731离散型随机变量的均值精练-2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性）

7.3.1离散型随机变量的均值(精练）A学业基础一、单选题1．（2021·全国·高二课时练习）已知随机变量的分布列为：设，则的数学期望的值是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】根据分布列的性质，得，解得，所以随机变量的数学期望为．又，所以随机变量的数学期望为．故选：C.2．（2021·全国·高二课时练习）随机变量的分布列为：－1350.50.2则其均值的值为()A．2.4 B．1.9 C．1.5 D．1.4【答案】D【详解】由分布列的性质，得，由均值的定义，得．故选：D3．（2021·全国·高二课时练习）甲，乙两台自动车床生产同种标准件，表示甲车床生产件产品中的次品数，表示乙车床生产件产品中的次品数，经一段时间考查后，，的分布列分别是据此判定（）A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好C．甲与乙质量相同 D．无法判定【答案】A【详解】由分布列可得：，，，甲比乙质量好．故选：A.4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知某一随机变量的概率分布列如下，且，则的值为（）790.10.4A．4 B．5 C．3 D．7【答案】A【详解】解：由概率和为可知：，所以，解得：.故选：A5．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为：1240.40.30.3则等于（）A．15 B．11C．2.2 D．2.3【答案】A【详解】由随机变量的分布列，可得期望，所以.故选：A.6．（2022·全国·高三专题练习）林老师等概率地从1~3中抽取一个数字，记为，叶老师等概率地从1~5中抽取一个数字，记为，已知，其中是的概率，其中，则=（）A．3 B．5 C．6 D．8【答案】C【详解】解：依题意，，所以，，因为与相互独立，所以故选：C7．（2021·全国·高二课时练习）在一次抽奖活动中，主办方在一个箱子里放有个写有“谢谢参与”的奖券，1个写有“恭喜中奖”的奖券，若活动规定随机从箱子中不放回地抽取奖券，若抽到写有“谢谢参与”的奖券，则继续；若抽到写有“恭喜中奖”的奖券则停止，则抽奖次数的均值是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】，表示第一次就抽到写有“恭喜中奖”的奖券，其概率为；，表示第一次抽到写有“谢谢参与”的奖券，第二次抽到写有“恭喜中奖”的奖券，其概率为，，表示第一次抽到写有“谢谢参与”的奖券，第二次抽到写有“谢谢参与”的奖券，…,第n次抽到写有“恭喜中奖”的奖券，其概率为，所以的均值为．故选：C8．（2021·全国·高二单元测试）交强险是车主必须为机动车购买的险种.若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：交强险费率浮动因素和浮动比率表类别浮动因素浮动比率上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10%上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20%上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30%上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%上一个年度发生两次及两次以上有责任不涉及死亡的道路交通事故上浮10%上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类别数量20101038202若以这100辆该品牌车的投保类别的频率代替1辆车投保类别的概率，则随机抽取1辆该品牌车在下一年续保时的费用的期望为（）A．A元 B．0.958A元C．0.957A元 D．0.956A元【答案】D【详解】设1辆该品牌车在下一年续保时的费用为X元，则X的取值范围为，且，，，，，，∴∴，故选：D.二、填空题9．（2021·全国·高二课时练习）已知，，则________．【答案】2【详解】∵，又，∴，解得.故答案为：210．（2021·全国·高二课时练习）节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量(束)的统计(如表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元．2003004005000.200.350.300.15【答案】706【详解】节日期间这种鲜花需求量的均值为E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．设利润为Y，则Y＝5X＋1.6×(500－X)－500×2.5＝3.4X－450，所以E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706(元)．故答案为：70611．（2021·全国·高二课时练习）马老师从课本上抄录的一个随机变量的分布列如下表：123尽管“”处无法完全看清，且两个“”处字迹模糊，但能肯定两个“”处的数值相同，据此，_____．【答案】2【详解】设，，则．于是，．故答案为：2.12．（2021·全国·高二课时练习）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体切割为125个同样大小的小正方体.经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为，则的均值______.【答案】【详解】的所有可能取值为，大正方体8个顶点处的8个小正方体涂有3面油漆；每一条棱上除了两个顶点处的小正方体外剩余的都涂有两面油漆，所以涂有两面油漆的有个；每个表面去掉四条棱上的16个小正方体，还剩9个小正方体，这9个都是一面涂漆，所以一共有个小正方体涂有一面油漆；剩余的个内部的小正方体6个面都没有涂油漆，所以，，，，.故答案为：.三、解答题13．（2021·北京师大附中高三期中）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有、两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答类问题的概率为0.8，能正确回答类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．（1）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的值；（2）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；（3）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题?