6431-2余弦定理正弦定理析训练-2021-2022学年高一数学满分计划（人教A版2019）

20212022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第二册)6.4.3.1&2余弦定理、正弦定理一、单选题1．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校）在中，角A，B，C对应的边分别为a､b､c，若，，，则B等于（）A． B． C．或 D．32．（2022·河南·（文））在中，内角，，所对的边分别是，，.若，，，则（）A． B． C．或 D．或3．（2022·四川·（理））已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（）A． B． C． D．4．（2022·北京石景山·）在△中，若，则（）A． B． C． D．5．（2022·全国·（文））在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边分别为a，b，c，则其面积，这里．已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则的面积最大值为（）．A． B． C．10 D．126．（2021·西藏·林芝一中（文））在中，内角的对边分别为，已知，，的面积为，则（）A． B． C． D．67．（2022·北京密云·）在△中，，，分别是角，，的对边，若，且，，则的值为（）A． B．2 C． D．18．（2021·全国全国·）在中，D为边BC上的一点，H为的垂心，，则（）A．2019 B．2020 C．2021 D．20229．（2022·河南南阳·（理））在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．（2021·江西·（理））如图所示，平面四边形中，，，，，，则的长为（）A． B． C． D．11．（2021·河南·洛阳市第一高级中学）在三角形中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，12．（2022·河南南乐·（文））在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、多选题13．（2021·江苏·海安市南莫中学）在△ABC中，则下列说法正确的是（）A．若，则△ABC是等腰三角形B．若，则△ABC是直角三角形C．若，则△ABC是钝角三角形D．若，则△ABC是锐角三角形14．（2021·江苏·扬州大学附属中学）在中，a，b，c是角A，B，C分别所对的边，下列正确的命题为（）A．若，则；B．若，，，则或120°C．若，则为等腰三角形D．若的面积为，则15．（2021·浙江·诸暨中学）在中，下列说法正确的有：（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则16．（2021·全国·）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若，则a的取值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．417．（2021·山东日照·高一期末）下列结论正确的是（）A．在中，若，则B．在锐角三角形中，不等式恒成立C．在中，若，则是直角三角形D．在中，若，三角形面积，则三角形的外接圆半径为18．（2021·重庆一中高一期末）在锐角中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（）A． B．的取值范围为C．的取值范围为 D．的取值范围为三、填空题19．（2022·上海·）在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为________20．（2021·全国·）在钝角中，，，，，则的取值范围是______．21．（2021·云南·（理））托勒密定理是数学奥赛中的常用定理，该定理指出：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.如图，已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，，，，则四边形的面积为___________.22．（2021·陕西·武功县普集高级中学（理））已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且的面积为，则a的值为______．23．