数学学案：第一章组合

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§3组合学习目标重点难点1.通过实例能理解组合的概念．2．能利用计数原理推导组合数公式．3．能理解组合数的性质．4．能用组合数公式解决简单的实际问题。重点：排列数与组合数的区分．难点：排列与组合的区分,利用组合数公式解决有关问题。1．组合一般地，从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，我们把有关求组合的个数的问题叫作组合问题．预习交流1如何区分一个问题是排列问题还是组合问题？提示：一个问题究竟是组合问题还是排列问题，不能想当然地判断，必须要结合具体的问题，依照题目的要求,寻找处理的过程中是否与顺序有关，如果与顺序有关，就是排列问题，否则就是组合问题．2．组合数我们把从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq\o\al(m，n）表示．Ceq\o\al(m，n）＝eq\f(A\o\al（m,n),A\o\al（m，m))＝eq\f（nn－1n－2…n－m＋1，m！)＝eq\f(n！，m!n－m！）。规定Ceq\o\al（0，n)＝1。预习交流2如何理解和记忆组合数公式？提示:在记住排列数公式的基础上,分母再除以m！就得组合数公式．3．组合数的性质性质1:Ceq\o\al(m,n）＝Ceq\o\al（n－m，n)。性质2：Ceq\o\al(m，n＋1）＝Ceq\o\al（m，n)＋Ceq\o\al（m－1,n）.预习交流3如何理解和记忆组合数的性质?提示：从n个元素中取m个元素，剩余(n－m)个元素,故Ceq\o\al（m,n）＝Ceq\o\al(n－m，n).从n＋1个元素中取m个元素记作Ceq\o\al(m,n＋1)，可认为分作两类:第一类为含有某元素a的取法为Ceq\o\al(m－1,n)，第二类不含有此元素a，则为Ceq\o\al(m,n），根据分类加法计数原理得Ceq\o\al（m,n＋1)＝Ceq\o\al（m,n)＋Ceq\o\al（m－1,n）。1．组合问题判断下列问题是组合问题,还是排列问题．（1)设集合A＝{a，b，c，d},则集合A的含有3个元素的子集有多少个？(2）一个班中有52人，任意两个人握一次手,共握多少次手？（3)4个人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？思路分析：交换任何两个元素的顺序，看结果有无影响，如无影响则是组合问题．解：（1）因为集合中取出元素具有“无序性”,故这是组合问题;(2）因为两人握手是相互的,没有顺序之分，故这是组合问题;（3）因为5种工作是不同的，一种分工方法就是从5种不同的工作中选出4种，按一定的顺序分配给4个人，它与顺序有关，故这是排列问题．下列问题中，是组合问题的有__________．（1)从a，b,c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法；（2）从a,b,c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法；(3）a，b，c,d四支足球队进行单循环比赛，共需多少场比赛；（4）a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果．答案：（1）（3)解析：(1)2名学生完成的是同一件工作,没有顺序,是组合问题;（2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题；(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题；(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．与顺序无关的是组合问题，与顺序有关的是排列问题．2．组合数公式及组合数的性质(1）计算Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al（199，200)；(2）已知Ceq\o\al(3n＋6,18）＝Ceq\o\al（4n－2,18)，求n；（3)化简Ceq\o\al(4，5)＋Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al（4,7)＋Ceq\o\al（4，8）＋Ceq\o\al(8，8）.思路分析：先把组合数利用性质进行化简，或利用组合数性质求解．解：(1）Ceq\o\al（98,100）＋Ceq\o\al（199，200）＝Ceq\o\al(2，100）＋Ceq\o\al（1,200)＝eq\f（100×99，2）＋200＝5150。（2)由Ceq\o\al(3n＋6,18)＝Ceq\o\al（4n－2,18），知3n＋6＝4n－2或3n＋6＋(4n－2)＝18。解得n＝8或n＝2。而3n＋6≤18且4n－2≤18，即n≤4且n∈N＋，∴n＝2.（3）Ceq\o\al（4,5)＋Ceq\o\al（4,6）＋Ceq\o\al(4，7)＋Ceq\o\al（4,8)＋Ceq\o\al(8,8)＝Ceq\o\al（8，8）＋Ceq\o\al(4，5)＋Ceq\o\al（4,6)＋Ceq\o\al(4,7）＋Ceq\o\al（4，8）＝Ceq\o\al(5，5）＋Ceq\o\al(4，5）＋Ceq\o\al(4，6)＋Ceq\o\al（4,7)＋Ceq\o\al（4，8）＝Ceq\o\al(5，6）＋Ceq\o\al（4,6）＋Ceq\o\al（4，7)＋Ceq\o\al(4，8)＝Ceq\o\al（5,7）＋Ceq\o\al（4,7)＋Ceq\o\al(4，8)＝Ceq\o\al（5，8)＋Ceq\o\al（4，8）＝Ceq\o\al（5，9）＝Ceq\o\al(4,9）＝eq\f（9×8×7×6,4×3×2×1)＝126。