第03讲简单几何体的表面积与体积-2021-2022学年高一数学下学期考点(人教A版2019)

第3讲简单几何体的表面积与体积知识点1棱柱、棱锥、棱台的表面积1．棱柱、棱锥、棱台的表面积的概念棱柱、棱锥、棱台是多面体，将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积．由此可知，棱柱、棱锥、棱台的侧面积就是它们的各个侧面的面积之和．棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和．可见，棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成这些几何体的各个平面的面积之和，也可表示为：，，．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：项目名称底面侧面棱柱平面多边形平行四边形面积=底·高棱锥平面多边形三角形面积=·底·高棱台平面多边形梯形面积=·（上底+下底）·高注：求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面面积（1）直棱柱的侧面积：把直棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)沿一条侧棱剪开后，得到的侧面展开图是一个矩形．如图(1)所示，则直棱柱的侧面面积为ch(c为底面周长，h为侧棱长)．（2）正棱锥的侧面积：正棱锥(底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面的中心)的侧面展开图是几个全等的等腰三角形．如图(2)所示，则正棱锥的侧面面积为ch′(c为底面周长，h′为斜高，即侧面等腰三角形底边上的高)．（3）正棱台的侧面积：正棱台(由正棱锥截得)的侧面展开图是几个全等的等腰梯形．如图(3)所示，则正棱台的侧面面积为(c+c′)h′(c′，c分别为上、下底面周长，h′为斜高，即侧面等腰梯形的高)．知识点2圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱（底面半径为r，母线长为l）圆锥（底面半径为r，母线长为l）圆台（上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l）侧面展开图圆柱的侧面展开图是一个矩形圆锥的侧面展开图是一个扇形圆台的侧面展开图是一个扇环底面面积S底=πr2S底=πr2S上底=πr′2，S下底=πr2侧面面积S侧=2πrlS侧=πrlS侧=πl(r′+r)表面积S表=2πr(r+l)S表=πr(r+l)S表=π(r′2+r2+r′l+rl)注：求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．对圆柱、圆锥、圆台侧面积与表面积的求解(1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，可直接使用公式.但圆台的表面积公式比较复杂，不要求记忆，因此，表面积的求解方法是最重要的．(2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时，应根据条件计算以上旋转体的母线长和底面圆的半径长．(3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路，那就是主要通过空间观念等有关知识，将立体几何问题转化为平面几何问题．(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系S圆柱侧＝2πrleq\o(→,\s\up7(r′＝r))S圆台侧＝π(r＋r′)leq\o(→,\s\up7(r′＝0))S圆锥侧＝πrl.知识点3柱体、椎体、台体的体积1．柱体、椎体、台体的高（1）棱柱（圆柱）的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离．圆柱的母线即圆柱的高．（2）棱锥（圆锥）的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离．（3）棱台（圆台）的高是指两个底面之间的距离．2．柱体、锥体、台体的体积几何体体积柱体V柱体=Sh(S为底面面积，h为高)，V圆柱=πr2h(r为底面半径，h为高)锥体V锥体=Sh(S为底面面积，h为高)，V圆锥=πr2h(r为底面半径，h为高)台体(S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，V圆台=πh(r′2+r′r+r2)(r′、r分别为上、下底面半径，h为高)注：1、对于棱柱、棱锥、棱台的体积公式的几点认识(1)等底、等高的两个棱柱的体积相同．(2)等底、等高的棱锥和棱柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V＝Sheq\o(→,\s\up7(S′＝S),\s\do5())V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)heq\o(→,\s\up7(S′＝0),\s\do5())V＝eq\f(1,3)Sh.(4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积.根据棱台的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去“小棱锥”的方法求棱台的体积．2、对于圆柱、圆锥、圆台体积公式的几点认识(1)等底、等高的两个圆柱的体积相同．(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍．(3)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系V＝Sheq\o(→,\s\up7(S′＝S),\s\do5())V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)heq\o(→,\s\up7(S′＝0),\s\do5())V＝eq\f(1,3)Sh.(4)求圆台的体积转化为求圆锥的体积.根据台体的定义进行“补形”，还原为圆锥，采用“大圆锥”减去“小圆锥”的方法求圆台的体积．