正方形-【人教版期末真题】广西2022-2023八年级数学下学期期末复习专练_第1页
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文档简介

18.2.3正方形-【人教版期末真题精选】广西2022-2023八

年级数学下学期期末复习专练

一、单选题

1.(2022春・广西贺州•八年级统考期末)如图,已知E是正方形ABCD对角线AC上一

点,且•=则NOBE的度数是()

C.22.5°D.30°

2.(2022春•广西南宁•八年级统考期末)如图,已知四边形ABC。是平行四边形,下列

结论中不正确的是()

A.当AB=BC时,它是菱形B.当AC1BO时,它是菱形

C.当ZA3C=90。时,它是矩形D.当AC=B。时,它是正方形

3.(2022春•广西桂林•八年级统考期末)顺次连接菱形四边中点得到的四边形是()

A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形

4.(2022春.广西桂林.八年级统考期末)如图,正方形ABCO的边长为4,将正方形折

叠,使顶点。落在BC边上的点E处,折痕为GH,若BE:EC=3:1,则线段C4的长

是()

15

A.3B.C.1D.2

8

5.(2022秋・广西百色•八年级统考期末)如图,在正方形A8CD中,AB=3,点E,F分

别在边AB,CO上,NEFD=60°.若将四边形E8CF沿EF折叠,点8恰好落在AO边

上点8'处,则5E的长度为()

A.1B.aC.73D.2

6.(2022春•广西贺州•八年级统考期末)如图,将正方形OABC放在平面直角坐标系中,

O是原点,点A的坐标为(1,G),则点C的坐标为()

A.(―G,1)B.(—1,V5)c.(6,1)D.(―G,—I)

7.(2022春•广西百色・八年级统考期末)矩形、菱形、正方形都具有的性质是()

A.对角互补B.对角线互相垂直

C.对角线互相平分D.四边相等

8.(2022春・广西河池•八年级统考期末)如图,正方形A8CZ)的周长为24,P为对角线

AC上的一个动点,E是8的中点,则PE+PD的最小值为()

试卷第2页,共8页

A.35/5B.3亚C.6D.5

9.(2022春•广西南宁•八年级统考期末)下列说法正确的是()

A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形

B.对角线相等的平行四边形是菱形

C.三个角都是直角的四边形是矩形

D.一组邻边相等的平行四边形是正方形

10.(2022春•广西来宾♦八年级统考期末)如图,AA8C中,AB=AC,点。、E分别是

边AB、AC的中点,点G、F在BC边上,四边形OEFG是正方形.若QE=2cm,则AC

的长为()

A.3>/3cmB.4cmC.26cmD.25/5cm

二、填空题

11.(2022秋•广西贺州•八年级统考期末)如图,将正方形OABC放在平面直角坐标系

中,。是原点,A的坐标为(1,6),则点C的坐标为.

12.(2022春•广西贺州•八年级统考期末)如图,正方形ABCD的对角线AC.BD交于

点O,E在2C上,F为。E的中点,△CE尸的周长为18,且CE=5,则OF=.

D

13.(2022春・广西桂林•八年级统考期末)如图,在边长为4的正方形A8CD中,E是

48边上的一点,且4E=3,点Q为对角线AC上的动点,则48EQ周长的最小值为一

14.(2022春•广西崇左•八年级统考期末)如图,E是边长为6的正方形的边A8

上一点,且AE=2,P为对角线5。上的一个动点,则VME周长的最小值是.

15.(2022春・广西贺州•八年级统考期末)如图,已知正方形ABC。的边长为6,E、F

分别是AB、BC边上的点,且NEC(尸=45。,将4DAE绕点。逆时针旋转90。,得到△DCM

若AE=2,则FM的长为—.

16.(2022春・广西贵港•八年级统考期末)如图,在边长为2的正方形A8CD中,动点F,

E分别以相同的速度从力,C两点同时出发向C和8运动(任何一个点到达即停止),

连接AE,BF交于点、P,过点尸作PM〃C。交8c于M点,PN〃BC交CD于N点、,连

接MN,在运动过程中则下列结论:①丝△5CF;②AE=BF;@AE±BF;④线

段MN的最小值为逐-1.其中正确的结论有一.(填写正确的序号)

试卷第4页,共8页

17.(2022春•广西来宾•八年级统考期末)如图,菱形A8C。中,ZB=60°,AB=g,

则以4c为边长的正方形ACEF的面积为.

