1.1 直线的斜率与倾斜角【同步精讲】（原卷版）

高中数学精选资源2/2第1章 直线与方程第01讲直线的斜率与倾斜角目标导航目标导航课程标准重难点理解直线的斜率和倾斜角的概念；理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性；3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．1.倾斜角永远存在但斜率不一定2.倾斜角与斜率的计算知识精讲知识精讲知识点一直线的倾斜角在平面直角坐标系中，当直线与轴相交时，我们以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以倾斜角的范围是．【概念解读】1.要清楚定义中含有的三个条件：①直线向上方向；②轴正向；③小于的角.2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.3.倾斜角的范围是.当时，直线与x轴平行或与x轴重合.4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置.知识点二直线的斜率斜率的定义1..倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．2.概念解读：当直线与x轴平行或重合时，=0°，k=tan0°=0；直线与x轴垂直时，=90°，k不存在。由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.3.直线的倾斜角与斜率之间的关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k＝0k>0不存在k<0斜率公式1.斜率公式：已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式.【概念解读】对于上面的斜率公式要注意下面五点：(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角=90°，直线与x轴垂直；(2)k与P1、P2顺序无关，即y1，y2和x1，x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；(4)当y1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角=0°，直线与x轴平行或重合；(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．能力拓展能力拓展考法01直线的倾斜角例1设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线，则直线1的倾斜角为例1【跟踪训练】1.已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________．【方法总结】1.解答此类问题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．2.求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．考法02直线的斜率例2【例2】如图所示，直线的倾斜角，直线与垂直，求，的斜率．例2【跟踪训练】2.若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m＝________.3.经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________(其中m≥1)．考法03三点共线例3（2021·吉林扶余市第一中学期末）若a∈N，又三点A（a，0），B（0，a+4），C（1，3）共线，求a例3【跟踪训练】4.已知A（―3，―5），B（1，3），C（5，11）三点，试判断这三点是否在同一直线上．【方法总结】1.应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直于x轴，斜率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解．2.用斜率公式可解决三点共线问题 课堂小结课堂小结1.知识体系直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率倾斜角斜率当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，①与直线向上方向之间所成的角叫做直线的②．当直线和轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为③，因此，倾斜角的取值范围是④斜率公式：在直角坐标平面内，已知两点，经过这两点的直线的斜率k=⑤倾斜角不是90°的直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用表示，即k=⑥2.斜率公式(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是y2－y1，分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，分母必须是x1－x2，即k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(y2－y1,x2－x1).(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．分层提分分层提分题组A基础过关练一、单选题1．直线的倾斜角是（）A． B． C． D．2．如图所示，下列四条直线中，斜率最大的是（）A． B． C． D．3．如图，在矩形中，，直线的斜率为，则直线的斜率为（）A． B． C． D．4．已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为，则其一条边所在直线的斜率是（）A． B． C． D．5．若，，三点共线，则（）A． B． C． D．6．已知点A(1，0)，B(2，)，C(m，2m)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则实数m的值为________.7．若A(a，0)，B(0，b)，C(，)三点共线，则________.8．若直线经过，两点，则直线的倾斜角的大小是________．题组B能力提升练1．直线：与轴交于点，把绕点顺时针旋转得直线，的倾斜角为，则（）A． B．C． D．2．直线xsinα-y+2=0的倾斜角的取值范围是（）A． B．C． D．3．直线的倾斜角的取值范围是（）A． B． C． D．4．下列命题中，正确的是（）A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为C．若直线倾斜角，则斜率的取值范围是D．当直线的倾斜角时，直线的斜率在这个区间上单调递增.5．已知直线与两点，点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是______．6．已知直线的倾斜角为，则的取值范围是_________．7．已知直线.（1）若直线过点，试写出直线的一个方向向量；（2）若实数，求直线的倾斜角的取值范围.8．已知坐标平面内两点M(m＋3,2m＋5)，N(m－2,1).(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗？题组C培优拔尖练1．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，，，，分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（）A． B． C． D．2．坐标平面内有相异两点，，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是（）A． B．C． D．3．已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为（）A． B． C． D．4．下列说法错误的是（）A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件；B．直线与直线互相平行，则；C．过两点的所有直线的方程为；D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为．5．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，_____．6．颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为，其中表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：），表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点的横坐标表示第i种口罩第j次测试时的值，纵坐标表示第i种口罩第j次测试时的值．

该研究小组得到以下结论：①在第1种口罩的4次测试中，第4次