五年级数学下册 基础+拔高 同步复习与测试讲义-第3章 因数与倍数 （含解析）（苏教版）

2019-2020学年苏教版版小学五年级数学下册同步复习与测试讲义第3章因数与倍数【知识点归纳总结】1.因数和倍数的意义假如整数n除以m，结果是无余数的整数，那么我们称m就是n的因子．需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立．反过来说，我们称n为m的倍数．【经典例题】例1：24是倍数，6是因数．×．（判断对错）分析：约数与倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数（也叫因数）．约数与倍数是相互依存的，据此解答．解：24÷6=4，只能说24是6的倍数，6是24的因数，所以24是倍数，6是因数的说法是错误的；故答案为：×．点评：本题主要考查因数与倍数的意义，注意约数与倍数是相互依存的．例2：一个数的因数都比这个数的倍数小．×．（判断对错）分析：一个数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数．如：5的最小倍数是5，最大因数也是5．由此即可解答．解：因为一数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数，所以此题干不正确；故答案为：×．点评：此题重点是考察因数和倍数的意义，要知道一数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数．2.找一个数的因数的方法1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24．2．找配对．例如：24=1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6．3．末尾是偶数的数就是2的倍数．4．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样．5．最后两位数能被4整除的数是4的倍数．6．最后一位是5或0的数是5的倍数．7．最后3位数能被8整除的数是8的倍数．8．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除．【经典例题】例：从18的约数中选4个数，组成一个比例是1：2=3：6．分析：先写出18的约数，然后根据比例的含义，写出两个比相等的式子即可．解：18的约数有：1，2，3，6，9，18；1：2=3：6；故答案为：1：2=3：6．点评：此题解答方法是根据比例的意义或比例的基本性质进行解答，此题答案很多种，写出其中的一种即可．3.找一个数的倍数的方法找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的．1．末尾是偶数的数就是2的倍数．2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样．3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数．4．最后一位是5或0的数是5的倍数．5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数．6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除．【经典例题】例1：个位上是3、6、9的数，都是3的倍数．×．（判断对错）分析：举个反例证明，3的倍数的特征：各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数．解：13，16，29是个位上分别是3，6，9可是它们都不是3的倍数，所以个位上是3、6、9的数，都是3的倍数得说法是错误的；故答案为：×．点评：本题主要考查3的倍数的特征．注意个位上是3、6、9的数不一定是3的倍数，各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数．例：一个三位数，既有因数3，又是2和5的倍数，这个数最小是120．分析：既有因数3，又是2和5的倍数，就是这个三位数同时是2、3、5的倍数，根据2、3、5的倍数特征可知：这个三位数个位必需是0，因为只有个位上是0的数才能满足是2和5的倍数，要想最小百位必需是最小的一位数1，然后分析各个数位上的和是不是3的倍数，即百位上的1加上十位上的数和个位上的0是3的倍数，因为1+0=1，1再加2、5、8的和是3的倍数，即十位可以是；2、5、8，其中2是最小的，据此解答．解：由分析可知；一个三位数，既有因数3，又是2和5的倍数，这个数最小是；120；故答案为；120．