18.(2022春•广西桂林.八年级统考期末)如图,正方形ABCD的边长为8,在各边上

顺次截取AE=BF=CG=DH=5,则四边形EFGH的面积是

三、解答题

19.(2022春•广西桂林・八年级统考期末)如图,在矩形ABCQ中,NBAO的平分线交

BC于点、E,于点/,OG_LAE于点G,DG与EF交于点O.

(1)求证:四边形ABEF是正方形;

(2)AD=AE,求证:AB=AG;

(3)在(2)的条件下,已知A3=l,求。。的长.

20.(2022春•广西南宁•八年级统考期末)如图,四边形A8CQ是平行四边形,AE//BD,

AE与CB的延长线交于点E,OE交AB于尸.

EBC

⑴求证:BC=BE;

(2)连接CF,ZADF=ZBCFAD=2AF,求证:四边形ABC。是正方形.

21.(2022春・广西来宾・八年级统考期末)已知:如图,在矩形ABC。中,M、N分别是

边A。、BC的中点,E、F分别是线段8例、CM的中点.

(1)求证:ZkABM且△£)";

(2)当A8:A。的值为多少时,四边形MENF是正方形?请说明理由.

22.(2022春•广西南宁•八年级校考期末)如图,正方形ABCD边长为4,点E在边AB

上(点E与点A、8不重合),过点A作AF_LDE,垂足为G,AF与边BC相交于点F.

(1)求证:△AOF也△£)(7£;

13

(2)若ZkOEF的面积为了,求AF的长;

⑶在(2)的条件下,取£>E,AF的中点M,N,连接MN,求MN的长.

23.(2022春・广西贵港•八年级统考期末)已知:如图,边长为4的菱形A8CD的对角线

AC与8。相交于点0,若NC4£>=/D3C.

试卷第6页,共8页

(1)求证:四边形4BCD是正方形.

(2)E是0B上一点,BE=l,且OHLCE,垂足为“,。”与0C相交于点F,求线段

OF的长.

24.(2022春・广西百色•八年级统考期末)如图,在正方形ABC。中,AE.BF相交于点

DEC

25.(2022春•广西贵港•八年级统考期末)如图,在矩形A8CO中,点E,F分别在8C,

4-----------B

(1)求证:四边形ABC。是正方形;

(2)若AF=3&,BE=\,求四边形ABC。的面积.

26.(2022春•广西南宁•八年级统考期末)如图,正方形A3CO的边长为6.E,尸分别是

射线AB,AD上的点(不与点A重合),且£C_Lb,M为所的中点.P为线段上

图1

(1)求证:BE=DF;

(2)如图1:当P/W_LEF时,求AE的长;

(3)如图2:在(2)的条件下,。是4尸的中点,连接MQ,求尸的面积.

试卷第8页,共8页

参考答案:

I.c

【分析】根据正方形的性质求出NBAC=NA8D=45。,再利用三角形内角和定理和等腰三

角形的性质求出ZABE=61.5°即可求出"BE的度数.

【详解】解:;四边形ABCD是正方形,

NBAC=ZABD=45°,

•/AB=AE,

I8()o-N8AE

NABE=ZAEB==67.5°

2

ZDBE=NABE-ZABD=22.5°,

故选C.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质,三角形内角和定理,等腰三角形的性质,正确求出

ZABE=67.5。是解题的关键.

2.D

【分析】根据菱形的判定,矩形的判定进行逐一判断即可.

【详解】解:A、♦.•四边形A3CD是平行四边形,AB^BC,

四边形ABC。是菱形,说法正确,不符合题意;

B、;四边形A8CZ)是平行四边形,AC1BD,

二四边形ABC。是菱形,说法正确,不符合题意;

C、;四边形A3CD是平行四边形,ZABC=90°,

四边形ABCO是矩形,说法正确,不符合题意;

D、:四边形48co是平行四边形,AC=BD,

四边形ABC。是矩形,说法错误,符合题意;

故选D.

【点睛】本题主要考查了菱形的判定,矩形的判定,正方形的判定,熟知菱形和矩形的判定

条件是解题的关键.

3.C

【分析】画出图形,根据菱形的性质得到ACJ.BD,根据三角形中位线定理、矩形的判定定

理证明结论.