知识点4组合体的表面积与体积求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，再相加或相减．知识点5球的体积与表面积1．球的表面积（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积．（2）球的表面积设球的半径为R，则球的表面积公式S球=4πR2．即球面面积等于它的大圆面积的四倍．2．球的体积设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数．球的体积公式为．注：从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有惟一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数．球的表面积(体积)计算中蕴涵的数学思想①函数方程思想：根据球的表面积与体积公式可知，球的半径R，球的表面积S，球的体积V三个量“知一求二”．②转化思想：空间问题平面化．考点一棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积解题方略：求棱柱、棱锥、棱台的表面积的基本步骤(1)清楚各侧面的形状，求出每个侧面的面积．(2)求出其底面的面积．(3)求和得到表面积．注意：组合体的表面积应注意重合部分的处理．【例1】棱长为3的正方体的表面积为()A．27 B．64C．54 D．36【解析】根据表面积的定义，组成正方体的表面共6个，且每个都是边长为3的正方形．从而，其表面积为6×32＝54.故选C.变式1：现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．【解析】如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BD,2)))2＝eq\f(a2＋b2,4)＝eq\f(200＋56,4)＝64，∴AB＝8.∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.变式2：若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于()A．12 B．48C．64 D．72【解析】该六棱柱的6个侧面是全等的矩形，则S侧＝6×(3×4)＝72.故选D.变式3：已知一个三棱锥的每一个面都是边长为1的正三角形，则此三棱锥的表面积为()A．4 B.eq\f(\r(3),4)C．2eq\r(3) D.eq\r(3)【解析】三棱锥的每个面(正三角形)的面积都为eq\f(\r(3),4)，所以此三棱锥的表面积为4×eq\f(\r(3),4)＝eq\r(3).故选D.变式4：侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是()A.eq\f(3＋\r(3),4)a2 B.eq\f(3,4)a2C.eq\f(3＋\r(3),2)a2 D.eq\f(6＋\r(3),4)a2【解析】∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于eq\f(\r(2),2)a，∴S表＝eq\f(\r(3),4)a2＋3×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2＝eq\f(3＋\r(3),4)a2.故选A.变式5：已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为()A．6 B．12C．24 D．48【解析】正四棱锥的斜高h′＝eq\r(52－32)＝4，S侧＝4×eq\f(1,2)×6×4＝48.故选D.变式6：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为()A．1∶1 B．1∶eq\r(2)C．1∶eq\r(3) D．1∶2【解析】由题图可知，三棱锥D1­AB1C的各面均是正三角形.其边长为正方体侧面对角线.设正方体的棱长为a，则面对角线长为eq\r(2)a，S锥＝4×eq\f(1,2)(eq\r(2)a)2×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)a2，S正方体＝6a2，故S锥∶S正方体＝1∶eq\r(3).故选C.变式7：已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的表面积为________．【解析】如图，在四棱台ABCD­A1B1C1D1中，过B1作B1F⊥BC，垂足为F，在Rt△B1FB中，BF＝eq\f(1,2)×(8－4)＝2，B1B＝8，故B1F＝eq\r(82－22)＝2eq\r(15)，所以S梯形BB1C1C＝eq\f(1,2)×(8＋4)×2eq\r(15)＝12eq\r(15)，故四棱台的侧面积S侧＝4×12eq\r(15)＝48eq\r(15)，所以S表＝48eq\r(15)＋4×4＋8×8＝80＋48eq\r(15).变式8：若五棱台ABCDE­A1B1C1D1E1的表面积是30，侧面积是25，则两底面面积的和为________．【解析】S表＝S侧＋S两底，则S两底＝S表－S侧＝30－25＝5.变式9：已知正五棱台的上、下底面边长分别为4cm和6cm，侧棱长为5cm，则它的侧面积为________cm2.【解析】侧面等腰梯形的高为eq\r(52－1)＝2eq\r(6)(cm)，所以侧面积S＝5×eq\f(4＋6×2\r(6),2)＝50eq\r(6)(cm2)．考点二棱柱、棱锥、棱台的体积解题方略：【例2】正方体的表面积为96，则正方体的体积为()A．48eq\r(6) B．64C．16 D．96【解析】设正方体的棱长为a，则6a2＝96，∴a＝4.∴其体积V＝a3＝43＝64.故选B.变式1：若长方体的长、宽、高分别为3cm,4cm,5cm，则长方体的体积为()A．27cm3 B．60cm3C．64cm3 D．125cm3【解析】长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为3×4×5＝60(cm)3.故选B.