数学达标训练：正弦函数、余弦函数的图象

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精更上一层楼基础•巩固1.函数y=lgsinx+的定义域是(）A.（—4，—π)B.（0，π)C。（—4，-π）∪(0,π）D。（-4，-π）∪［0，π］思路分析：当sinx＞0且16-x2＞0时函数有意义，所以要求画图如图.当0＜x＜π时，sinx＞0，与-4＜x＜4取公共部分得解为（—4，—π)∪［0，π］，故选D。答案:D2.点P从（1,0）出发，沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标是（）A。(，）B。(，)C.(,）D。(，)思路分析：令Q(x,y)，由三角函数的定义得，.答案：A3。在（0,2π)上，使sinx＞cosx成立的x的取值范围是（)A。(，)∪（π，）B.（,π）C。(，)D.(，π)∪（，)思路分析一:作出在（0，2π)区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标和，由图(1)可得答案C.（1)（2)思路分析二：如图(2)，在单位圆中作出第一、三象限的角平分线，由正弦线、余弦线可知应选C.答案：C4.设函数f(x）=sinx，x∈R，对于以下三个命题：①函数f（x）的值域是[—1，1］；②当且仅当x=2kπ+（k∈Z)时,f(x）取得最大值1；③当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+(k∈Z）时，f(x)＜0.其中正确命题的个数是(）A。0B.1C思路分析:作出正弦函数y=sinx，x∈R的图象（如图）.从图中可以看出①②正确，③错误。答案：C综合•应用5。设M和m分别是函数y=cosx—1的最大值和最小值,则M+m=_________.思路分析：，∴M+m=.答案：—26。试确定满足|cosα|＞｜sinα|的角α的范围.思路分析一：如图所示，作出单位圆。∵｜cosα|=｜sinα|的角在0到2π之间有四个:,，，,｜cosα｜＞｜sinα|的角在图中阴影部分（不含边界)。故2kπ—＜α＜2kπ+，k∈Z或2kπ+＜α＜2kπ+，k∈Z，即nπ—＜α＜nπ+，n∈Z。思路分析二：在［0，2π］内作出y=|sinx｜，y=｜cosx|的图象，如图。从图中可以看出满足｜cosα｜＞|sinα｜的角是2kπ≤α＜2kπ+,k∈Z或2kπ+＜α＜2kπ+，k∈Z或2kπ+＜α＜2kπ+2π，k∈Z.其中，2kπ+＜α＜2kπ+2π，k∈Z可化为2kπ—＜α＜2kπ.故满足｜cosα|＞|sinα｜的角是nπ-＜α＜nπ+，n∈Z。7。已知角α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴，若角α的终边经过点P（,y)且sinα=（y≠0）,试判断角α所在的象限,并求cosα和tanα的值。解:依题意，点P到原点O的距离为r=|PO|=,∴sinα=.∵y≠0,∴9+3y2=16.∴y2=。∴y=±.∴r=。∴角α是第二或第三象限角。当角α是第二象限角时，y=，cosα=，tanα=；当角α是第三象限角时,y=，同理可得cosα=,tanα=。8。烟筒弯头是由两个圆柱形的烟筒焊在一起做成的。如图1—4-9所示，现在要用长方形铁皮做成一个直角烟筒弯头(两个圆柱呈垂直状).如图1-4—9(1），若烟筒的直径为12cm，最短母线为6cm,应将铁皮如何剪裁，才能既省工又省材料？图1—4-9解：如图所示，两个圆柱形烟筒的截面与水平面成45°角，设O是圆柱的轴与截面的交点，过O作水平面，它与截面的交线为CD,它与圆柱的交线是以O为圆心的圆，CD是此圆的直径,又设B是这个圆上任意一点，过点B作BE垂直CD于点E，作圆柱的母线AB，交截面与圆柱的交线于点A，易知∠AEB=45°,所以AB=BE.设BD弧长为x，它所取的圆心角∠DOB=α,根据弧长公式，α=，又设AB=y，由Rt△BOE中，sinα=，故BE=6sinα，从而y=AB=BE=6sinα，即y=6sin.铁皮在接口处的轮廓线是正弦曲线y=6sin（0≤x≤12π)，其图象如图（4）。因为将两个圆柱形铁皮上的曲线对拼起来，正好可以完全吻合，所以最节约且最省工的裁剪方式如图（5).回顾•展望9。(2006临沂统考）作函数y=cotxsinx的图象。思路分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作函数的图象。函数y=cotxsinx的图象即是y=cosx