【详解】解:•..四边形ABCQ是菱形,

答案第1页,共21页

HD

:.ACLBD,

,:E,F,G,”是菱形各边的中点,

J.EFUBD,FG//AC,

:.EFLFG,

同理:FGLHG,GHLEH,HE1EF,

,四边形EFG”是矩形.

故选:C.

【点睛】本题考查的是中点四边形,掌握菱形的性质定理、矩形的判定定理以及三角形的中

位线定理是解题的关键.

4.B

【分析】根据折叠的性质,可得£>,=£",设C〃=x,则DH=EH=4-x,根据

BE:EC=3:1,可得CE=1,在RrAECH中,根据勾股定理,列出方程,解出即可得出C4

的长.

【详解】解:设CH=x,则O〃=E〃=4-x,

VBE:EC=3:\,BC=4,

:.CE=LBC=1,

4

在RlAECH中,

,:EC2+CH2=EH2,

/.1+x2=(4-x)2,

解得:X=~,

o

即CH=".

8

故选:B

【点睛】本题主要考查正方形的性质以及翻折变换,折叠问题其实质是轴对称变换.解题时,

答案第2页,共21页

常常设要求的线段长为X,然后根据折叠和轴对称的性质用含X的代数式表示其他线段的长

度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案.

5.D

【分析】由CQ〃AB得到NEFO=NFEB=60。,由折叠得到NFEB=NFEB'=60。,进而得到

ZAEB'=60°,然后在RJAE3'中由30。所对直角边等于斜边一半即可求解.

【详解】解:•••四边形ABCO是正方形,

:.CD//AB,

:.NEFD=NFEB=60。,

由折叠前后对应角相等可知:ZFEB=ZFEB'=60°,

:.ZAEH=180°-NFEB-NFEB'=60°,

:.ZAB,E=30°,

设AE=x,贝IJ5E=B'E=2X,

:.AB=AE+BE^x=?>,

.•.41,

BE-2x^2,

故选:D.

【点睛】本题借助正方形考查了折叠问题,30。角所对直角边等于斜边的一半等知识点,折

叠问题的性质包括折叠前后对应边相等,对应角相等,折叠产生角平分线,由此即可解题.

6.A

【详解】解:如图:过点A作ADLx轴于D,过点C作CELx轴于E,

ZOAD+ZAOD=ZCOE+ZAOD,

二NOAD=/COE,

;OC=OA,ZODA=ZOEC=90°,

.,.△OAD^AOCE全等,

••.OE=AD=5CE=OD=1,

点C的坐标为(41),

故选A.

7.C

答案第3页,共21页

【分析】A中菱形对角不互补,则错误,B中矩形对角线不互相垂直,则错误,C中平行四

边形的对角线互相平分,以上三个图形都是平行四边形,正确,D三个图形中,矩形四边不

相等,错误.

【详解】解:A.菱形对角不互补,故本选项错误;

B.矩形对角线不互相垂直,故本选项错误;

C.平行四边形的对角线互相平分,以上三个图形都是平行四边形,故本选项正确;

D.三个图形中,矩形四边不相等,故本选项错误.

故选C.

【点睛】本题考查了正方形的性质,主要从对角线着手考查的,正方形是平行四边形得最典

型的图形.

8.A

【分析】由于点B与。关于AC对称,所以连接BE,与AC的交点即为P点.此时PE+P0=BE

最小,而8E是直角△C8E的斜边,利用勾股定理即可得出结果;

【详解】解:如图,连接8E,设8E与AC交于点尸,

•.•四边形ABC。是正方形,

.•.点B与。关于AC对称,

:.P'D=P'B,

:.P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小.

即P在AC与BE的交点上时,尸D+PE最小,即为2E的长度.

•.•正方形ABCD的周长为24

二直角△CBE中,ZBCE=90°,BC=6,CE=^CD=3,

BE=\ld+W=35

故选A.

答案第4页,共21页

【点睛】本题题考查了轴对称中的最短路线问题,要灵活运用正方形的性质、对称性是解决

此类问题的重要方法,找出尸点位置是解题的关键

9.C

【分析】根据平行四边形和特殊的平行四边形的判定方法依次进行判定即可.

