近几年清华、北大自主招生数学试题

近年北大清华自主招生试题汇编

2022北大自主招生（三校联招）

1.（仅文科做）Ovav几，求证：sina<a<tana.（25分）

2

2.AB为边长为1的正五边形边上的点.证明：AB最长为5近一（25分）

2

3.AB为y=1-x2上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值.（25分）

4.向量0A与0B夹角，|0A（=1,|0B|=2,0P=（1—t）OA,OQ=tOE,0WtW1.|PQ|在

t时取得最小值，问当0时，夹角的取值国.（25分）

005

5.（仅理科做）存不存在Ovxv几r使得sinx,8sx,tanx,8tx为等差数列.⑵分）2

2022北大自主招生数学试题

1圆接四边形ABCD,AB=1,BC=2,CD=3,DA=4。求圆工径。

2一无穷等差数列中有3项：13,25,41o求证：2022为数列中一项。

3是否存在实数*使也*+（根3：与cot*+（根3）为有理数？

4对任意*均有acos*+bcos2*>=-l恒成立，求a+b的最大值

5*次考试共有333名学生做对了1000道题。做对3道及以下为不及格，6道及以上为优秀。

问不及格和优秀的人数哪个多？

2022北大自主招生数学试题

5+1

1求证：边长为1的正五边形对角线长为

2

2六边形ACBACB中AC=AB,BC=BA,CA=CB,ZA+ZB+ZC=ZA+ZB+ZC

iiiiiiiiiiii

求证△ABC面积是六边形ACBACB的一半。

111

4排球单循坏赛南方球队比北方球队多9支南方球队总得分是北方球队的9倍求证冠军是一

支南方球队（胜得1分败得。分）

51理科）O*YZ坐标系*oy平面系0共y共2-X2绕y轴旋转一周构成一个不透光立体在点（1,

0,1）设置一光源*oy平面有一以原点为圆心的圆C被光照到的长度为2兀求C上未被照到的长度

2022年清华大学自主招生数学试题

设当二嗝整数局部为a,小数局部为b

V5-1

（1）求a,b；

（2）求a?+b2+亭；

（3）求lim（b+松+

n）w....）

（\hbn71

2.U）X,y为实数，且x+y=1,求证：对于任意正整数n,X2n+y2n>

22n-1

（\abc八.

a,b,c为正实数，求证：++>3,其中x,y,z为a,b,c的一种罗列

xyz

3.请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论

4.椭圆x?+丫？=1,过椭圆左顶点A（-a,0）的直线L与椭圆交于Q,与y轴交于R,过

空巨

原点与L平行的直线与椭圆交于P

求证：AQ,而P,AR成等比数列

5.sint+cost=1,设s=cost+isint,求f（s）=1+s+S2+Sn

6.随机挑选一个三位数I

（1）求I含有因子5的概率；（2）求I中恰有两个数码相等的概率

7.四面体ABCD中，AB=CD,AC—BD,AD—B0

（1）求证：四面体每一个面的三角形为锐角三角形；

（2）设三个面与底面BCD所成的角分别为a,b,Y,求证：cosa+cosb+cosY=1

8.证明当p,q均为奇数时，曲线y=X2-2px+2q与x轴的交点横坐标为无理数

9.设a,a,,a均为整数，性质P为：对a,a,,a中任意2n个数，存在1

22n+1122n+1

一种分法可将其分为两组，每组r个数，使得两组所有元素的知相等

求证：a,a；••-,a全部相等当且仅当a,a,......,a具有性质P

122n+1122n+1

2022年清华大学自主招生数学试题（文科）

1.数列Q｝,且S=na+n（n-l）

nn

（1）求证：｛a｝是等差数列；

n

（）求（（，）

2|anf|所在的直线方程

2.12名职员（其中3名为男性）被平均分配到3个部门

（1）求此3名男性被分别分到不同部门的概率：

（2）求此3名男性被分到同•部门的概率;

