数学达标训练：平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精更上一层楼基础•巩固1.已知｜a｜=1，｜b｜=2,c=a+b,且c⊥b,则向量a与b的夹角为()A。30°B.60°C.120°D。150°思路分析:设a与b的夹角为θ,∵c⊥b,∴(a+b)·b＝0。∴a2+a·b=0。∴｜a｜2+|a||b|cosθ=0。∴1+2cosθ=0。∴cosθ=。∴θ=120°。答案：C2.一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1、水速为v2，已知船可垂直到达对岸，则()A.｜v1｜＜|v2｜B.|v1|＞｜v2｜C。｜v1｜≤|v2｜D.｜v1|≥|v2｜思路分析：要使船垂直到达对岸,则v1在与水流垂直方向上的分量应与v2大小相等，方向相反，由此即得｜v1|＞｜v2|.答案:B3.已知A(3，2)、B(—1,—1），若点P（x，）在线段AB的中垂线上，则x=__________.思路分析：利用中点坐标公式可得A、B的中点，设其为M，则与垂直，据此即得结论。答案：4.如图2—5—12所示，已知A（4，0），B(4，4），C(2，6）,求AC和OB的交点P的坐标.图2-5-12解法一：设=s·=(4s,4s)，=（4s-4,4s-0）=（4s—4,4s），=（2-4，6-0)=(—2,6).由∥及向量共线的条件可得(4s—4）×6—4s×（-2）=0。解之，得s=。所以=(4s，4s）=（3，3)，P点的坐标为（3，3).解法二：设点P的坐标为(x，y)，则=(x，y)，=（4，4）。∵、共线，∴4x-4y=0。①又∵=(x-2，y—6)，=(2，—6),且向量、共线，∴-6（x-2）—2(y—6)=0。②由①②解得x=3，y=3.故点P的坐标为(3,3)。5。已知A、B、C、D四点的坐标分别为A（1，0)、B(4，3)、C（2，4）、D（m,n).当m、n满足什么条件时，四边形ABCD分别是平行四边形、菱形、矩形、正方形?（A、B、C、D依逆时针方向排列)解：由条件知=(3,3)，=(-2，1），=（m—1,n),=（2—m，4—n），如图.（1）若ABCD为平行四边形，则=.所以（3,3）=（2-m,4-n），3=2—m且3=4—n。解得m=—1,n=1.所以当m=-1，n=1时,ABCD为平行四边形。(2)由于m=-1,n=1时，=（3,3）,=（—2，1）。｜|=，|｜=，｜|≠|｜。因此，使ABCD为菱形的m、n不存在。(3）当m=-1，n=1时，·=(3,3)·（-2，1)=-3≠0，即AB、AD不垂直，因此使ABCD为矩形的m、n不存在.综合•应用6.如图2—5—13所示，PQ过△OAB的重心G，=a，=b，=ma,=nb，求证:.图2-5—13证明：∵M是AB边的中点，∴=（+)=（a+b)。∴=×=×（a+b)=a+b.由=nb-ma，=a+b—ma=（-m)a+b.∵，∴。整理得mn=（m+n），即。7.如图2-5-14，=（6，1）,=（x，y）,=（-2，—3），图2-5—14(1）若∥，求x与y间的关系式；（2）若又有⊥,求x、y的值及四边形ABCD的面积。解：（1)∵=++=（6，1)+(x，y）+（-2,-3）=（4+x，y-2），∴=（—4-x,2—y）。由∥，得x(2-y）—y（—4—x)=0。整理得2x-xy+4y+xy=0，即x+2y=0.（2)∵=+=(6,1）+(x,y)=(6+x，y+1）,=+=(x，y）+（—2，-3)=（x—2,y-3)，由⊥,∴（6+x)（x-2）+（y+1）（y—3）=0.整理得x2+4x—12+y2-2y—3=0.由(1）可知y=-x，代入上式得x2+4x—12=0.解得x1=-6，x2=2。相应求得y1=3,y2=—1，即或如右图，S四边形ABCD=S△BCD+S△ABD=｜||｜+｜｜｜｜=｜｜||,又=（x1-2,y1-3）=（—8，0）或=（x2-2，y2—3）=（0，-4）,=（6+x1,y1+1）=（0，4）或=(6+x2，y2+1)=(8,0)，∴|｜=8或4，|｜=4或8.∴S四边形ABCD=16。8.如图2-5-15,在△ABC中，在AC上取点N，使得AN=AC,在AB上取点M，使得AM=AB,在BN的延长线上取点P，使得NP=BN，在CM的延长线上取点Q，使得MQ=CM。用向量的方法证明P、A、Q三点共线.图2—5—15证明：如图，，，∴=.又∵A是公共点,∴P、A、Q三点共线。9.四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直,且AB=BC=2，E是AC的中点,异面直线AD与BE所成角的余弦值为，求四面体的体积。思路分析：用向量解决立体几何问题,能使复杂问题简单化,据题，只要求出BD即可得到四面体的体积，所以可将四面体置于空间直角坐标系加以分析。解:如图所示建立空间直角坐标系，由题意有A(0，2，0)、C(2,0，0），E（1，1,0）.设D点的坐标为(0，0，z)（z＞0),则={1，1，0｝，=｛0,—2,z}.设与所成的角为θ,则·==—2,且AD与BE所成角的余弦值为，∴cos2θ=。∴z=4.∴VA-BCD=｜｜|｜｜|=。∴四面体ABCD的体积为.回顾•展望10.（2006青岛统考)过点A(2,3）,且垂直于向量a=(2，1）的直线方程