点评：本题主要考查2、3、5的倍数的特征，注意掌握只有个位上是0的数才能满足是2和5的倍数，要想最小百位必需是最小的一位数1．4.公倍数和最小公倍数公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数．这些公倍数中最小的，称为这些整数的最小公倍数．【经典例题】例1：两个数的乘积一定是这两个数的公倍数．√．（判断对错）分析：两个数的乘积一定是这两个数的公倍数这是正确的，举例证明即可．解：比如4和12，12×4=48，48是12的倍数，48也是4的倍数，即48是4、12的公倍数；所以两个数的乘积一定是这两个数的公倍数是正确的；故答案为：√．点评：本题主要考查公倍数的意义，注意掌握两个数的乘积和这两个数的公倍数的关系．例2：能同时被2、3、5整除的最大三位数是990．分析：根据题意可先确定能被2整除的数的特征、能被3整除的数的特征、能被5整除的数的特征，再确定能同时被2、3、5整除的数的特征，再算出最大的三位数即可．解：能被2整除的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，能被3整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被3整除，能被5整除的数的特征：个位上的数字是0或者5的数，要同时能被2和5整除，这个三位数的个位一定是0．要能被3整除，又要是最大的三位数，这个数是990．故答案为：990．点评：此题主要考查的是能同时被2、3、5整除的数的特征．5.因数、公因数和最大公因数给定若干个正整数，如果他们有相同的因数，那么这个（些）因数就叫做它们的公因数．而这些公因数中最大的那个称为这些正整数的最大公因数．【经典例题】例1：互质的两个数没有公约数．×．（判断对错）分析：根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数，以此解答问题即可．解：因为，公因数只有1的两个数叫做互质数；所以，互质的两个数没有公约数这种说法是错误的．故答案为：×．点评：此题主要考查互质数的意义以及判断两个数是不是互质数的方法．例2：36和48的最大公约数是12，公约数是1、2、3、4、6、12．√．（判断对错）分析：利用分解质因数的方法和求一个数的公约数的方法即可解决问题．解：36的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，48的约数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，所以36和48的公约数有1、2、3、4、6、12，其中最大公约数为12，所以原题说法正确，故答案为：√．点评：此题是考查求一个数的公约数和最大公约数的方法．6.求几个数的最大公因数的方法方法：1．分别分解各个数的质因数，然后比较出公共的质因数相乘．2．用短除法，写短除算式，道理与第一种方法相似，只是找公共因数的过程与除法过程合并了．【经典例题】例1：如果A是B的，A和B的最小公倍数是B，它们的最大公因数是A．分析：如果两个数是倍数关系那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的最小公倍数，由题目条件可以得知：A是B的，也就是B是A的5倍，由此可以解决．解：因为A和B是倍数关系，所以它们的最大公约数是较小的那个数A，最小公倍数是较大的那个数B，故答案为：B；A．此题主要考查了求两个成倍数关系的数的最大公约数和最小公倍数的方法：两个数是倍数关系那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的最小公倍数．例2：甲=2×2×2×3，乙=2×2×3×5，甲、乙两数的最大公约数是12，最小公倍数120．分析：根据甲=2×2×2×3，乙=2×2×3×5，可知这两个数公有的质因数是2、2、3，公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数；除了公有质因数外，甲数独有的质因数为2，乙数独有的质因数为5，那么公有质数与各自独有质因数的连乘积就是这两个数的最小公倍数．据此进行解答．解：甲=2×2×2×3；乙=2×2×3×5；甲和乙的最大公因数是：2×2×3=12；甲和乙的最小公倍数是：2×2×3×2×5=120；故答案为：12，120．点评：此题主要考查求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法，公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数；公有质因数与各自独有质因数的连乘积就是这两个数的最小公倍数．7.