（2021·贵州省思南中学高一期中）设锐角三个内角所对的边分别为,若，，则的取值范围为__________．24．（2021·浙江·宁波咸祥中学高一期中）已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________.四、解答题25．（2022·陕西·武功县普集高级中学（理））在中，分别是角所对的边，满足．(1)求角B大小；(2)求的取值范围．26．（2022·重庆·）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)求C；(2)若，，点D在边AB上，且，求CD的长.27．（2022·山东青岛·）在中，角所对的边分别为，已知，且.(1)求的值；(2)若的面积，求的值.28．（2022·四川达州·（理））已知.(1)求在上的单调递增区间；(2)已知锐角内角，，的对边长分别是，，，若，.求面积的最大值.参考答案：1．A【解析】【分析】利用正弦定理可求答案.【详解】由正弦定理可知，；因为，，，所以；因为，所以或（舍）.故选：A.2．A【解析】【分析】根据题意和正弦定理求出，结合即可求出角B.【详解】由正弦定理可得，则，故或.因为，所以，所以.故选：A3．C【解析】【分析】理由余弦定理求出，再根据平方关系即可的解.【详解】解：因为，，，所以，故．故选：C.4．C【解析】【分析】通过正弦定理将边化为角，结合两角和的正弦公式可得，进而可得结果.【详解】因为，由正弦定理可得，由于，即，所以，得，故选：C.5．D【解析】【分析】根据给定信息列出关于b的函数关系，再借助二次函数计算作答.【详解】依题意，，则，所以，，所以的面积最大值是12.故选：D6．B【解析】【分析】根据，，的面积为，求得a，再利用余弦定理求解.【详解】因为，，的面积为，所以，解得，由余弦定理得，，所以，故选：B7．B【解析】【分析】由正弦定理边角关系及已知条件可得，再由三角形内角的性质有，进而应用余弦定理求的值.【详解】由题设，且，可得，，所以，又，，所以，即.故选：B.8．C【解析】【分析】令BC，AB边上的高分别为AE，CF，利用向量共线及向量数量积可得，再借助面积法及正弦定理计算可得即可得解.【详解】设BC，AB边上的高分别为AE，CF，则AE与CF交点为H，如图，由B，C，D三点共线可得：，于是有，则，在中，，则，在中，由正弦定理得，则，在中，由正弦定理有，于是得，因此，，所以2021.故选：C9．C【解析】【分析】根据题意可得，由锐角三角形可求出A的范围，再由正弦定理及余弦函数的值域即可求解.【详解】,，.故选：C10．D【解析】【分析】由正弦定理得，进而结合余弦定理计算得.【详解】解：由正弦定理，，即，故，所以，所以，所以由余弦定理，.故选：D．11．C【解析】【分析】由正弦定理可得，根据条件求得的值，根据与的大小判断角的大小，从而判断三角形的解的个数．【详解】由正弦定理可得，若A成立，，，，有，∴，∴，故三角形有唯一解．若B成立，，，，有，∴，又，故，故三角形无解．若C成立，，，，有，∴，又，故，故可以是锐角，也可以是钝角，故三角形有两个解．若D成立，，，，有，∴，由于，故为锐角，故三角形有唯一解．故选：C．12．D【解析】【分析】根据给定条件利用正弦定理、余弦定理、三角形面积定理求出角C及边c，再求出的范围即可计算作答.【详解】在锐角中，由余弦定理及三角形面积定理得：，即有，而，则，又，由正弦定理、余弦定理得，，化简得：，由正弦定理有：，即，，是锐角三角形且，有，，解得，因此，由得：，，所以．故选：D【点睛】思路点睛：涉及求三角形周长范围问题，时常利用三角形正弦定理，转化为关于某个角的函数，再借助三角函数的性质求解.13．CD【解析】【分析】对于A，利用二倍角公式、正余弦定理转化为边的关系，化简可得结果，对于B，举例判断，对于C，利用余弦函数的性质判断，对于D，利用两角和的正切公式化简判断【详解】解：对于A，由，得，由正余弦定理得，得，化简得，，所以或，所以或，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，所以A错误，对于B，若，则，而△ABC不是直角三角形，所以B错误，对于C，因为，，所以中只有一个钝角，所以△ABC是钝角三角形，所以C正确，对于D，因为，，所以，所以，所以，因为，所以都为锐角，△ABC是锐角三角形，所以D正确.故选：CD14．ABD【解析】【分析】对于A：根据正弦定理由可得出，由此可判断；对于B：根据正弦定理可得，再由角的范围可判断；对于C：根据正弦定理得，根据正弦的二倍角公式可得，由此可判断；对于D：根据余弦定理和三角形的面积公式可得，根据角的范围可判断.