变式2：如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A­DED1的体积为________．【解析】VA­DED1＝VE­DD1A＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).变式3：已知高为3的直棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B1­ABC的体积为________．【解析】由题意，锥体的高为BB1，底面为S△ABC＝eq\f(\r(3),4)，所以VB1­ABC＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×3＝eq\f(\r(3),4).变式4：如图，ABC­A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)【解析】∵VC­A′B′C′＝eq\f(1,3)VABC­A′B′C′＝eq\f(1,3)，∴VC­AA′B′B＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).故选C.变式5：如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥P­ABC的体积V.【解析】三棱锥的体积V＝eq\f(1,3)Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，△PAC作为底面求解．故VP­ABC＝eq\f(1,3)S△PAC·PB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×4×3＝4.变式6：如图，某几何体下面部分为正方体ABCD­A′B′C′D′，上面部分为正四棱锥S­ABCD，若几何体的高为5，棱AB＝2，则该几何体的体积为________．【解析】V正方体＝23＝8，VS­ABCD＝eq\f(1,3)×22×(5－2)＝4.V＝V正方体＋VS­ABCD＝12.变式7：长方体ABCD­A1B1C1D1的体积为V，P是DD1的中点，Q是AB上的动点，求四面体P­CDQ的体积．【解析】设长方体的长、宽、高分别为AB＝a，BC＝b，AA1＝c，则有V＝abc.由题意知PD＝eq\f(1,2)c，S△CDQ＝eq\f(1,2)CD·AD＝eq\f(1,2)ab，所以VP­CDQ＝eq\f(1,3)S△CDQ·PD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)ab×eq\f(1,2)c＝eq\f(1,12)abc＝eq\f(1,12)V.变式8：在长方体ABCD­A1B1C1D1中，截下一个棱锥C­A1DD1，求棱锥C­A1DD1的体积与剩余部分的体积之比．【解析】设矩形ADD1A1的面积为S，AB＝h，∴VABCD­A1B1C1D1＝VADD1A1­BCC1B1＝Sh.而棱锥C­A1DD1的底面积为eq\f(1,2)S，高为h，故三棱锥C­A1DD1的体积为：VC­A1DD1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)S×h＝eq\f(1,6)Sh，余下部分体积为：Sh－eq\f(1,6)Sh＝eq\f(5,6)Sh.所以棱锥C­A1DD1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.变式9：三棱锥P­ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D­ABE的体积为V1，P­ABC的体积为V2，则eq\f(V1,V2)＝________.【解析】如图，设点C到平面PAB的距离为h，三角形PAB的面积为S，则V2＝eq\f(1,3)Sh，V1＝VE­ADB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)S×eq\f(1,2)h＝eq\f(1,12)Sh，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,4).变式10：如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，点E是棱BB1的中点，点F是棱CC1上靠近C1的三等分点，且三棱锥A1­AEF的体积为2，则四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积为()A．12 B．8C．20 D．18【解析】设点F到平面ABB1A1的距离为h，由题意得VA1­AEF＝VF­A1AE＝eq\f(1,3)S△A1AE·h＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AA1·AB))·h＝eq\f(1,6)(AA1·AB)·h＝eq\f(1,6)·S四边形ABB1A1·h＝eq\f(1,6)VABCD­A1B1C1D1，所以VABCD­A1B1C1D1＝6VA1­AEF＝6×2＝12.所以四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积为12.故选A.变式11：已知棱台的上、下底面积分别为4,16，高为3，则棱台的体积为________．【解析】由棱台的体积公式可求得其体积为V＝eq\f(1,3)(4＋eq\r(4×16)＋16)×3＝28.变式12：棱台的体积为76cm3，高为6cm，一个底面面积为18cm2，则另一个底面面积为__________．【解析】设另一个底面面积为xcm2，则由V＝eq\f(1,3)h(S＋eq\r(SS′)＋S′)，得76＝eq\f(1,3)×6×(18＋x＋eq\r(18x))，解得x＝8，即另一个底面的面积为8cm2.答案：8cm2变式13：三棱台ABC­A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1­ABC，三棱锥B­A1B1C，三棱锥C­A1B1C1的体积之比．【解析】设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.