（3）假设有一男性被分到指定部门，求其他2人被分到其他不同部门的概率

3.一元三次函数f（x）的三次项数为Lf（x）+9x<0的解集为（1,2）

3

（1）假设f（x）+7a=0,求f（x）的解析式：

（2）假设f（x）在眩单调增，求a的围

4.pM|F］N=|2M（-2,0）,N（2,0）,求点P的轨迹W；直线y=k（x・2）与W

交于点A、B,求SQAB（O为原点）

X+X+.......X（）

5.设a=—1---2------------------B-Vn=M

n

（1）求证：S共0

3

（2）求S的最值，并给出此时x,x,x,x满足的条件

41234

（3）假设S<0,求x,x,x,x,x不符合时的条件

512345

2022届清华大学自主招生试题

i.a,b,c都是有理数，步时遍是有理数，证明：a,6,6部国有理数；

2.（1）一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱组成一个三角形；

IIIIw

（2）四面体一个顶点处的三个角分别是----arctan2,求一的面和arctan2的面

233

所成的二面角；

3.求正整数区间［m,n］（m<n）中，不能被3整除的整数之和；

4.sina+cosa=#+sin2a,求a的取值围；

5.假设limf(x)=f(0)=1,f(2x)-f(x)=X2,求f(x)；

x)0

6.证明：以原点为中心的面积大于4的矩形中，至少还有两个格点。

2022清华大学自主招生数学试题

1.求f(X)=2的单调区间及极值.

X

2.设正三角形边长为a,T是T的中点三角形，A为T除去T后剩下三个三角

n-1nnnn+1

形切圆面积之和.求limxnA

n)<ok

k=1

3.*音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C路线，D左声道和E右声道，其中

每一个部件工作的概率如下列图所示.能听到声音，当且仅当A与B中有一工作，C工作，D

与E中有一工作；且假设D和E同时工作则有立体声效果.

求：(1)能听到立体

声效果的概率：

(2)听不到

声音的概率.

4.⑴求三直线

x+y=60,y=/x,y=0所围成三角形上的整点个数;

y<2x

⑵求方程组［y>-x的整数解个数.

x+>*=60

5.A(_1,_1),△ABC是正三角形，且B、C在双曲线xy=1(x>0)一支上.

⑴求证B、c关于直线y=x对称；

(2)求4ABC的周长.

6对于集合M二R2,称M为开集，当且仅当VP。=M,3r>0,使得

｛P=R2||PP|<r｝二M.判断集合｛(x,y)4|x+2y_5>0｝与｛(x,y)x|>0,y>0｝是否为

开集，并证明你的结论.

2022清华大学自主招生数学试题

I.求最小正整数n，使得I=(1+1i)n为纯虚数，并求出I.

22乖

2.a、b为非负数，M=a4+1>,a+b=1,求M的最值.

3.sin9、sina、cos9为等差数列，sin9、sinb.8s9为等比数列，求cos2a_*os2b的

值.

4.求由正整数组成的集合S，使S中的元素之和等于元素之积.

5.随机取多少个整数，才干有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数.

6.y=X2上一点p(非原点)，在P处引切线交X、y轴于Q、R,求PQJ

lPRl

7.f(x)满足：对实数a、b有f(a.b)=af(b)+bf(a),且|f(x)|41,求证:f(x)恒为零.

(可用以下结论：假设limg(x)=0,|f(x)|<M,M为一常数，贝”im(f(x).g(x))=0)

X-ttx-<x>

2022大学自主招生数学试题

।求证：边长为।的正五边形对角线长为

2

略解：

三角形ABEs三角形DAE

X1-X

1-X

则：x=5T

2

对角线AC=1+x=5+1

2

2六边形ACBACB中AC=AB,BC=BA,CA=CB,ZA+ZB+ZC=ZA+ZB+ZC

1I1II1IIIIII

求证△ABC面积是六边形ACBACB的•半

1II

略解：如图得证

3

4排球单循坏赛南方球队比北方球队多9支南方球队总得分是北方球队的9倍求证冠军是

一支南方球队(胜得1分败得0分〕

解：设北方球队共有*支，则南方球队有*+9支

(2X+9)(2X

所有球队总得分为C2=+8)=(2x+9)(x+4)

2x+92

南方球队总得分为粤2X+9)(2X+8)=如加土4)

10210

北方球队总得分为《x++G

南方球队部比赛总得分C2

x+9

北方球队部比赛总得分C2

X

初,日11<22911+V22911+16

解得：---N-^9—

333

(2x+9)(x+4)

因为------今用屣

10

*=6或者*=8

当*=6时

所有球队总得分为C2=(2X+9)(2X+8)=(2X+9)(x+4)=210

2x492

北方球队总得分为Qx+