请直接写出结论，不必说明理由．【答案】（1）（2）分布列见解析（3）小明应选择先回答类问题（1）解：依题意可得（2）解：由已知可得，的所有可能取值为0，20，100，则，，所以的分布列为：0201000.20.320.48（3）解：由（2）可知小明先回答类问题累计得分的期望为，若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为0，80，100，，，，则的期望为，因为，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答类问题．14．（2021·云南·高三期中（理））2021年10月昆明生物多样性会议期间，一位摄影爱好者来到云南省旅游城市大理，这里有蝴蝶泉公园、洱海生态廊道、苍山地质公园三个著名的旅游景点，若这位摄影爱好者游览这三个景点的概率分别是，，，且是否游览哪个景点互不影响，设表示这位摄影爱好者离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．（1）求的分布列和数学期望；（2）记“时，不等式恒成立”为事件，求事件发生的概率．【答案】（1）分布列见解析，（2）（1）解：分别记“摄影爱好者游览蝴蝶泉公园”，“摄影爱好者游览洱海生态廊道”，“摄影爱好者游览苍山地质公园”为事件，，，由已知，，相互独立，，，，摄影爱好者游览的景点数的可能取值为，，，，相应地，没有游览的景点数的可能取值为，，，，所以的可能取值为，，，，所以的分布列为；（2）解：的可能取值为，，且时，不等式恒成立，有恒成立，即；当时，不等式恒成立，当时，不等式不恒成立．所以B应考能力15．（2021·全国·高二课时练习）一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数0，两个面上标有数1，一个面上标有数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上两个数的积的均值是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】设抛掷1次向上的数字为，抛掷2次向上的数字之积为，则由题意可知，，，所以，，，，所以．故选：A.16．（2021·全国·高二课时练习）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失.现有甲､乙两种相互独立的预防措施可供采取，单独采取甲､乙预防措施所需费用分别为45万元和30万元，采取相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防措施允许单独采取､联合采取或不采取，那么总费用（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望）最少的是（）A．不采取任何预防措施 B．单独采取甲预防措施C．单独采取乙预防措施 D．联合采取甲､乙两种预防措施【答案】D【详解】①不采取预防措施时，总费用即损失的期望为（万元）；②若单独采取甲预防措施，则采取预防措施所需费用为45万元，发生突发事件的概率为，损失的期望为（万元），所以总费用为（万元）；③若单独采取乙预防措施，则采取预防措施所需费用为30万元，发生突发事件的概率为，损失的期望为（万元），所以总费用为（万元）；④若联合采取甲､乙两种预防措施，则采取预防措施所需费用为（万元），发生突发事件的概率为，损失的期望为（万元），所以总费用为（万元）.综合①②③④，比较其总费用，可知选择联合采取甲､乙两种预防措施，可使总费用最少.故选：D17．（2021·江苏·南京市第二十九中学高二阶段练习）为喜迎“中国共产党建党100华诞”，某中学高二年级历史方向类的班级举行“党史知识”竞赛．在本次竞赛中共有40道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错倒扣2分”．某学生每道题答对的概率都为，则该学生在本次竞赛时得分的均值为（）A．36 B．32 C．172 D．144【答案】C【详解】由题设，每道题期望分值为，∴40道选择题的期望得分为.故选：C18．（2021·内蒙古赤峰·高二期末）某地有四人先后感染了新型冠状病毒，其中只有到过疫区，肯定是受A感染的．对于，因为难以断定他是受还是受感染的，于是假定他受和受感染的概率都是．同样也假定受，和感染的概率都是．在这种假定之下，，，中直接受感染的人数的数学期望为_______．【答案】【详解】解：由题意分析得可取的值为1、2、3，用“”、2、表示被直接感染的人数．四个人的传染情形共有6种：，，，，，．每种情况发生的可能性都相等，所以传染1人有两种情况，传染2人有三种情况，传染3人有一种情况．“”表示传染，没有传染给、“”表示传染给、，没有传染给，或传染给、，没有传染给“”表示传染给、、．于是有，，．可取的值为1、2、3，其中，，，分布列为：123．故答案为：．C新素养新题型19．(多选)（2021·江苏南通·高三阶段练习）某电视台的一档栏目推出有奖猜歌名活动，规则：根据歌曲的主旋律制作的铃声来猜歌名，猜对当前歌曲的歌名方能猜下一首歌曲的歌名.现推送三首歌曲，，给某选手，已知该选手猜对每首歌曲的歌名相互独立，且猜对三首歌曲的歌名的概率以及猜对获得相应的奖金如下表所示.歌曲猜对的概率0.80.60.4获得的奖金金额/元100020003000下列猜歌顺序中获得奖金金额的均值超过2000元的是（）A． B． C． D．【答案】AD【详解】根据规则，该选手获得奖金总额为.按的顺序进行，则该选手获得奖金总额为的可能取值有四种情况：，，，.概率分布表为01000300060000.20.320.2880.192.故A正确.同理，按的顺序猜获得奖金金额的均值为1872元，故B错误.按的顺序猜获得奖金金额的均值为1904元，故C错误.按的顺序猜获得奖金金额的均值为2112元，故D正确.故选：AD20．(多选)（2021·全国·高二课时练习）设随机变量表示从1到这个整数中随机抽取的一个整数，表示从1到这个整数中随机抽取的一个整数，则（）A．当时，B．当时，C．当（且）时，D．当时，的数学期望为【答案】BCD【详解】对A，当时，，，则，故A错误；对B，当时，，则由可得或，，故B正确；对C，当（且）时，，，则，故C正确；对D，当时，的可能取值为1，2，则，，故的数学期望为,故D正确.故选：BCD.21．(多选)（2020·全国全国·模拟预测）新冠肺炎疫情发生后，我国加紧研发新型冠状病毒疫苗，某医药研究所成立疫苗研发项目，组建甲、乙两个疫苗研发小组，且两个小组独立开展研发工作.已知甲小组研发成功的概率为，乙小组研发成功的概率为.该研发项目的奖金为100万元，分配方案是：若只有某一小组研发成功，则该小组获得全部奖金；若两个小组都研发成功，则平分全部奖金；若两个小组均未研发成功，则均不获得奖金.则（）A．该研究所疫苗研发成功的概率为B