求几个数的最小公倍数的方法方法：（1）分解质因数法：先把这几个数分解质因数，再把它们一切公有的质因数和其中几个数公有的质因数以及每个数的独有的质因数全部连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数．（2）公式法．由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积．即（a，b）×[a，b]=a×b．所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数．【经典例题】例1：育才小学六（1）班同学做广播操，体育委员在前面领操，其他学生排成每行12人或每行16人都正好是整行，这个班至少有学生49人．分析：要求这个班至少有学生多少人，即求12与16的最小公倍数再加1即可，根据求两个数的最小公倍数的方法：把12和16进行分解质因数，这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可．解：12=2×2×3，16=2×2×2×2，则12和16的最小公倍数是：2×2×2×2×3=48，48+1=49（人）；答：这班至少有学生49人；故答案为：49．点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．例2：A和B都是自然数，分解质因数A=2×5×C；B=3×5×C．如果A和B的最小公倍数是60，那么C=2．分析：利用求最小公倍数的方法：几个数的公有因数与独有因数的连乘积；由此可以解决问题．解：分解质因数A=2×5×C，B=3×5×C，所以2×3×5×C=60，则C=2．故答案为：2．点评：此题考查了求几个数的最小公倍数的灵活应用．【同步测试】单元同步测试题一．选择题（共8小题）1．30的因数共有（）个．A．4个 B．8个 C．2个2．李明有张数相同的5元和1元零用钱若干，李明可能有（）钱．A．48元 B．38元 C．28元 D．8元3．甲数是乙数的倍数，甲乙两数的最大公约数是（）A．甲数 B．乙数 C．14．13×5＝65，13是65的（）A．质数 B．合数 C．质因数5．下面（）有公因数3．A．6和11 B．9和15 C．21和35 D．30和406．a和b是两个连续的非0自然数，它们的最小公倍数是（）A．a B．b C．1 D．ab7．用3、5、7除，余数都是1的数有（）A．有限的个数 B．无数个 C．没有一个8．甲数÷乙数＝15，甲数和15的最大公因数是（）A．1 B．甲数 C．乙数 D．15二．填空题（共7小题）9．一个数的最大因数是15，这个数是，它有个因数，这个数的最小倍数是．10．学校400米环形跑道每隔4米插一面小旗，现在要改成每隔5米插一面小旗，有面小旗不要移动．11．写出36所有的因数：．12．如果a÷b＝26，（a、b非零自然数）a与b的最小公倍数是，最大公因数是．13．如果15÷3＝5，我们就说15是3的，是15的因数．14．用1～9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数．那么，这些数的最大公约数是．15．4的最小倍数是．三．判断题（共5小题）16．因为4÷0.5＝8，所以4是0.5的倍数，0.5是4的因数．（判断对错）17．3是因数，6是倍数．（判断对错）18．同时是2、3、5、6的倍数中，最小的数是60．（判断对错）19．7和13的公因数只有1．．（判断对错）20．所有偶数（0除外）的最大公因数是2．．（判断对错）四．计算题（共1小题）21．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数．11和834和5178和39五．应用题（共4小题）22．把24个球装在几个盒子里，如果每个盒子装的数量一样多，有多少种装法？每种装法各需要多少个盒子？每个盒子里装几个？（选用合适的方法进行解答）23．已知两个数的最大公约数是13，最小公倍数是78，求这两个数的差．24．有一堆苹果，总数不到30个，把这堆苹果平均分给5个人，还多出3个苹果．这堆苹果有几个？（可以从不同的可能性来考虑）25．东木小区开展闲置图书共享活动．参与共享的图书数量在100和200之间，并且比24的倍数多15．参与共享的图书最多有多少本？

