期中测试卷02-2021-2022学年高二数学上学期期中期末必考题精准练（人教A版2019）

20212022学年高二数学上学期期中期末必考题精准练期中测试卷02一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知平面内有一点，，，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是A．，0， B．，， C．，， D．，0，【答案】A【解析】设所求点的坐标为，，，则，，，平面的一个法向量为，，对于选项，，符合，对于选项，，不符合，对于选项，，不符合，对于选项，，不符合，故选A．2．已知直线与互相垂直，其垂足为，则的值为A．4 B． C．0 D．20【答案】C【解析】直线与互相垂直，，，直线即，垂足代入得，，．把代入，可得，，故选C．3．在平行六面体中，，，，是BC的中点，用，，表示为A． B． C． D．【答案】A【解析】如图示：，结合图象得：，故选A．4．过直线与的交点，并与垂直的直线的方程为A． B． C． D．【答案】B【解析】由，求得，可得直线与的交点为，要求直线的斜率为，故要求直线的方程为，即，故选B．5．已知，1，，，，，则的最小值是A．1 B． C． D．【答案】B【解析】，1，，，，，，，，，当时，取最小值．故选B．6．一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最短距离A． B．4 C． D．6【答案】C【解析】圆，即，表示以点为圆心、半径等于的圆，点关于轴的对称点，则由题意利用反射定律可得，光线从点出发，经轴反射到圆的最短距离为，故选C．7．点，为椭圆的两个焦点．点为椭圆内部的动点．则△周长的取值范围为A． B．， C． D．，【答案】C【解析】设椭圆的半焦距为，椭圆，，，，即，△周长为，当在之间时，最小值为2，但此时构不成三角形，故，当在椭圆上时，，△周长取得最大值，但点为椭圆内部的动点．故，△周长的取值范围为．故选C．8．已知椭圆，为坐标原点，，，AB是椭圆的一条弦，若弦AB的中点在线段OE（不含端点，上，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】设点，的坐标为，，，，则中点，在线段上，且，则，又，，两式相减得，由题知，，所以，则，设方程为，代入，整理得，由△解得，因为的中点在线段（不含端点，上，所以，所以，由韦达定理得，，所以，，所以的取值范围是，．故选A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线、的方向向量分别是，若，且，则的值可以是A． B．7 C．1 D．【答案】BD【解析】直线、的方向向量分别是，且，且，，解得，或，或．故选BD．10．下列说法正确的是A．直线必过定点 B．直线在轴上的截距为 C．直线的倾斜角为 D．过点且垂直于直线的直线方程为【答案】ABD【解析】对于，直线必过定点，故正确；对于，直线在轴上的截距为，故正确；对于，直线的斜率为，其倾斜角为，故错误；对于，过点且垂直于直线的直线方程为：，即，故正确．故选ABD．11．已知点，圆上存在点，满足，则的取值可能是A．1 B． C． D．0【答案】ABC【解析】设，，由，得，整理得：．圆上存在点，满足，即两圆与有交点，则，解得．的取值可能是1，，．故选ABC．12．已知椭圆的左、右焦点分别为、，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是A．的最小值为 B．椭圆的短轴长可能为2 C．椭圆的离心率的取值范围为 D．若，则椭圆的长轴长为【答案】AD【解析】由可得：，所以轴，中，，当且仅当，，三点共线时，取到最小值为，所以正确；中，因为在椭圆内，，所以短轴长，故不正确；中，因为在椭圆内，所以长轴长，所以离心率，所以，所以不正确；中，因为，所以为的中点，而，，，所以，所以长轴长，所以正确，故选AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若，，，，0，，，4，，则．【答案】3【解析】因为，，，，0，，，4，，所以，所以．故答案为：3．14．已知直线，，若，则．【答案】【解析】直线，，且，，即，解得．故答案为：．15．在平面直角坐标系中，已知圆，直线经过点，若对任意的实数，直线被圆截得的弦长都是定值，则直线的方程为．【答案】【解析】将圆化为标准式得圆心，半径，直线经过点，对任意的实数，定直线被圆截得的弦长为定值，则圆心到直线的距离为定值．当直线的斜率不存在时，，圆心到直线的距离为不是定值．当直线斜率存在时，假设直线斜率为，则直线的方程为，即．因此，圆心到直线的距离为定值，与无关，因此，故直线方程为，即．故答案为：．16．如图，椭圆的中心在坐标原点，为左焦点，、分别为长轴和短轴上的一个顶点，当时，此类椭圆称为“优美椭圆”；类比“优美椭圆”，可推出“优美双曲线”的离心率为．【答案】【解析】根据“优美椭圆”的定义，可得“优美双曲线”的虚轴一端与左焦点的连线，垂直于该点与右顶点连线．如图，设是双曲线右顶点，是虚轴上端点，是左焦点中，，且，即因此，，两边都除以并整理，得，解之得（舍负）“优美双曲线”的离心率为故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图所示，在三棱柱中，是中点，化简下列各式：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．18．已知点，求满足下列条件的直线的一般方程．（1）经过点，且在轴上的截距是轴上截距的4倍；（2）经过点，且与坐标轴围成的三角形的面积为．【答案】（1）若直线经过原点，则方程为：，即．若直线不经过原点，可设方程为：，把点代入可得：，解得，方程为：，即．综上可得直线的一般方程为：，或．（2）设直线的方程为：，把点代入可得：，又，化为，联立，解得，直线的一般方程为：，．19．已知圆．（1）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）若直线过点与圆相交于，两点，求的面积的最大值，【答案】（1）圆的圆心坐标为，半径，直线被圆截得的弦长为，圆心到直线的距离．①当直线的斜率不存在时，直线的方程：，显然满足；②当直线的斜率存在时，设直线的方程：，即，由圆心到直线的距离得：，解得，故直线的方程：；综上所述，直线的方程为或．（2）直线与圆相交于、两点，的斜率一定存在且不为0，设直线方程：，即，则圆心到直线的距离为，又的面积，当时，取最大值2，由，得或，的面积的最大值为2．20．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点在坐标轴上，且经过和两点；（2）过点，且与椭圆有相同的焦点．【答案】（1）设所求椭圆的方程为，，，因为点和在椭圆上，所以，解得，所以所求椭圆的标准方程为；（2）因为所求椭圆与椭圆有相同的焦点，则所求椭圆的焦点在轴上，且，设所求椭圆的方程为，因为所求椭圆过点，所以，又，解得，，所以所求椭圆的标准方程为．21．如图，在四棱柱中，底面是为菱形，，平面，为的中点．（1）证明：；（2）若与平面所成角为，且，求二面角的大小．【答案】（1）证明：因为四边形为菱形，所以，因为平面，平面，则，又，，平面，故平面，又平面，所以；（2）解：因为平面，所以在平面内的射影为，则为直线与平面所成的角，设，则，由，解得，设的中点为，的中点为，连接，则，所以平面，又，故，，两两垂直，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，故，又为平面的一个法向量，所以，故二面角的大小为．22．设为坐标