【详解】解:A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形不是平行四边形,选项错误;

B.对角线相等的平行四边形是矩形,选项错误;

C.三个角都是直角的四边形是矩形,选项正确;

D.一组邻边相等的平行四边形是菱形,选项错误.

故选:C.

【点睛】本题考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定,熟练掌握各个判定方法是解

题的关键.

10.D

【详解】解::点。、E分别是边A3、AC的中点,

:.DE=^BC,

*.*DE=2cmf

/.BC=4cm,

•:AB=ACt四边形OE/G是正方形.

:.ZB=ZCfDG=EF=2,ZDGF=ZEFG=90°9

:.NDGB=/EFC=9U。,

:•△BDGQACEF,

;.BG=CF=T,

:.EC^+f=5

.*.AC=25/5cm.

故选:D.

11.卜6,1)

【分析】如图作轴于F,CE_Lx轴于E,先证明ACOE丝△OA尸,推出CE=OF,OE

—AF,由此即可解决问题.

【详解】解:如图作AFLx轴于F,CELx轴于E.

答案第5页,共21页

•••四边形ABCO是正方形,

:.OA=OC,ZAOC=90°,

,:ZCOE+ZAOF^90°,N4。尸+NOAF=90°,

:.ZCOE=ZOAF,

在ACOE和△OAF中,

ZCEO=ZAFO

<ZCOE=ZOAF,

OC=OA

:.^\COE^/\OAF,

:.CE=OF,OE^AF,

VA(1,6),

:.CE=OF=\,OE=AF=旧,

二点C坐标卜8,1),

故答案为:(-73,1).

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质,作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

12.-

2

【分析】取DC的中点//,连接FH,根据正方形对角线交点是对角线的中点及尸为OE的

中点可得OH是△D8C的中位线,FH是,OEC的中位线,在根据正方形的性质得

NDCB=90°,可得△E>BC和,.DEC为直角三角形,根据直角三角形斜边的中线性质利用

△CEF的周长为18可求出再利用勾股定理即可求得CD,则利用中位线的性质即可求

解.

【详解】解:取。C的中点〃,连接

答案第6页,共21页

D

正方形ABC。的对角线AC.80交于点0,且尸为OE的中点,

.•.OH是△O8C的中位线,是:.DEC的中位线,

又四边形A3CD是正方形,

:.BC=DC,ZDCB=90°,

■■■/\DBC和.DEC为直角三角形,

.-.CF=EF=-DE,

2

又ACE尸的周长为18,且CE=5,

“〜18-513l,,5

EF=CF=----=——,FH=—CE=一,

2222

:.DE=2EF=\3f

.\CD=^DE2-CE2=V132-52=12>

.・.BC=CD=\2,

,,.OH=LBC=6,

2

57

:.OF=OH-FH=6——=-,

22

故答案为:7.

【点睛】本题考查了三角形中位线性质、直角三角形斜边的中线性质、勾股定理、正方形的

性质,解题的关键熟练掌握中位线性质及直角三角形斜边的中线性质.

13.6

【分析】连接80,DE,根据正方形的性质可知点8与点。关于直线AC对称,故。E的长

即为8Q+QE的最小值,进而可得出结论.

【详解】解:连接80,DE,

答案第7页,共21页

•.•四边形ABC。是正方形,

,点B与点D关于直线AC对称,

的长即为BQ+QE的最小值,

•••DE=BQ+QE=y/Alf+AE2=742+32=5,

△BEQ周长的最小值=£>£+BE=5+1=6.

故答案为:6.

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题,解题的关键是熟知轴对称的性质.

14.2713+2/2+2713

【分析】根据正方形的性质可知,A点与C点关于8。对称,连接CE交8。与P,点,此时

AP+PE最小,则VAPE的周长最小.

【详解】如图,连接CE交5。与P,点,

根据正方形的性质可知,A点与C点关于8力对称,此时AP+PE=CE最小,

正方形的边长为6,AE=2,

BC=6,BE=4

在RfCBE中,C£:2=BE2+8C2=42+62=52

CE=2岳

VAPE周长=A£+A尸+PE=AE+C£=2+2V15.

故答案为2如+2

答案第8页,共21页

【点睛】本题考查轴对称求最短距离,熟练掌握正方形的性质,判断出A点与C点关于80

对称是解题的关键.

