2020-2024五年高考数学真题分类汇编专题14 导数（真题3个考点精准练+模拟练）原卷版

2020-2024年五年高考真题分类汇编PAGEPAGE1专题14导数（真题3个考点精准练+精选模拟练）5年考情考题示例考点分析2024年秋考21题基本不等式、极值、最值、导数的应用2023春考21题导数的综合应用2022秋考18题2022春考12题抽象函数的性质应用极限及其运算一．极限及其运算（共1小题）1．（2022•上海）已知函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，若将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，则．二．利用导数研究函数的单调性（共1小题）2．（2024•上海）对于一个函数和一个点，定义，若存在，，使是的最小值，则称点是函数到点的“最近点”．（1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是到点的“最近点”；（2）对于，，请判断是否存在一个点，它是到点的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；（3）已知存在导函数，函数恒大于零，对于点，，点，，若对任意，存在点同时是到点与点的“最近点”，试判断的单调性．三．利用导数研究函数的最值（共1小题）3．（2023•上海）已知函数，（其中，，，若任意，均有，则称函数是函数的“控制函数”，且对所有满足条件的函数在处取得的最小值记为．（1）若，，试判断函数是否为函数的“控制函数”，并说明理由；（2）若，曲线在处的切线为直线，证明：函数为函数的“控制函数”，并求的值；（3）若曲线在，处的切线过点，且，，证明：当且仅当或时，（c）（c）．一．选择题（共9小题）1．（2024•徐汇区校级模拟）现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积（单位：与直径（单位：的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为A． B． C． D．2．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数和在区间，上的图象如图所示，那么下列说法正确的是A．在到之间的平均变化率大于在到之间的平均变化率 B．在到之间的平均变化率小于在到之间的平均变化率 C．对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率 D．存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率3．（2024•闵行区校级三模）计算：A．0 B． C． D．4．（2024•浦东新区校级四模）下列各式中正确的是A． B． C． D．5．（2024•青浦区二模）如图，已知直线与函数，的图像相切于两点，则函数有A．2个极大值点，1个极小值点 B．3个极大值点，2个极小值点 C．2个极大值点，无极小值点 D．3个极大值点，无极小值点6．（2024•金山区二模）设，有如下两个命题：①函数的图像与圆有且只有两个公共点；②存在唯一的正方形，其四个顶点都在函数的图像上．则下列说法正确的是A．①正确，②正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①不正确，②不正确7．（2024•闵行区校级模拟）已知函数的定义域为，则下列条件中，能推出1一定不是的极小值点的为A．存在无穷多个，满足（1） B．对任意有理数，，，均有（1） C．函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数 D．函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数8．（2024•闵行区校级三模）已知函数的图像在，，，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是A． B． C． D．9．（2024•闵行区校级二模）已知是上的单调递增函数，，不等式恒成立，则的取值范围是A． B． C． D．二．填空题（共22小题）10．（2024•嘉定区二模）已知曲线上有一点，则过点的切线的斜率为11．（2024•静安区二模）已知物体的位移（单位：与时间（单位：满足函数关系，则在时间段内，物体的瞬时速度为的时刻（单位：．12．（2024•浦东新区校级模拟）某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当时间为时，酒杯中水升高的瞬时变化率是．13．（2024•青浦区二模）如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当水深为时，酒杯中水升高的瞬时变化率．14．（2024•徐汇区校级模拟）已知函数，则（1）．15．（2024•宝山区三模）若直线与曲线相切，则实数的值为．16．（2024•普陀区校级三模）曲线在点，处的切线方程是．17．（2024•浦东新区校级三模）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为．18．（2024•黄浦区校级三模）（文曲线在点处的切线倾斜角为．19．（2024•金山区二模）设，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为．20．（2024•虹口区二模）已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为．21．（2024•闵行区校级三模）中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为，与承载重力的方向平行的高度为，记矩形截面抵抗矩．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽与高的最佳之比应为．22．（2024•徐汇区模拟）如图，两条足够长且互相垂直的轨道、相交于点，一根长度为8的直杆的两端点、分别在、上滑动、两点不与点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点满足，则面积的取值范围是．23．（2024•黄浦区校级三模）函数的表达式为，如果（a）（b）（c）且，则的取值范围为．24．（2024•徐汇区模拟）已知函数在处有极值0，则．25．（2024•闵行区校级二模）已知函数，，如果对任意的，都有成立，则实数的取值范围是．26．（2024•杨浦区校级三模）若函数在上存在最小值，则实数的取值范围是．27．（2024•浦东新区校级三模）已知函数在上无极值，则的取值范围是．28．（2024•黄浦区校级三模）已知，，若（a）（b），且的最小值为3，则实数的值为．29．（2024•黄浦区校级模拟）设函数，若对任意，皆有成立，则实数的取值范围是．30．（2024•浦东新区校级模拟）设函数，，若有且仅有两个整数满足，则实数的取值范围为．31．（2024•浦东新区校级模拟）若函数的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数具有性质．若函数具有性质，其中，，为实数，且满足，则实数的取值范围是．三．解答题（共25小题）32．（2024•闵行区三模）已知函数．（其中为常数）．