∴VA1­ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)Sh，VC­A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h＝eq\f(4,3)Sh.又V台＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，∴VB­A1B1C＝V台－VA1­ABC－SC­A1B1C1＝eq\f(7,3)Sh－eq\f(Sh,3)－eq\f(4Sh,3)＝eq\f(2,3)Sh，∴体积比为1∶2∶4.变式14：我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈．问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相结，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为()A．13.25立方丈 B．26.5立方丈C．53立方丈 D．106立方丈【解析】由题意知，刍童的体积为[(4×2＋3)×3＋(3×2＋4)×2]×3÷6＝26.5(立方丈)．故选B.变式15：(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O­EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.【解析】由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6cm和4cm，故V挖去的四棱锥＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×6×3＝12(cm3)．又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的体积为V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．考点三圆柱、圆锥、圆台的表面积解题方略：求圆柱、圆锥、圆台的表面积的基本步骤(1)得到空间几何体的平面展开图．(2)依次求出各个平面图形的面积．(3)将各平面图形的面积相加．【例3】已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2)π D．10π【解析】因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2eq\r(2)，底面圆的直径为2eq\r(2)，所以该圆柱的表面积为2×π×(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π.变式1：将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A．4π B．3πC．2π D．π【解析】底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.变式2：圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是()A．4πS B．2πSC．πS D.eq\f(2\r(3),3)πS【解析】底面半径是eq\r(\f(S,π))，所以正方形的边长是2πeq\r(\f(S,π))＝2eq\r(πS)，故圆柱的侧面积是(2eq\r(πS))2＝4πS.故选A.变式3：如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为xcm的内接圆柱．(1)试用x表示圆柱的侧面积；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？【解析】(1)S圆柱侧＝2πrx＝2πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(x,3)))x＝4πx－eq\f(2π,3)x2，x∈(0,6)．(2)由(1)知当x＝－eq\f(4π,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3))))＝3时，这个二次函数有最大值6π，∴当圆柱的高为3cm时，它的侧面积最大为6πcm2.变式4：如图所示的几何体是一棱长为4cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2cm、深为1cm的圆柱形的洞，求挖洞后几何体的表面积是多少？(π取3.14)【解析】正方体的表面积为4×4×6＝96(cm2)，圆柱的侧面积为2π·1×1＝2π(cm2)，圆柱的底面积为π·12＝π(cm2)，则挖洞后几何体的表面积为96－π＋2π＋π＝96＋2π≈102.28(cm2).变式5：已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为eq\r(3)，则这个圆锥的侧面积为__________．【解析】由题意，母线长l＝2，底面半径为1，所以侧面积为π×1×2＝2π.变式6：若圆锥的侧面展开图是圆心角为180°，半径为4的扇形，则这个圆锥的表面积是________.【解析】设圆锥的底面半径为r，则2πr＝4π，∴r＝2，∴圆锥的表面积为S＝πr2＋πr×4＝4π＋8π＝12π.变式7：已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为()A．7 B．6C．5 D．3【解析】设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7.故选A.变式8：圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为________．【解析】先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝eq\r(h2＋R－r2)＝eq\r(4r2＋3r2)＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.考点四圆柱、圆锥、圆台的体积解题方略：圆柱、圆锥、圆台的体积求法(1)直接法：根据几何体的结构特征，确定底面积和高，代入体积公式直接求出．