数学学案：第一章§平均值不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§3平均值不等式1．掌握定理1和定理2及其证明，并能灵活应用．2．理解定理3和定理4及其证明，并能简单应用．3．会用相关定理解决简单的最大（最小）值问题．1．二元均值不等式（1）定理1：对任意实数a，b，有a2＋b2≥____(此式当且仅当a＝b时取“＝”号）．(2）定理2：对任意两个正数a,b,有______≥eq\r（ab)（此式当且仅当a＝b时取“＝"号)．我们称______为正数a与b的算术平均值，______为正数a与b的几何平均值．定理2可叙述为：两个正数的__________不小于它们的__________．【做一做1－1】函数y＝eq\f(1，x－3）＋x（x＞3）的最小值是（）．A．5B．4【做一做1－2】“a＞b＞0”是“ab＜eq\f（a2＋b2,2）”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．三元均值不等式及其推广（1）定理3：对任意三个正数a，b,c，有a3＋b3＋c3≥____(此式当且仅当a＝b＝c时取“＝”号)．(2)定理4：对任意三个正数a，b,c，有eq\f（a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc）（此式当且仅当a＝b＝c时取“＝”号)．定理4可叙述为:三个正数的__________不小于它们的__________．（3）n个正数的算术几何平均不等式:一般地,对n个正数a1,a2，…，an(n≥2），我们把数值______________，__________分别称为这n个正数的算术平均值与几何平均值，且有______________≥eq\r（n，a1a2…an)，此式当且仅当____________时取“＝”号，即n个正数的算术平均值不小于它们的__________．【做一做2】设x，y，z∈R＋,且x＋y＋z＝1．求证：eq\f（1,x）＋eq\f（4，y)＋eq\f（9，z)≥36．答案:1．(1)2ab（2)eq\f（a＋b，2）eq\f(a＋b，2）eq\r（ab）算术平均值几何平均值【做一做1－1】A原式变形为y＝eq\f（1，x－3）＋x－3＋3．∵x＞3，∴x－3＞0，∴eq\f（1,x－3）＞0．∴y≥2eq\r(x－3·\f(1，x－3）)＋3＝5．当且仅当x－3＝eq\f(1,x－3)，即x＝4时等号成立．【做一做1－2】A当a＞b＞0时,eq\f（a2＋b2,2）＞eq\f(2ab,2）＝ab成立，当ab＜eq\f（a2＋b2,2）时，不能推出“a＞b＞0”，故选A．2．(1）3abc（2）算术平均值几何平均值（3)eq\f(a1＋a2＋…＋an，n）eq\r(n,a1a2…an)eq\f(a1＋a2＋…＋an，n)a1＝a2＝…＝an几何平均值【做一做2】分析：本题需变式出现积为定值的情况，而条件中是和为定值x＋y＋z＝1,所以对所证不等式的左边需变形出现积为定值的情况．证明:eq\f(1,x)＋eq\f(4，y）＋eq\f(9,z)＝eq\f(x＋y＋z,x)＋eq\f（4x＋y＋z，y)＋eq\f（9x＋y＋z,z)＝14＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（y,x)＋\f（4x,y)）)＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(z，x)＋\f(9x,z)))＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(4z，y)＋\f(9y,z))）≥14＋4＋6＋12＝36．当且仅当eq\f(y,x）＝eq\f（4x,y），eq\f(z,x）＝eq\f(9x，z）,eq\f（4z，y）＝eq\f（9y，z）,且x＋y＋z＝1，即x＝eq\f(1，6)，y＝eq\f（1，3），z＝eq\f(1，2）时取等号．对定理1和定理2的理解剖析：（1）a2＋b2≥2ab与eq\f（a＋b,2)≥eq\r（ab)成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者要求a,b都是正数．有些同学易忽略这一点，例如:（－1）2＋(－4）2≥2×（－1）×(－4)成立,而eq\f(－1＋－4,2）≥eq\r(－1×－4）不成立．（2)这两个不等式都带有等号，应从两方面理解，“当且仅当……时，取‘＝’号”这句话：①当a＝b时，取等号，其意义是a＝b⇒eq\f（a＋b，2）＝eq\r（ab）;②仅当a＝b时，取等号，其意义是eq\f(a＋b,2）＝eq\r(ab)⇒a＝b．综合起来，其意义是：a＝b是eq\f（a＋b,2)＝eq\r（ab）成立的充要条件．（3)从这两个不等式我们可以得到如下结论：eq\f（a,b)＋eq\f(b，a）≥2(ab＞0);eq\f(2，\f(1，a)＋\f（1,b））≤eq\r（ab）≤eq\f（a＋b,2）≤eq\r(\f（a2＋b2，2））(a＞0，b＞0）．(4)式子中的a，b可以是数字，也可以是复杂的代数式．