（1）若，求曲线在点，（2）处的切线方程；（2）当时，求函数的最小值；（3）当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由．33．（2024•静安区二模）已知，记且．（1）当是自然对数的底）时，试讨论函数的单调性和最值；（2）试讨论函数的奇偶性；（3）拓展与探究：①当在什么范围取值时，函数的图像在轴上存在对称中心？请说明理由；②请提出函数的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明）34．（2024•嘉定区二模）已知常数，设．（1）若，求函数的最小值；（2）是否存在，且、、依次成等比数列，使得、、依次成等差数列？请说明理由．（3）求证：“”是“对任意，，，都有”的充要条件．35．（2024•奉贤区三模）若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”．（1）试问函数是否为函数的“导控函数”？（2）若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”；（3）若，函数为偶函数，函数是函数的“导控函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”．36．（2024•崇明区二模）已知．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数存在两个不同的极值点，，求证：；（3）若，，数列满足，．求证：当时，．37．（2024•黄浦区校级三模）已知，，是自然对数的底数．（1）当时，求函数的极值；（2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；（3）当时，若满足，求证：．38．（2024•浦东新区校级四模）已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若恒成立，求的取值范围；（3）求证：．39．（2024•浦东新区校级模拟）已知，其中．（1）若曲线在点，（2）处的切线与直线垂直，求的值；（2）设，函数在时取到最小值，求关于的表达式，并求的最大值；（3）当时，设，数列满足，且，证明：．40．（2024•闵行区校级二模）已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，证明：有且只有一个零点；（3）求函数在，上的最小值．41．（2024•徐汇区校级模拟）已知函数，，令．（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）当为正数且时，，求的最小值；（3）若对一切都成立，求的取值范围．42．（2024•宝山区三模）定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”．（1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；（2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程；（3）已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，，若，4，5，，，证明：．43．（2024•黄浦区二模）若函数的图像上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图像的“自公切线”，称这两点为函数的图像的一对“同切点”．（1）分别判断函数与的图像是否存在“自公切线”，并说明理由；（2）若，求证：函数有唯一零点且该函数的图像不存在“自公切线”；（3）设，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图像的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”．44．（2024•浦东新区校级模拟）设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图像只有唯一的公共点，则称为“函数”，切线为一条“切线”．（1）判断是否是函数的一条“切线”，并说明理由；（2）设，求证：存在无穷多条“切线”；（3）设，求证：对任意实数和正数，都是“函数”．45．（2024•黄浦区校级三模）设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”．（1）判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由；（2）已知，．证明：点是的0度点；（3）求函数的全体2度点构成的集合．46．（2024•闵行区校级三模）已知函数，．（1）判断函数的奇偶性；（2）若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围；（3）记是自然对数的底数）．若对任意、，且时，均有成立，求实数的取值范围．47．（2024•黄浦区校级三模）已知函数，，．（1）（1），（1），求实数，的值；（2）若，，且不等式对任意恒成立，求的取值范围；（3）设，试利用结论，证明：若，，，，其中，，则．48．（2024•青浦区校级模拟）已知函数，其中为实数．（1）若是定义域上的单调函数，求实数的取值范围；（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；（3）记，若，为的两个驻点，当在区间上变化时，求的取值范围．49．（2024•松江区校级模拟）已知函数的图像在处的切线与直线平行．（1）求实数的值；（2）若关于的方程在，上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．（3）是否存在正整数，使得满足，的无穷数列是存在的，如果存在，求出所有的正整数的值，如果不存在，说明理由．50．（2024•浦东新区校级模拟）设函数，．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，曲线与有两条公切线，求实数的取值范围；（3）若对，恒成立，求实数的取值范围．51．（2024•浦东新区校级模拟）设定义域为的函数在上可导，导函数为．若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”．（1）判断是否为上的（1）函数，说明理由；（2）若实数满足：为上的函数，求的取值范围；（3）已知函数存在最大值．对于：：对任意，与恒成立，：对任意正整数，都是上的函数，问：是否为的充分条件？是否为的必要条件？证明你的结论．52．（2024•杨浦区校级三模）设函数（其中为非零常数，是自然对数的底），记．（1）求对任意实数，都有成立的最小整数的值；（2）设函数，若对任意，，存在极值点，求证：点在一定直线上，并求该定直线方程；（3）是否存在正整数和实数，使，且对任意的正整数，至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的和，若不存在，说明理由．53．（2024•普陀区模拟）对于函数，和，，设，若，，且，皆有成立，则称函数与“具有性质”．（1）判断函数，，与是否“具有性质（2）”，并说明理由；（2）若函数，，与“具有性质”，求的取值范围；（3）若函数与“具有性质（1）”，且函数在区间上存在两个零点，，求证．54．（2024•松江区二模）已知函数为常数），记．（1）若函数在处的切线过原点，求实数的值；（2）对于正实数，求证：；（3