15.5

【分析】由旋转性质可证明△EDF丝△”£>「,从而EF=FM;®FM=EF=x,则可得BF=8-x,

由勾股定理建立方程即可求得x.

【详解】由旋转的性质可得:DE=DM,CM=AE=2,NADE=NCDM,ZEDM=90°

••,四边形是正方形

AZADC=ZB=90°,AB=BC=6

:.ZADE+ZFDC=AADC-ZEDF=45°

;.NFDC+NCDM=45°

即NMOF=45"

NEDF=NMDF

在4比)尸和4MQF中

DE=DM

"NEDF=NMDF

DF=DF

:.AEDF%/XMDF(SAS')

:.EF=FM

设EF=FM=x

贝ljFC=EW-CM=x_2

BF=BC-FC=6-(x-2)=8-x

':BE=AB-AE=6-2=4

在心AEB尸中,由勾股定理得:(8-X)2+42=X2

解得:x=5

故答案为:5

【点睛】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理等知识,运用了方

程思想,关键是证明三角形全等.

16.①②③④

【分析】由正方形的性质及尸,E以相同的速度运动,利用SAS证明AABE丝△8CF,得到

AE=BF,NBAE=NCBF,再根据/C8F+/ABP=90°,可得/BAE+NABP=90°,进而得至lj

答案第9页,共21页

AELBF,根据点尸在运动中保持N”B=90。,可得点P的路径是一段以AB为直径的弧,设

AB的中点为H,连接C"交弧于点P,此时CP的长度最小,根据勾股定理,求出CH的长

度,再求出P”的长度,即可求出线段CP的最小值,根据矩形对角线相等即可得到

【详解】解:•••动点F,E分别以相同的速度从Q,C两点同时出发向C和B运动,

:.DF=CE,

•.•四边形ABC。是正方形,

:.AB=BC=CD=2,NABC=NBC£>=90。,

:.CF=BE,

.,.△ABE丝△BCF(&4S),故①正确;

:.AE=BF,NBAE=NCBF,故②正确;

ZCBF+ZABP=90°,

:.ZBAE+ZABP=90°,

:.ZAPB=90°,BPAEVBF,故③正确;

•.,点尸在运动中始终保持/APB=90。,

.••点P的路径是一段以AB为直径的弧,如图,

设AB的中点为H,连接CH交弧于点P,此时CP的长度最小,

在RdBCH中,CHEBC'BH。=&,

;PH=;AB=1,

:.CP=CH-PHf-\,

":PM//CD,PN//BC,

四边形PMCN是平行四边形,

■:ZBCD=90°,

,四边形PMCN是矩形,

答案第10页,共21页

:.MN=CPf-l,即线段MN的最小值逐-1,故④正确.

故答案为:①②③④.

【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形、勾股定理等,解题的关键是证明

△ABE与4BCF.

17.2

【分析】由题意可知AABC是等边三角形,可得AC=AB,进而可求正方形ACEF的面积.

【详解】解:;四边形ABCO是菱形,/8=60。,

:.AB=BC,

.••△ABC是等边三角形

AB=6

♦•AC=AB=>/?.

二正方形ACEF的边长为应,面积为2

故答案为:2.

【点睛】本题考查了菱形的性质,正方形的性质,等边三角形的性质和判定,解题的关键在

于求出AC的长.

18.34

【分析】由正方形的性质得出NA=/B=/C=ND=90。,AB=BC=CD=DA,证出

AH=BE=CF=DG,由SAS证明△AEH丝△BFEgZ^CGF丝ADHG,得出EH=FE=GF=GH,

ZAEH=ZBFE,证出四边形EFGH是菱形,再证出NHEF=90。,即可得出四边形EFGH是

正方形,由勾股定理得EH,即可得出正方形EFGH的面积.

【详解】•••四边形ABCD是正方形,

AZA=ZB=ZC=ZD=90°,AB=BC=CD=DA,

:AE=BF=CG=DH,

,AH=BE=CF=DG.