参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【分析】根据找一个数的因数的方法进行列举即可．【解答】解：30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30一共8个；故选：B．【点评】此题考查了找一个数因数的方法．2．【分析】既然5元和1元的张数相同，那么，他的总钱数应该是6的整数倍，由此得解．【解答】解：A、48元＝6元×8；可以；其他三个选项的38、28、8都不能被6整除．故选：A．【点评】此题考查了找一个数的倍数的方法以及货币、人民币及其常用单位和计算．3．【分析】由题意可知甲数是乙数的整数倍，求两个数为倍数关系时的最大公约数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数；由此解答问题即可．【解答】解：因为甲数是乙数的倍数，所以甲和乙的最大公约数是乙；故选：B．【点评】此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公约数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数．4．【分析】根据算式13×5＝65，可知13是65因数，13又是质数，所以13是的质因数．【解答】解：根据分析可知：13×5＝65，13是65的质因数．故选：C．【点评】此题主要考查因数与质因数的意义．5．【分析】根据分解质因数的方法，把每组数分别分解质因数，然后找出每组的公有的质因数即可．【解答】解：A、6＝2×3，11＝1×11，所以6和11没有的公因数是3；B、9＝3×3，15＝3×5，所以9和15有公因数3；C、21＝3×7，35＝5×7，所以21和35没有公因数3；D、30＝2×3×5，40＝2×2×2×5，所以30和40没有公因数3．故选：B．【点评】此题考查的目的是理解公因数的意义，掌握求两个数的公因数的方法．6．【分析】根据自然数的排列规律，在非0自然数中，相邻的两个自然数相差1，也就是相邻的两个非0自然数都是互质数．根据求两个数的最小公倍数的方法，如果两个数是互质数，那么这两个数的乘积就是它们的最小公倍数．据此解答即可．【解答】解：因为a和b是两个连续的非0自然数，也就是a和b是互质数，所以a和b的最小公倍数是ab．故选：D．【点评】此题考查的目的是理解掌握求两个数的最小公倍数的方法及应用，明确：如果两个数是互质数，那么这两个数的乘积就是它们的最小公倍数．7．【分析】用3、5、7除，余数都是1的数，是比3、5、7的公倍数多1的数，由于3、5、7的公倍数有无数个，所以用3、5、7除，余数都是1的数有无数个；据此解答．【解答】解：用3、5、7除，余数都是1的数，是比3、5、7的公倍数多1的数，由于3、5、7的公倍数有无数个，所以用3、5、7除，余数都是1的数有无数个；故选：B．【点评】解答此题要明确几个数的公倍数有无数个．8．【分析】因为甲数÷乙数＝15，那么甲数÷15＝乙数，则甲数和15成倍数关系，当两个数成倍数关系时，较大的那个数是这两个数的最小公倍数，较小的那个数是这两个数的最大公因数；据此判断即可．【解答】解：甲数÷乙数＝15，则甲数÷15＝乙数，则甲数和15成倍数关系，所以甲数和乙数的最大公因数是15．故选：D．【点评】此题主要考查了求两个数的最大公因数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数，较大的那个数是这两个数的最小公倍数．二．填空题（共7小题）9．【分析】根据因数与倍数的意义，如果甲数是乙数的倍数，那么乙数就是甲数的因数．一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数；由此解答．【解答】解：一个数的最大因数是15，这个数是15，15的因数有：1、3、5、15共4个；15的最小倍数是15．故答案为：15；4；15．【点评】此题考查的目的是使学生理解因数与倍数的意义，明确：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数．10．【分析】分析题意可得，不动的小旗地点应该是4和5的公倍数所在的位置，找出400以内有几个4和5的公倍数即可．【解答】解：400以内4与5的公倍数有20、40、60、80、100、120、140、160、180、200、220、240、260、280、300、320、340、360、380、400共20个．故答案为：20【点评】此题考查利用公倍数解决实际问题．11．【分析】根据求一个数的因数的方法，进行列举即可．【解答】解：36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36．故答案为：1、2、3、4、6、9、12、18、36．【点评】此题考查的是求一个数因数的方法，应有顺序的写，做到不重复，不遗漏．12．【分析】由a÷b＝26（a、b非零自然数），可知a是b的整数倍，求两个数为倍数关系时的最大公因数和最小公倍数：最大公因数为较小的数；最小公倍数为较大的数；由此解答问题即可．【解答】解：由题意得，a÷b＝26，（a、b非零自然数）可知a是b的倍数所以，a与b的最小公倍数是a，最大公因数是b．故答案为：a，b．【点评】此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公因数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数；最小公倍数为较大的数．