【详解】对于A：根据正弦定理由可得出，所以，故A正确；对于B：根据正弦定理得，即，解得，又，所以或120°，故B正确；对于C：根据正弦定理由得，所以，所以或，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故C不正确；对于D：因为，所以，即，又，所以，故D正确，故选：ABD.15．ABD【解析】【分析】利用大边对大角定理结合正弦定理可判断A选项的正误；利用A选项中的结论结合二倍角的余弦公式可判断D选项的正误；利用余弦函数的单调性可判断B选项的正误；利用特殊值法可判断C选项的正误.【详解】对于A选项，若，则，由正弦定理可得，A对；对于B选项，因为，且余弦函数在上为减函数，故，B对；对于C选项，取，，则，，此时，，C错.对于D选项，若，则，则，D对；故选：ABD.16．BC【解析】【分析】由三角形三边关系，得到，由，可得，再由余弦定理得到的范围，从而得到答案.【详解】由三角形三边关系，得到；因为，由正弦定理得，，即，由余弦定理得，因为，所以，且所以，所以，当且仅当时，等号成立，故.故选：BC.17．ABC【解析】【分析】利用三角形“大角对长边”和正弦定理即可判断A；利用余弦定理，即可判断B；首先利用正弦定理得到，即可求出判断C；对选项D，首先利用面积公式得到，利用余弦定理得到，再利用正弦定理即可判断D.【详解】对于A，在中，由，利用正弦定理得，故A正确.对于B，由锐角三角形知，则，，故B正确.对于C，由，利用正弦定理得，即，故，即，则是直角三角形，故C正确.对于D，，解得，利用余弦定理知，所以，又因为，，故D错误.故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦定理和余弦定理的综合应用，熟练掌握公式为解题的关键，属于中档题.18．AD【解析】【分析】先利用正弦定理从条件中求出，得到选项A正确.选项B利用为锐角三角形求解；选项C先用二倍角公式化简，再结合角的范围求解；选项D先对式子化简，再换元利用对勾函数的性质求范围.【详解】在中，由正弦定理可将式子化为，把代入整理得，，解得或，即或(舍去).所以.选项A正确.选项B：因为为锐角三角形，，所以.由解得，故选项B错误.选项C：，因为，所以，，即的取值范围.故选项C错误.选项D：.因为，所以，.令，，则.由对勾函数的性质知，函数在上单调递增.又，，所以.即的取值范围为.故选项D正确.故选：AD.19．##【解析】【分析】运用正弦定理及余弦定理可得解.【详解】根据余弦定理：，得，由正弦定理△ABC的外接圆半径为.故答案为:.20．【解析】【分析】根据条件，利用以及三角形两边和大于第三边列不等式组求解即可.【详解】，解得故答案为：.21．12【解析】【分析】设，由余弦定理可得，然后可得，然后可算出面积.【详解】设，因为，由余弦定理得，即.由托勒密定理得，所以..故答案为：1222．【解析】【分析】根据，，且的面积为，利用三角形面积公式求得c，再利用余弦定理求解.【详解】因为，，且的面积为，所以，解得，由余弦定理得：，，所以，故答案为：23．【解析】【分析】先利用余弦定理化简得，再利用正弦定理求出，再结合B的范围求出c的范围.【详解】由及余弦定理可得，即，所以．又为锐角三角形，所以．由正弦定理可得．由且可得，所以，所以，即．故的取值范围为．故答案为【点睛】(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题利用了函数的思想，一定要注意考查B的范围，否则会出错.24．【解析】【分析】先利用正弦定理将条件中的角转化为边的关系，再利用余弦定理求解出角A的值，再利用边a的余弦定理和均值不等式求出bc的最大值后即可求解出面积的最大值.【详解】因为，所以根据正弦定理得:，化简可得:，即，(A为三角形内角)解得:，又，(b=c时等号成立)故.故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题目，解题的关键有两点，首先是利用正余弦定理实现边角之间的互化，其次是利用余弦定理和均值不等式求出三角形边的乘积的最大值.25．(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角公式整理计算即可得答案；（2）利用消去中的，再利用三角公式变形，利用三角函数的性质求范围.(1)，由正弦定理知：．即：，又；(2)，且．，故的取值范围是.26．(1)(2)【解析】【分析】（1）由已知借助正弦定理进行边角转化，然后再使用余弦定理，即可求解出C;（2）借助第（1）问角C及已知条件，利用余弦定理先求解出b，然后通过找到与b之间的关系，即可完成求解.(1)由已知借助正弦定理可得：，即，即，，故；(2)由余弦定理知，∴