题型一利用平均值不等式证明不等式【例1】若x＞0，y＞0，x＋y＝1，求证：eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1＋\f(1，x）)）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1＋\f(1，y）))≥9．分析:本题是有条件的证明不等式问题,要巧用“x＋y＝1”来证明．反思：利用平均值不等式证明不等式时，要注意把握平均值不等式的结构特点,以便灵活地用于解题，另外，式子的灵活变形，进行拆项、凑项,也是常用的方法．题型二利用平均值不等式求最值【例2】设x≥0，y≥0，x2＋eq\f(y2，2）＝1，求xeq\r（1＋y2)的最大值．分析:利用x2＋eq\f（y2,2）＝1，将式子进行变形再利用定理进行求解．反思：在解题过程中,要拼凑出和为定值，利用eq\r（ab）≤eq\f（a＋b，2）(a＞0,b＞0）来求解最大值．【例3】求函数f（x)＝x（5－2x)2eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（0<x〈\f（5,2)））的最大值．分析：对于x(5－2x）2无法直接利用平均值不等式求最值，可先拼凑出平均值不等式的形式后再求最值．反思:利用a＋b＋c≥3eq\r(3，abc)应注意不等式成立的条件．在求最值时，除了注意“一正”、“二定"、“三相等”之外，还要掌握配项、凑系数等变形技巧,有时为了便于应用公式,还用换元法，多用于分母中有根式的情况．题型三利用平均值不等式解决实际问题【例4】如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底面宽为2m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为am，高为bm,已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60m2，问当a,b各为多长时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？(A,B分析：题意中的“杂质的质量分数"可按“杂质的含量"理解，设为y．由题意y与ab成反比,可设比例系数为k，则y＝eq\f(k，ab）．又由于箱体材料多少的限制，a，b之间应有一定的关系式，即2×2b＋2ab＋2a＝60，因此该题的数学模型是：已知ab＋a＋2b＝30，a＞0，b＞0，求a，b为何值时，y＝eq\f（k，ab)最小．反思:（1)对于分母是一次式,分子是二次式的分式eq\f(Ax2＋Bx＋C，Dx＋E），可采用本题中的变形方法．（2）本题的难度不在于建立数学模型，而在于建模后如何求函数的最值，这需要扎实的数学知识和灵活应用基本定理、公式解题的能力．(3）可以说解应用题需要过两关：一关是如何对由文字给出的应用问题建立数学模型；另一关就是对于建模后的数学模型，如何用相关的数学知识将其解答出来．题型四易错辨析【例5】设a，b，x,y∈R，且有a2＋b2＝3,x2＋y2＝6,求ax＋by的最大值．错解：∵ax≤eq\f(a2＋x2,2),by≤eq\f（b2＋y2，2),∴ax＋by≤eq\f（1,2)(a2＋b2＋x2＋y2）＝eq\f（9,2)，∴ax＋by的最大值为eq\f（9，2)．错因分析：错解中不等式取等号的条件是当且仅当x＝a,y＝b，由条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值．反思：在利用平均值不等式进行证明或求解时，一定要注意等号取得的条件是否满足，即“一正、二定、三相等"的原则．答案：【例1】证明:证法一：左边＝1＋eq\f（1，x)＋eq\f（1,y)＋eq\f(1,xy）＝1＋eq\f(x＋y，xy）＋eq\f(1，xy）＝1＋eq\f(2,xy)≥1＋eq\f（2，\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（x＋y,2))）2)＝9＝右边．当且仅当x＝y＝eq\f(1，2）时，等号成立．证法二：左边＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1＋\f(x＋y，x）))eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1＋\f(x＋y,y)))＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2＋\f(y,x)))eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2＋\f（x,y）))＝5＋2eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(y,x）＋\f(x,y）)）≥5＋4＝9＝右边．当且仅当x＝y＝eq\f(1,2)时,等号成立．证法三：利用三角函数来证明．令x＝cos2θ，y＝sin2θ，0＜θ＜eq\f(π，2）．