13．【分析】根据因数和倍数的意义：如果整数a能被整数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可．【解答】解：15÷3＝5，我们就说15是3的倍数，3是15的因数．故答案为：倍数，3．【点评】此题应根据因数和倍数的意义进行分析、解答．14．【分析】（1）组成的所有九位数，每一个数上的数字相加的和都是：1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45，45是9的倍数，能被9整除，根据各个数位上的数字之和能被9整除，这个数就能被9整除，所以这九个数字组成的所有九位数都能被9整除；（2）987654321﹣987654312＝9，所以最大公约数不可能超过9；综上所述，组成的所有九位数的最大公约数是9．根据能被9整除的数的特征，即各个数位上的数字之和能被9整除，这个数就能被9整除，用1～9这九个数码组成的没有重复数字的九位数，它们各个数位上的数字之和能被9整除，进一步得出答案．【解答】解：（1）组成的所有九位数，每一个数上的数字相加的和都是：1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45，45是9的倍数，能被9整除，根据各个数位上的数字之和能被9整除，这个数就能被9整除，所以这九个数字组成的所有九位数都能被9整除；（2）987654321﹣987654312＝9，所以最大公约数不可能超过9；综上所述，组成的所有九位数的最大公约数是9．故答案为：9．【点评】解决此题关键是掌握能被9整除的数的特征，即各个数位上的数字之和能被9整除，这个数就能被9整除．15．【分析】求一个数的倍数的方法用这个数分别乘自然数1、2、3、4、5…，所得积就是这个数的倍数，其中最小倍数是它本身．【解答】解：4的最小倍数是4．故答案为：4．【点评】本题主要考查求一个数的倍数的方法．记住其中最小的是它本身．三．判断题（共5小题）16．【分析】根据因数和倍数的意义，因数和倍数是在非0自然数范围内进行研究，以此解答．【解答】解：4÷0.5＝8，只是4能被0.5除尽，不是整除；倍数是相对应整数而言的，研究范围是在非0自然数范围内，所以原题说法错误；故答案为：×．【点评】此题的解答关键是明确因数和倍数的意义，以及因数和倍数的研究范围是在非0自然数范围内．17．【分析】根据因数和倍数的意义，当a÷b＝c（a、b、c为非0自然数），我们说a是b的倍数，b是a的因数．由此可见，因数和倍数是相互依存的，不能单说a是倍数，b是因数．由此可解答此题．【解答】解：根据因数和倍数的意义，当a÷b＝c（a、b、c为非0自然数），我们说a是b的倍数，b是a的因数．由此可见，因数和倍数是相互依存的，应该说3是6的因数，6是3的倍数；所以“3是因数，6是倍数”的说法是错误的．故答案为：×．【点评】此题是考查因数和倍数的意义，学生往往忽略因数和倍数是相互依存这这一点，容易出错．18．【分析】本题即求2、3、5、6的最小公倍数，因为2、3的最小公倍数是6，所以只要求出5、6的最小公倍数即可判断．【解答】解：因为2、3的最小公倍数是6，所以只要求出5、6的最小公倍数，5×6＝30即同时是2、3、5、6倍数的最小的数是30，所以本题说法错误；故答案为：×．【点评】此题实际上就是求2、3、5、6的最小公倍数．19．【分析】7是质数、13也是质数，所以7和13是互质数，那么它们的公因数只有1．据此判断即可．【解答】解：因为7是质数、13也是质数，所以7和13是互质数，那么它们的公因数只有1．因此，7和13的公因数只有1．这种说法是正确的．故答案为：√．【点评】此题考查的目的是理解掌握公因数的意义以及求两个数的公因数的方法及应用．20．【分析】根据偶数的意义，在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数．再根据公因数、最大公因数的意义，几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个是它们最大公因数．据此判断即可．【解答】解：因为2是偶数，而2的因数中最大的是2，所以所有偶数（0除外）的最大公因数是2．此说法正确．故答案为：√．【点评】此题考查的目的是理解偶数的意义、公因数、最大公因数的意义，掌握求几个数的最大公因数的方法．四．计算题（共1小题）21．【分析】求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可．【解答】解：11和8互质，所以最大公因数是1，最小公倍数是11×8＝88．34＝17×251＝17×3所以34和51的最大公约数是：17，最小公倍数是：17×2×3＝102；78÷3