（1）Ceq\o\al(3,4）＋Ceq\o\al（3,5）＋Ceq\o\al（3，6）＋…＋Ceq\o\al（3，10)＝__________;(2）（Ceq\o\al(98，100）＋Ceq\o\al（97,100））÷Aeq\o\al（3,101）＝__________.答案：（1）329(2）eq\f（1,6）解析：(1)原式＝Ceq\o\al（4,4)＋Ceq\o\al（3，4)＋Ceq\o\al(3，5）＋…＋Ceq\o\al(3,10)－Ceq\o\al（4，4)＝Ceq\o\al（4,5)＋Ceq\o\al（3,5）＋…＋Ceq\o\al(3,10）－1＝…＝Ceq\o\al（4,10)＋Ceq\o\al(3,10）－1＝Ceq\o\al（4，11)－1＝329.(2）原式＝Ceq\o\al(98,101)÷Aeq\o\al(3,101）＝Ceq\o\al（3，101）÷Aeq\o\al（3,101）＝eq\f（A\o\al(3,101），3！）÷Aeq\o\al（3，101)＝eq\f（1，6).熟记公式、正确地选用公式、准确地计算是解决此类题的关键．3．组合知识的实际应用现有10名教师，其中男教师6名,女教师4名．（1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有多少种不同的选法？思路分析：由于选出的教师不需要考虑顺序，因此是组合问题．第(1)小题选2名教师不考虑男女，实质上是从10个不同的元素中取出2个的组合问题，可用直接法求解．第（2）小题必须选男、女教师各2名，才算完成所做的事，因此需要分两步进行,先从6名男教师中选2名，再从4名女教师中选2名．解：（1)从10名教师中选2名参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即Ceq\o\al（2，10）＝eq\f(10×9，2×1)＝45(种)．（2)从6名男教师中选2名的选法有Ceq\o\al(2,6），从4名女教师中选2名的选法有Ceq\o\al(2，4)种,根据分步乘法计数原理，因此共有不同的选法Ceq\o\al（2,6)·Ceq\o\al（2,4）＝eq\f（6×5，2×1）·eq\f（4×3，2×1)＝90（种)．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人,并且男、女各指定一名队长,现从中选5人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法？（1)只有一名女生；（2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；（4）至多有两名女生当选；(5）既要有队长，又要有女生当选．解：(1)一名女生，四名男生，故共有Ceq\o\al（1,5)·Ceq\o\al(4,8）＝350(种)选法．（2）将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有Ceq\o\al（2，2）·Ceq\o\al（3,11）＝165(种)选法．(3）至少有一名队长当选含有两类:有一名队长当选和两名队长都当选．故共有Ceq\o\al（1，2)·Ceq\o\al(4,11）＋Ceq\o\al（2，2)·Ceq\o\al(3,11)＝825(种）选法．或采用间接法：Ceq\o\al(5，13)－Ceq\o\al(5,11)＝825(种)．（4)至多有两名女生含有三类：有两名女生，只有一名女生，没有女生．故共有Ceq\o\al(2，5)·Ceq\o\al(3,8）＋Ceq\o\al（1，5)·Ceq\o\al（4，8)＋Ceq\o\al(5，8）＝966(种）选法．（5)分两类：第一类,女队长当选，有Ceq\o\al（4,12）种选法；第二类，女队长不当选，有Ceq\o\al（1，4）·Ceq\o\al（3，7)＋Ceq\o\al(2，4)·Ceq\o\al(2，7)＋Ceq\o\al（3,4)·Ceq\o\al(1,7）＋Ceq\o\al（4,4）(种）选法，故选法共有Ceq\o\al（4，12)＋Ceq\o\al(1，4)·Ceq\o\al（3,7)＋Ceq\o\al(2,4）·Ceq\o\al(2，7）＋Ceq\o\al（3,4)·Ceq\o\al(1，7）＋Ceq\o\al（4,4)＝790(种)．利用组合知识解决实际问题要注意：①将已知条件中的元素的特征搞清，是用直接法还是间接法；②要使用分类方法，要做到不重不漏；③当问题的反面比较简单时，常用间接法解决．1．给出下面几个问题,其中是组合问题的有（）．①某班选10名同学参加拔河比赛;②由1,2,3，4选出两个数，构成平面向量a的坐标；③由1,2，3,4选出两个数分别作为实轴长和虚轴长，构成焦点在x轴上的双曲线方程;④从正方体8个顶点中任取两个点构成线段．A．①② B．①④ C．③④ D．②③答案：B解析：由组合的概念知①④是组合问题．2．Ceq\o\al(97，98）＋2Ceq\o\al（96，98)＋Ceq\o\al（95,98)＝()．A．Ceq\o\al(97,99） B．Ceq\o\al（97，100） C．Ceq\o\al(98，99) D．Ceq\o\al(98，100)答案：B解析:原式＝Ceq\o\al（97,98）＋Ceq\o\al（96,98)＋Ceq\o\al(96,98）＋Ceq\o\al（95，98）＝Ceq\o\al(97，99)＋Ceq\o\al(96,99）＝Ceq\o\al（97,100）.3．平面上有12个点,其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆,过这12个点中的每三个点作圆,共可作圆()个．A．220 B．210 C．200 D．1答案:A解析:由题意知Ceq\o\al(3，12)＝eq\f(12×11×10，3×2×1）＝220。4．方程Ceq\o\al（x，17)－Ceq\o\al(x,16）＝Ceq\o\al（2x＋2，16)的解集是__________．答案:{5｝解析：∵Ceq\o\al(x，17)＝Ceq\o\al(x,16）＋Ceq\o\al(x－1,16)，∴Ceq\o\al（