在4AEH、ABFE、ACGF和仆DHG中,

'AE=BF=CG=DH

,ZA=ZB=NC=ZD

AH=BE=CF=DG

.,.△AEH^ABFE^ACGF^ADHG(SAS),

;.EH=FE=GF=GH,/AEH=/BFE,

答案第II页,共21页

...四边形EFGH是菱形,

VZBEF+ZBFE=90°,

二/BEF+NAEH=90°,

ZHEF=90°,

•••四边形EFGH是正方形,

:AB=BC=CD=DA=8,AE=BF=CG=DH=5,

EH=FE=GF=GH==宿

所以正方形EFGH的面积后

【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理:熟练

掌握正方形的判定与性质,证明三角形全等是解决问题的关键.

19.(1)见解析;(2)见解析;(3)2-41

【分析】(1)根据角平分线的性质证得EF=EB,根据正方形的判定即可证得结论;

(2)根据三角形全等的判定证得AG。丝△ABE,由全等三角形的性质即可得到结论;

(3)首先证得△OFO也△EG。得到FO=GO,FD=EG,根据勾股定理证得。0=夜。尸

=V20G,根据线段的和差求解即可.

【详解】(1)证明:;四边形ABCO为矩形,

AZBAF^ZABE=90°,

':EF±AD,

二四边形ABE尸是矩形,

平分NBA。,

:.EF=EB,

...四边形ABEF是正方形;

(2)平分/8W,

:.NDAG=NBAE,

ZDAG=ZBAE

在△AGO和△A8E中,-ZAGD=ZABE,

AD=AE

•••△AG。丝△ABE(A4S),

:.AB=AG;

(3)•・•四边形A8EF是正方形,

答案第12页,共21页

:.AB=AF=\f

,/△NGDWXABE,

/.DG=AB=AF=AG=1,

9

\AD=AEf

:.AD-AF=AE-AGf

即DF=EG,

/FOD=NGOE

在△。/O和△EGO中,NDFO=NEGO=90°,

DF=EG

,△力/。丝△EG。(AAS),

:・FO=GO,FD=EG

9

:ZDAE=ZAEF=45°fZAFE=ZAGD=90°f

:.DF=FO=OG=EGf

/.DO=V2OF=5/2OG,

:.DG=DO+OG=y/2OG+OG=1,

1厂

‘°G=K=6"

:.OD=-1)=2-五.

【点睛】本题考查了矩形的性质,正方形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,角平分

线的性质.熟记各个性质与判定是解题的关键.

20.⑴见解析

(2)见解析

【分析】⑴根据平行四边形的性质得:AD//BC,AD=BC,又由平行四边形的判定得:

四边形AE8。是平行四边形,又由平行四边形的对边相等可得结论;

答案第13页,共21页

(2)根据(1):四边形是平行四边形,对角线互相平分可得:AF=BF=^AB,

EF=FD,从而证明AD=AB,即邻边相等,证明EF=FC=FD,得NFDC=NFCD,从

而48=90。,根据有一个角是直角,邻边相等的平行四边形是正方形可得结论.

【详解】(1)证明:四边形ABC。是平行四边形,

:.AD//BC,AD=BC,

AE//BD,

四边形AE8D是平行四边形,

:.AD=EB,

/.BC=BE;

(2)证明:由(1)知:四边形AE8D是平行四边形,

/.AF=BF=^AB,EF=FD,

AD=2AF,

:.AB=AD>

ADIIEC,

:.ZADF=NBCF,

;"EC=ZBCF,

:.EF=FC=FD,

NFDC=/FCD,

ZADF+zroc=ZFCD+NBCF,

即ZADC=N8C。,

AD//BC,

/.NADC+N3c0=180。,

:.ZBCD=90Q,

••・四边形ABC。是正方形.

【点睛】此题考查了平行四边形的性质、正方形的判定、等腰三角形的判定与性质、平行线

的性质,属于基础题,解题的关键是正确利用平行四边形的性质求解.

21.(1)见解析;(2)当AB:AD=\:2时,四边形MEN尸是正方形,理由见解析

【分析】(1)求出ZA=ZD=90°,AM=DM,根据全等三角形的判定定理推出即可;

(2)求出NEMF=90。,根据正方形的判定推出即可.

答案第14页,共21页

【详解】(1)证明:•.•四边形A3CZ)是矩形,

:.AB=DC,ZA=ZD=90°,

•.•何为中点,

:.AM=DM,

在△A8W和△DCM,

'AM=DM

,ZA=ZZ),

AB=CD

:.(SAS):

(2)解:当AB:AD=\;2时,四边形MEN尸是正方形,

理由:当四边形MENF是正方形时,则NEMF=90。,

丛ABMQlXDCM,

:.NAMB=NDMC=45。,

为等腰直角三角形,

:.AM=DM=AB,

:.AD=2AB,

即当AB:AD=\:2il寸,四边形MENF是正方形.

