251直线与圆的位置关系-2022-2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性）

2.5.1直线与圆的位置关系备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：直线与圆的位置关系判定；直线与圆的位置关系求距离的最值；直线与圆的位置关系求参数；直线与圆的相交的性质；直线与圆中的定点定值问题；圆的切线方程；圆的弦长与弦心距；直线与圆的应用课堂知识小结考点巩固提升知识归纳直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种（1）若，；（2）；（3）。还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断：（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交；（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C到直线的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：（1）相切d=rΔ＝0相交d<rΔ>0；相离d>rΔ<0。圆的切线方程：圆的斜率为的切线方程是过圆上一点的切线方程为：.一般方程若点(x0,y0)在圆上，则(x–a)(x0–a)+(y–b)(y0–b)=R2.特别地，过圆上一点的切线方程为.若点(x0,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立求出切线方程.考点讲解考点讲解考点1：直线与圆的位置关系判定例1．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能【答案】C【分析】判断圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系即可.【详解】圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心坐标为，半径圆心到直线2x+y+1＝0的距离由，可得圆与直线的位置关系为相交.故选：C【方法技巧】利用圆心到直线的距离与半径的大小关系【变式训练】【变式1】．直线绕原点按逆时针方向旋转后所得的直线l与圆的位置关系是（

）A．直线l过圆心 B．直线l与圆相交，但不过圆心C．直线l与圆相切 D．直线l与圆无公共点【答案】C【分析】根据给定条件，求出直线l的方程，再求出圆心到直线l的距离判断作答.【详解】直线过原点，斜率为，倾斜角为，依题意，直线l的倾斜角为，斜率为，而l过原点，因此，直线l的方程为：，又圆的圆心为，半径为，于是得点到直线l的距离为，所以直线l与圆相切.故选：C【变式2】．圆与直线的位置关系为（

）A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定【答案】B【分析】由圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系可得.【详解】将圆的方程化为标准方程：，得圆心坐标为，半径则圆心到直线的距离因为，所以圆与直线相离.故选：B【变式3】．（多选）已知圆，则下列曲线一定与圆有公共点的是（

