知识知道，，，所以∠BAC=90+∠OBC=，从而．另法：取AC的中点D，连接OD，则OD⊥AC．由得，知OD⊥BO，且B，A在直线OD同侧．不妨设圆O的半径为2，则线段，．在△BOC中，由余弦定理得；在△ABC中，由正弦定理得．说明：本题可以继续求出角B、C的某些三角函数值．16．设O为△ABC的外心，且，则tanA=．解：设△ABC的外接圆半径为R，则．由已知可得，所以16R2=25R2+36R2+60R2cos∠BOC，DCOBAxDCOBAxEy注意到∠BOC=2∠A，0＜A＜90，因此．17．已知函数f（x）=cosx与g（x）=－x2+1，它们的部分图形如图所示，则下列选项正确的是：①A（1，0）②BA=③BE=④tan∠DAE=1⑤曲线f（x）=cosx与线段AD所围的区域面积大于解：因为，g（1）=0，＞1，所以A（，0），B（1，0），BA=．又E（0，1），所以BE=．注意到∠DBE=45＞∠DAE，所以tan∠DAE＜tan∠DBE=1．△ACE的面积=．曲线f（x）=cosx与线段AD所围的区域面积大于△ADE的面积．因此本题正确选项为②③⑤．DBACbac18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosADBACbac解：根据题意，构造（画出）一个三角形ABC，如图．联想到直角三角形中的边角关系，故作BD⊥AC于D，则CD=acosC，AD=ccosA，于是AC=AD+DC=ccosA+acosC，从而已知条件变为2bcosB=b，∴cosB=．结合0＜B＜π，得B=．说明：试题的题干和结论十分简洁、优美．解决三角形中的边角关系问题的思维方向有：（1）用正弦定理化边为角；（2）用余弦定理把角的三角函数化为边；（3）边角互化．结合有关三角公式、三角形内角和定理与角的范围，不难解决问题．若以数想形、数形结合，则问题又获得上述巧妙新颖的解决．txABDC19．已知△ABC中，AB=2，txABDC△ABC有最大面积．解：画出示意图，过C作CD⊥AB于D，设BC=x，BD=t，则AC=x．由三角形三边间的关系，得，解得．由勾股定理，得CD2=AC2－AD2=BC2－BD2，即3x2－（2－t）2=x2－t2，∴．因此CD2=x2－t2=．所以，△ABC的面积S△ABC=≤，当x2=4，即BC=2时，S△ABC取得最大值．20．在△ABC中，∠B=60，AB=2，M是BC的中点，AM=，则AC=；cos∠MAC=．解：在△ABM中，AM2=BA2+BM2－2BA·BMcos60，代值，并整理得BM2－2BM－8=0，解得正数BM=4．∵点M是BC中点，∴MC=4，BC=8．在△ABC中，利用余弦定理可得AC=．在△AMC中，利用余弦定理可得cos∠MAC=．21．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O．若，则的值是．22．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=，AD=5，∠A=30，点E在线段CB的延长线上，且AE=BE，则=．－123．如图，在四边形ABCD中，∠B=60，AB=3，BC=6，且，，则实数的值为，若M，N是线