【点睛】本题考查了正方形的判定,全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,熟

练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键.

22.⑴见解析

(2)人尸=5或如

(3)MN的长度为正或典

22

【分析】(1)先证得ZAEZANAFB,很容易证明AABF与AD4E全等,由此得出

又由互余可得出/D4F=NC£>E,进而可得结论;

(2)根据三角形的面积求得AE,再根据勾股定理求得OE,根据(1)中AF=OE即刻得出

结论;

(3)连接AM并延长交CD于点P,连接PF,可证明ZiOPM四所以PM=AM,DP=AE^3

或1,又MN是AAPF的中位线,求出PF的长即可.

答案第15页,共21页

【详解】(1)证明:U:AFLDE,N3=90。,

ANAED=NAFB,

在“8/与△DAE中,

/AED=NAFB

<ZDAE=ZB,

AD=AB

:./\ABF^/\DAE(AAS),

:.AF=DE,

,/ZADE+ZCDE=ZADE+ZDAG=90°,

J/CDE=NDAF,

在△AOE和△£>(7£中,

AD=DC

<ZDAF=NCDE,

AF=DE

:./\ADF^/\DCE(SAS);

(2)解:V/\ABF^/\DAEf

:.AE=BF=xf

:.BE=CF=4-xf

•,*/\DEF的面积=S正方形一S.DE一S怔BF—SADCF

=4x4-—x4*x-—(4-x)•戈」x4・(4-x)

222

12

=S-2x+—x,

2

;・y=-x2-2v+8=—,

)22

解得,再=3,x2=l,

・・・AE=3或AE=1,

:.AF=DE=5或后;

(3)解:如图,连接AM并延长交CO于点P,连接P凡

答案第16页,共21页

DPC

AEB

•点M是。E的中点,

:.DM=ME,

\'AB//CD,

:.NPDM=4AEM,NDPM=NEAM,

:.ADPM冬/\EAM(AAS),

,PM=AM,DP=AE=3或1,

当AE=3时,BF=EP=3,

:.CF=CP=1,

:.PF=Q,

:.MN=LpF=J^-;

22

当AE=1时,BF=EP=l,

:.CF=CP=3,

:.PF=3g,

.,1,3-72

・・MN=-PDFC=-----;

22

综上,MN的长度为也或Q.

22

【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的应用,本题的关

键是知道两线段之间的垂直关系.

23.(1)证明见解析

(2)272-1

【分析】(1)由菱形的性质得出AO〃BC,NBAD=2NDAC,ZABC=2ZDBC,得出

ZBAD+ZABC=\SO0,从而证明Nfi4D=NABC,可求出449=90。,再由正方形的判定

即可得证;

答案第17页,共21页

(2)由正方形的性质得出ACJ_8£>,AC=BD=4&C0=;AC=2&,

DO=-BD=2y[2,得出NCO3=/OOC=90。,CO=DO,从而得出NECO=NEDH,

2

然后证明△ECga£DO(AS4),最后利用全等三角形的性质即可求出线段OF的长.

【详解】(1)证明:•••四边形A8CQ是菱形,

/.AD//BC,ABAD=2ADAC,ZABC=2ZDBC,

:.NSW+ZABC=180°,

,?NCAD=NDBC,

:.ZBAD=ZABC,

:.2ZBAD=180°,

:./BAD=90°,

...四边形ABC。是正方形.

(2)解:;四边形ABC。是正方形,AB=BC=4,

:.ACYBD,AC=BD=xjAB2+BC2=4y/2-

AOB=CO=-AC=2y/2,DO=-BD=2yf2,

22

:.NCOB=NDOC=9Q。,CO=DO,

VDHICE,垂足为”,

:.ZDHE=90°,ZEDH+ZDEH=90°,

,/NECO+NDEH=90°,

ZECO=ZEDH,

在二ECO和△/W中,

Z.COE=NDOF

<CO=DO,

2EC0=4FD0

/^ECO^^FDO(ASA),

:.OE=OF.

,:BE=l,

OF=OE=OB-BE=2y[2-\

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