）A．过原点的任意直线B．C．D．以为圆心且半径超过3的圆【答案】AC【分析】选项，根据点与圆的位置关系判断；选项，根据点到直线距离判断；C选项，根据圆心距与半径的关系判断.【详解】选项：原点在圆内部，所以过原点的任意直线与圆相交，所以正确；选项：圆心到直线距离，相离，所以B错误；C选项：圆心距，所以两圆相交，所以C正确；选项：时，圆心距，两圆为内含关系，无公共点，所以错误；故选：AC.考点2：直线与圆的位置关系求距离的最值例2．已知圆：，为直线：上任一点，过点作圆的切线为切点)，则最小值是____．【答案】【详解】圆：，圆心，半径，设圆心到直线：的距离为，故当圆心到直线上点的距离最小时，即圆心到直线的距离，此时最小，因为，所以，故最小值是．故答案为：.【方法技巧】根据题意易知当圆心到直线上点的距离最小时，最小，利用点到直线的距离公式计算即可.【变式训练】【变式1】．已知P是直线l：x＋y－7＝0上任意一点，过点P作两条直线与圆C：相切，切点分别为A，B.则｜AB｜的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据直线与圆相切的几何性质可知，当取得最小值时，最大，的值最小，当时，取得最小值，进而可求此时【详解】圆是以为圆心，2为半径的圆，由题可知，当最小时，的值最小.，当取得最小值时，最大，最小，点到直线的距离，故当时，最大，且最大值为，此时，则.故选：A【变式2】．直线分别与x轴､y轴相交于A､B两点，点P在圆上运动，则面积的最小值为___________.【答案】2【分析】先求得的长，再求得圆心到直线距离，再求得点到直线的距离的范围，故可得面积的取值范围，结合选项可得答案．【详解】直线分别与轴，轴交于，两点，，，则，点在圆上，圆心为，则圆心到直线距离，故点到直线的距离的范围为，则．的最小值为.故答案为：．考点3：直线与圆的位置关系求参数例3．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题意，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，，可化为其表示以为圆心，半径为2的圆的一部分，如图.当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得.设，则.由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则.故选：C.【方法技巧】根据直线和曲线方程在平面直角坐标系中画出图形，数形结合分析即可.【变式训练】【变式1】．若圆与轴有公共点，则实数m的取值范围是______．【详解】圆C的标准方程为，依题意有，解得，故答案为：.【变式2】．已知圆，点及点，从点A处观察点B，要使视线不被圆C挡住，则实数a的取值范围为___________.【详解】由题意知，AB所在直线与圆C相离时，视线不被挡住.因为点及点，所以直线AB的方程为，即，已知圆，所以圆心到直线AB的距离，即或.故答案为：.【变式3】．若圆上至少有三个不同点到直线的距离为，则的取值范围__．【详解】由圆的标准方程，可得圆心坐标为，半径为，圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应不大于等于，即，整理得，解得，即实数的取值范围是.故答案为：.考点4：直线与圆的相交的性质例4．已知直线与圆交于两点，为原点，且，则实数的值为__________.【答案】【详解】联立，设，则，因为，所以有，解得.故答案为：【方法技巧】联立直线与圆，再运用韦达定理即可求解．【变式训练】【变式1】．在直角坐标系中，直线与圆（）相交于，两点，且，则__________.【详解】设，联立，消元得，当时，，因为，所以，解得.此时，满足成立,故答案为：【变式2】．已知直线与圆相交于，两点，试求弦的长及弦的垂直平分线方程．【详解】圆的方程化为：，其圆心为，半径为．因圆心到直线的距离，故由勾股定理及垂径定理，得．由于弦的垂直平分线经过圆心，其法向量为，故其方程为，即弦的垂直平分线的方程为：．考点5：直线与圆中的定点定值问题例5．已知直线：与圆：交于，两点，则当弦最短时直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：根据题意，圆C的圆心C为（0，2），半径r＝2；已知直线l：2mx+y﹣m﹣1＝0恒过点P（）；∴当CP与AB垂直时，即P为AB的中点时，弦长|AB|最短，此时，则；此时﹣2m＝⇒m＝；此时直线AB的方程为﹣，变形可得2x﹣4y+3＝0．故选：A．【方法技巧】根据题意，分析圆C的圆心坐标与半径，分析直线所过定点P，可得当CP与AB垂直时，弦长|AB|最短，求出直线CP的斜率，通过垂直关系可得直线AB的斜率，即可得答案．【变式训练】【变式1】．在平面直角坐标系中，直线与圆：交于，，则__________．【答案】2020【详解】解析：．故答案为：2020.【变式2】．已知点在圆上运动，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将看作时圆上的点到点的直线的斜率的最小值即可求解.【详解】看作圆上的点到点的直线的斜率的相反数.当经过点的直线与上半圆相切时，切线斜率最小，设切线方程为，所以圆心到切线的距离等于半径，故，解得故当时，切线斜率最小，此时最大，最大值为，故选：C【变式3】．已知点关于直线的对称点为Q，以Q为圆心的圆与直线相交于A，B两点，且．(1)求圆Q的方程；(2)过坐标原点O任作一直线交圆Q于C，D两点，求证：为定值．解（1）解：点关于直线的对称点Q为由Q到直线的距离，所以所以圆的方程为．（2）当直线CD斜率不存在时，，所以．当直线CD斜率存在时，设为k，则直线为，记，联立，得所以，．．综上，为定值5．考点6：圆的切线方程例6．设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点到点距离的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．15【答案】B【详解】由圆，可知圆心，半径为3，又，所以，即点的轨迹方程为，故点到点距离的最小值为.故选：B.【方法技巧】利用圆的切线长公式可得点的轨迹方程为，然后利用圆的性质即得.【变式训练】【变式1】．已知直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，动点P在以点A为圆心，2为半径的圆上，当最大时，△APB的面积为（

