322函数的奇偶性-2022-2023学年高一数学上学期知识点剖析讲义与分层练习(人教A版2019)

函数的奇偶性1函数奇偶性的概念(1)一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.(2)一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.由奇偶函数的概念可知道其定义域I是关于原点对称的.注①从定义可知，若x是函数定义域中的一个数值，则-x也必然在该定义域中．故判断函数的奇偶性的前提是：定义域关于原点对称．如fx=x,x∈(-1,1]②函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数．从定义可知，既是奇函数又是偶函数的函数只有一类，即f(x)=0，x2性质①偶函数关于y轴对称；②奇函数关于原点对称；③若奇函数f(x)定义域内含有0，则f(0)=0；证明∵f(x)为奇函数，∴f-x令x=0，则f-0=-f(0)，即f0④在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数．【例】设奇函数f(x)的定义域是[－2,2]解由于f(x)是奇函数，所以f(x【练】如图，给出了偶函数y=f(x)解∵函数f(x)是偶函数，∴其图象关于由图象可知f(1)3判断函数奇偶性的方法①定义法先判断定义域是否关于原点对称，再求f(-x),看下与f(x)的关系：若f-x=f(x)，则y=fx是偶函数；若f-x②数形结合若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于y轴对称，则函数是偶函数.③取特殊值排除法(选择题)比如：若根据函数得到f(1)≠f(-1)，则排除f(x)是偶函数.④性质法偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；奇函数的和、差(分母不为0)仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数；一个奇函数与偶函数的积为奇函数.对于复合函数Fxg(x)f(x)F偶函数偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数偶函数【题型1】判断函数的奇偶性【典题1】判断下列函数的奇偶性1fx=2x2+2x4f(x)=|x|x2解析(1)函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)不关于原点对称，故函数f(x)既不是奇函数，又不是偶函数．(2)∵函数的定义域为{-1,1}且f(x)=0，f(-1)=0，f(1)=0，∴f(-1)=f(1)且f-1∴函数f(x)=x(3)函数的定义域为R，∵f(-x)=(-x)∴函数f(x)=x(4)函数的定义域为R．方法1∵f(-x)=|-x|(-x)2+1=方法2∵y=|x|和y=x2+1是偶函数，∴(5)方法1f1=2，f-1=0，则f1+f-1故f(x)既不是奇函数，又不是偶函数．方法2画出函数图象如下图，函数图象即不关于y轴对称，也不关于原点对称，故f(x)既不是奇函数，又不是偶函数．点拨判断函数的奇偶性的方法有①定义法先判断定义域是否关于原点对称，再求f(-x),看下与f(x)的关系：若f-x=f(x)，则y=fx是偶函数；若f-x②数形结合若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于y轴对称，则函数是偶函数.③取特殊值排除法(选择题)④性质法偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；奇函数的和、差(分母不为0)仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数；一个奇函数与偶函数的积为奇函数.【巩固练习】1.函数y=x3-x的奇偶性为(A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数答案A解析f-x=-x32.设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)=f(x)-f(-x)在R上一定是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数答案A解析F-x=f-x-f3.如果定义在区间[3-a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么a=________.答案1解析∵f(x)是[3-a,5]上的奇函数，∴区间[3-a,5]关于原点对称，∴3-a=-5，a=8.4.判断函数f(x)=&1答案奇函数解析解法一：函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，当x>0时，-x<0，f(-x)=-1当x<0时，-x>0，f(-x)=1综上所述，在(－∞,0)∪(0,+∞)上总有因此函数f(x)是奇函数．解法二：作出函数的图象，如图所示．函数的图象关于原点对称，所以是奇函数．【题型2】函数奇偶性的运用【典题1】若函数f(x)=2x-a2x+1的图象关于A．-1 B．1 C．解析可知函数fx为偶函数，则f令x=1得，f(-1)=f(1)，即2-1-a2将a=-1代入解析式验证，符合题意．故选：A．点拨函数fx为偶函数，则f-x=fx是对于定义域内任意x均成立的，故本题令x=1求得a【典题2】已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x-a，则f解析根据题意，函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)=0，则有f(0)=20-a=1-a=0则f(1)=2+2-a=4-1=3，又由f(x)为奇函数，则f(-1)=-f(1)=-3.点拨若奇函数f(x)的定义域内能取到0，则f(0)=0.【典题3】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x(-∞,0)时，f(x)=x-x4，则当x(0,+∞)解析设x>0，则-x<0，则f(-x)=-x-(-x)又∵y=f(x)是偶函数，∴f(x)=f(-x)，x>0，从而在区间(0,+∞)上的函数表达式为f(x)=-x-x【巩固练习】1.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(-1)=1，则f1+f0A．1 B．0答案C解析根据题意，函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0，若f(-1)=1，则f(1)=-f(-1)=-1，则f(1)+f(0)=-1；故选：C．2.已知函数f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)=-2x2+x，则f(2)=A．-6 B．6答案D解析∵f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)=-2x∴f(-2)=-8-2=-10，即-f(2)=-10，则f(2)=10，故选：D．3.若函数f(x)=(2x+1)(x-a)x(a∈R)为奇函数，则实数aA．12 B．0 答案A解析根据题意，函数f(x)=(2x+1)(x-a)则f(-x)=-f(x)，即(2x+1)(x-a)x变形可得(2a-1)x=0，则有a=12；故选4.已知函数f(x)=ax+x4x+1是偶函数，则常数a的值为答案-解析易知函数定义域为R∵函数f(x)=ax+x∴f(-x)=f(x)对定义域内每一个x都成立∴-ax+-x∴-2ax=x∴(1+2a)x=0对定义域内每一个x都成立∴1+2a=0，即a=-15.已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+m,则f(-2)答案-3解析根据题意，f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)=2解可得：m=-1，即当x≥0时，f(x)=2x-1又由f(x)为奇函数，则f(-2)=-f(2)=-3.【题型3】函数的奇偶性与单调性的综合【典题1】若函数f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数，且在[-6,0]上单调递减，则()A．f(3)+f(4)>0B．f-3C．f(-2)+f(-5)<5D．f解析f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数，且在[-6,0]上单调递减，可得f(x)在[0,6]上单调递增，依题意有-4<-1⇒f-4点拨涉及到函数奇偶性和单调性，可借助函数的图象去理解消化.【典题2】函数f(x)=ax+b1+x2是定义在区间(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明：f(x)在区间(-1,1)上是增函数；(3)解不等式：f(t-1)+f(t)<0．解析(1)由题意知&f(0)=0&f12=25故f(x)=x(2)任取-1<x1<x2<1fx2-fx1=x21+x∵-1<x∴-1<x于是fx∴f(x)为区间(-1,1)上的增函数．(3)ft-1∵f(x)在区间(-1,1)上是增函数，∴－1<t-1<-t<1，解得点拨求解类似fx<f(a)【巩固练习】1.奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为-1，则2f(-6)+f(-3)的值为.答案-15解析f(x)在[3,6]上为增函数，f(x)max=f(6)=8∴2f-62.设偶函数f(x)的定义域为R，当x[0,+∞)时，f(x)是增函数，则f(－2),f(π),f(答案f(π)>f(-3)>f(-2)解析利用函数f(x)为R上的偶函数，将f(-2),f(-3)转化到区间[0,+∞)上，利用f(x)在此区间上是增函数比较大小．因为f(x)为R上的偶函数，所以f(-2)=f(2)，f(-3)=f(3)．又因为当x[0,+∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(-3)>f(-2)．3.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上为增函数，且f(x-1)>f(3-2x)，则实数x的取值范围是