左边＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1＋\f（1,cos2θ））)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1＋\f(1，sin2θ））)＝1＋eq\f(1，cos2θ）＋eq\f(1,sin2θ）＋eq\f（1,cos2θsin2θ)＝1＋eq\f（2,sin2θcos2θ）＝1＋eq\f（8，sin22θ）≥1＋8＝9＝右边．当0＜2θ＜π，且θ＝eq\f(π,4)，即x＝y＝eq\f(1,2)时取等号．【例2】解:∵x≥0,y≥0，x2＋eq\f(y2,2)＝1，∴xeq\r(1＋y2）＝eq\r(x21＋y2)＝eq\r（2x2·\f（1＋y2,2)）≤eq\r（2）·eq\f（x2＋\f（1＋y2,2),2）＝eq\r（2)·eq\f（x2＋\f（y2,2)＋\f（1,2）,2）＝eq\f(3\r(2），4）．当且仅当x＝eq\f（\r(3),2）,y＝eq\f(\r（2），2）时eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(即x2＝\f(1＋y2,2）时）)，xeq\r(1＋y2)取得最大值eq\f(3\r（2)，4)．【例3】解：f(x)＝eq\f（1,4)×4x×(5－2x)(5－2x）≤eq\f（1，4）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(4x＋5－2x＋5－2x,3））)3＝eq\f（250,27）．当且仅当4x＝5－2x，即x＝eq\f(5，6)时，等号成立．∴当x＝eq\f（5,6）时，函数f(x）＝x（5－2x)2eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0<x<\f(5，2）））有最大值eq\f（250,27)．【例4】解：设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意，得y＝eq\f(k，ab)，其中k为比例系数(k＞0）．根据题意,得2×2b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0）．∴b＝eq\f(30－a,2＋a）（由a＞0，b＞0,可得0＜a＜30)．∴y＝eq\f(k，ab）＝eq\f（k,\f(30a－a2,2＋a))．令t＝a＋2,则a＝t－2．从而eq\f(30a－a2，2＋a)＝eq\f(30t－2－t－22,t）＝eq\f（34t－t2－64,t)＝34－eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(t＋\f(64,t)）)，∴y＝eq\f(k,ab)≥eq\f(k，34－2\r(t·\f(64，t）)）＝eq\f（k，18）．当且仅当t＝eq\f(64,t），即a＋2＝eq\f（64，a＋2）时，取“＝"号,∴a＝6．由a＝6,可得b＝3．综上所述,当a＝6，b＝3时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小．【例5】正解：∵a2y2＋b2x2≥2aybx，∴（a2＋b2）(x2＋y2）≥(ax＋by）2，当且仅当ay＝bx时取等号．∴ax＋by≤eq\r(3×6)＝3eq\r（2),当且仅当ax＝by且a2＋b2＝3且x2＋y2＝6时，等号成立．1下列结论正确的是（)．A．当x＞0且x≠1时，lgx＋eq\f(1，lgx)≥2B．当x＞0时,eq\r（x)＋eq\f(1,\r（x）)≥2C．当x≥2时，x＋eq\f(1，x)的最小值为2D．当0＜x≤2时，x－eq\f(1,x)无最大值2已知a，b,c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则eq\f（1,a）＋eq\f(1，b）＋eq\f（1,c）与9的大小关系是（)．A．eq\f（1,a)＋eq\f（1，b）＋eq\f（1,c）≥9B．eq\f(1，a)＋eq\f(1，b)＋eq\f（1,c）＜9C．eq\f（1,a）＋eq\f(1，b）＋eq\f（1，c)＝9D．不确定3若x，y是正数,则eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x＋\f（1，2y)))2＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(y＋\f(1，2x）)）2的最小值是__________．4设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2,画面的宽与高的比为λ（λ＜1)，画面的上、下各留8cm的空白，左、右各留5cm的空白．怎样确定画面的高与宽，才能使宣传画所用纸张面积最小?答案：1．B在选项A中，0＜x＜1时，lgx＜0不成立；选项C中，等号取不到；选项D中，x－eq\f（1，x）为增函数，当x＝2时取得最大值．2．Aeq\f（1,a)＋eq\f(1，b）＋eq\f（1，c）＝eq\f(a＋b＋c，