）A． B．1 C．2 D．【答案】C【详解】由已知，圆A的方程为，当最大时，此时直线PB是圆的切线，即直线PB的方程为：或，当直线PA的方程为时，△APB的面积为，当直线PA的方程为时，△APB的面积为，故选：C．【变式2】．直线与圆相切，则的值为（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】利用几何法，由圆心到直线的距离等于半径列方程，即可求解.【详解】因为直线与圆相切，所以由圆心到直线的距离等于半径得：，即，解得：.故选：C【变式3】（多选）．过点作与圆相切的直线l，则直线l的方程为（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线方程.【详解】解：圆，即，则圆心为，半径为1，易知点在圆外，显然是其中一条切线.当切线斜率存在时，设切线方程为，则，解得，所以切线方程为.综上，切线方程为或.故选：BC.考点7：圆的弦长与弦心距例7（多选）．若直线被圆所截得的弦长为，则实数a的值为（

）A．0 B．4 C． D．【答案】AB【详解】由圆的方程可知圆心坐标为，半径.又直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离.又，所以，解得或.故选：AB【方法技巧】由圆的半径和弦长求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离列方程可求出a的值【变式训练】【变式1】．已知动直线与圆，则下列说法正确的是（

）A．直线过定点B．圆的圆心坐标为C．直线与圆的相交弦的最小值为D．直线与圆的相交弦的最大值为4【答案】ACD【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐一判断即可.【详解】对于A，直线，即，令，得，即直线过定点，故A正确；对于B，圆，即，圆心坐标为，故B错误；对于C，因为，所以直线所过定点在圆的内部，不妨设直线过定点为，当直线与圆的相交弦的最小时，与相交弦垂直，又因为，所以相交弦的最小为，故C正确；对于D，直线与圆的相交弦的最大值为圆直径4，故D正确.故选：ACD【变式2】．直线与圆C：相交于M，N两点，则______．【答案】4【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理求解.【详解】解：圆C：，其圆心坐标为，半径为3．圆心到直线2x－y＋1＝0的距离，则．故答案为:4.【变式3】．若直线与圆相交所得的弦长为，则_____．【答案】【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值.【详解】圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，由勾股定理可得，因为，解得.故答案为：.考点8：直线与圆的应用例8．某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区域，一名工作人员持以每分钟50米的速度从设备正东方向米的处出发，沿处西北方向走向位于设备正北方向的处，则这名工作人员被持续监测的时长为（

）A．1分钟 B．分钟C．2分钟 D．分钟【答案】C【详解】以设备的位置为坐标原点，其正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则，，可得，圆．记从处开始被监测，到处监测结束，因为到的距离为米，所以米，故监测时长为分钟．故选：C.【方法技巧】以设备的位置为坐标原点，其正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系，求得直线和圆的方程，利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式，求得的长，进而求得持续监测的时长.【变式训练】【变式1】．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为（

）A．8x－6y－21＝0B．8x＋6y－21＝0C．6x＋8y－21＝0D．6x－8y－21＝0【答案】D【分析】根据题意得到等量关系，整理后即可得到点P的轨迹方程.【详解】由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图.因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0.故选：D【变式2】．已知某台风中心从点出发，以每小时千米的速度向东偏北方向匀速移动，离该台风中心不超过千米的地区为危险区域．若在的东偏南方向上，且相距千米，则点处于危险区域的时长是__________小时．【答案】5【分析】以为原点，正东方向为轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标，根据弦长公式求出弦的长度，再除以速度，即可得到答案；【详解】以为原点，正东方向为轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标，以为圆心，千米为半径作圆，且圆与直线交于，两点，过点作，垂足为．由题意可知千米，千米，，则千米，从而千米，故点处于危险区域的时长是小时．故答案为：5知识小结知识小结线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断：（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交；（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C到直线的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：（1）相切d=rΔ＝0相交d<rΔ>0；相离d>rΔ<0。巩固提升巩固提升一、单选题1．已知的圆心是坐标原点O，且被直线截得的弦长为6，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设的方程为，根据弦长公式或弦长的一半，半径，圆心距的关系求出半径即可得解．【详解】由题可设的方程为．∵被直线截得的弦长为6，且圆心到直线的距离，∴，解得，可得的方程为．故选：C．2．若直线​与圆​相交于​两点，且​(其中​为原点)，则​的值为（

）A．​或​ B．​ C．​或​ D．​【答案】A【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.【详解】由可知，圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式可得故选：A3．直线与圆相切，则实数m等于（

）A．2 B． C．或 D．【答案】D【分析】根据直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径求解即可【详解】因为直线与圆相切，故，即，故故选：D4．在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为2，则实数a的值为（

）A． B．2 C．或 D．1或【答案】C【分析】利用圆心到直线的距离公式，及弦心距计算即可得出结果.【详解】圆心到直线的距离为，又，解得：或．故选：C5．直线和圆的位置关系为（

）A．相交 B．相切或相交 C．相离 D．相切【答案】A【分析】根据直线与圆的位置关系列式判断.【详解】由，得，所以圆心为，半径为.因为圆心到直线的距离为，所以直线和圆相交.故选：A6．若直线y＝x+b与曲线x恰有一个公共点，则b的取值范围是（）A．﹣1＜b≤1 B．﹣1≤b≤1C．b≤﹣1 D．﹣1＜b≤1或b【答案】D【分析】对曲线两边平方，结合范围，得到曲线是右半个圆，画出曲线的图象，再画出斜率为1的直线，平移直线，找到只有一个公共点的b的取值范围.【详解】解：曲线x即x2+y2＝1（x≥0）表示一个半径为1的半圆，如图所示．当直线y＝x+b经过点A（0，1）时，求得b＝1，当直线y＝x+b经过点B（1，0）时，求得b＝﹣1，当直线和半圆相切于点D时，由圆心O到直线y＝x+b的距离等于半径，可得1，求得b，或b（舍去）．故当直线y＝x+b与曲线x恰有一个公共点时b的取值范围是﹣1＜b≤1或b，故选：D.7．已知圆的方程为，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（

）A． B．10 C． D．5【答案】A【分析】确定圆的圆心和半径，确定当时，最短，根据圆心距和圆的半径以及弦长的关系，即可求得答案.【详解】圆的方程可化为，则，因为，故点在圆内，过点的最长弦一定是圆的直径，当时，最短，此时，则，故选：A．8．已知直线平分圆：，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意知直线过圆的圆心得到，求的最大值可转化为的最小值的倒数，利用基本不等式的妙用求最值即可.【详解】圆：，圆心，直线平分圆：，直线过圆心，即，，当且仅当，即，的最大值为.故选：B二、多选题9．已知圆：，则下列说法正确的是（

）A．点在圆M内 B．圆M关于对称C．半径为 D．直线与圆M相切【答案】BD【分析】A选项，代入点坐标，大于0，表示点在圆外；B选项，圆心在直线上，故关于直线对称；C选项，配方后得到圆的半径；D选项，利用点到直线距离进行求解.【详解】整理得：，∵，时，∴点在圆M外，A错；∵圆心M在直线上，∴圆M关于对称，B对；∵圆M半径为1，故C错；∵圆心到直线的距离为，与半径相等，∴直线与圆M相切，D对.故选：BD.10．已知圆与直线，则（

）A．直线与圆必相交 B．直线与圆不一定相交C．直线与圆相交所截的最短弦长为 D．直线与圆可以相切【答案】AC【分析】求出直线经过的定点，根据定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系，结合几何知识可知当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，由此可求出答案．【详解】由题意，圆的圆心，半径，直线变形得，得直线过定点，∵，∴直线与圆必相交，故A对，B、D错；由平面几何知识可知，当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，此时弦长为，故C对；故选：AC．三、填空题11．实数满足，则的取值范围是___________.【答案】【分析】设，故可转化为直线与圆有公共点，利用几何法可得参数取值范围.【详解】设，故直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，解得，故答案为：.12．设圆的圆心为C，直线l过，且与圆C交于A，B两点，若，则直线l的方程为___________.【答案】或【分析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，求出A，B两点的坐标，再判断是否成立，当直线l的斜率存在时，设直线，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用弦心距，弦和半径的关系列方程可求出，从而可求出直线方程【详解】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，由，得或，此时，符合题意.当直线l的斜率存在时，设直线，因为圆的圆心，半径，所以圆心C到直线l