(2)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，先求再去．【例4】如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为()A．5π B．6πC．20π D．10π【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.变式1：圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16eq\r(2)π，则圆锥的体积是()A.eq\f(64π,3) B.eq\f(128π,3)C．64π D．128eq\r(2)π【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴2r＝eq\r(l2＋l2)，即l＝eq\r(2)r，由题意得，侧面积S侧＝πr·l＝eq\r(2)πr2＝16eq\r(2)π，∴r＝4.∴l＝4eq\r(2)，高h＝eq\r(l2－r2)＝4.∴圆锥的体积V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)π×42×4＝eq\f(64,3)π，故选A.变式2：母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于eq\f(8π,5)，则该圆锥的底面圆的半径为________，体积为________．【解析】设该圆锥的底面圆的半径为r，高为h.∵母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于eq\f(8π,5)，∴侧面展开图的弧长为5×eq\f(8π,5)＝8π.又弧长＝底面周长，即8π＝2πr，∴r＝4，∴圆锥的高h＝eq\r(52－42)＝3，∴圆锥的体积V＝eq\f(1,3)×π×42×3＝16π.答案：416π变式3：已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________.【解析】设底面半径为r，则eq\f(1,3)πr2×4＝4π，解得r＝eq\r(3)，即底面半径为eq\r(3).变式4：已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________．【解析】设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π，∴r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π，∴l＝2，∴h＝eq\r(3)，∴V＝eq\f(1,3)π(12＋22＋1×2)×eq\r(3)＝eq\f(7\r(3),3)π.考点五球的体积与表面积解题方略：1．求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.2．球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R、截面圆半径r、球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.3．常见的几何体与球的切、接问题的解决策略(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．【例5】球的体积是eq\f(32π,3)，则此球的表面积是()A．12πB．16πC.eq\f(16π,3) D.eq\f(64π,3)【解析】设球的半径为R，则由已知得eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32π,3)，解得R＝2.故球的表面积S表＝4πR2＝16π.变式1：直径为6的球的表面积和体积分别是()A．144π，144π B．144π，36πC．36π，144π D．36π，36π【解析】半径R＝3.所以S表＝4πR2＝36π，V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4π,3)×27＝36π.故选D.变式2：两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________.【解析】设大球的半径为R，则有eq\f(4,3)πR3＝2×eq\f(4,3)π×13，R3＝2，所以R＝eq\r(3,2).变式3：一平面截一球得到直径为2eq\r(5)cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则该球的体积是()A．12πcm3 B．36πcm3C．64eq\r(6)πcm3 D．108πcm3【解析】设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示．在Rt△OO1A中，O1A＝eq\r(5)cm，OO1＝2cm，∴球的半径R＝OA＝eq\r(22＋\r(5)2)＝3(cm)，∴球的体积V＝eq\f(4,3)×π×33＝36π(cm3)．变式4：已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，求球的表面积．【解析】设截面圆心为O′，球心为O，连接O′A，OA，OO′，设球半径为R，因为O′A＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×2＝eq\f(2\r(3),3).在Rt△O′OA中，OA2＝O′A2＋O′O2，所以R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))2＋eq\f(1,4)R2，所以R＝eq\f(4,3)，所以S球＝4πR2＝eq\f(64,9)π.变式5：圆柱形容器的内壁底半径是10cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了eq\f(5,3)cm，则这个铁球的表面积为________cm2.【解析】设该铁球的半径为r，则由题意得eq\f(4,3)πr3＝π×102×eq\f(5,3)，解得r3＝53.∴r＝5.∴这个铁球的表面积S＝4π×52＝100π(cm2)．答案：100π变式6：长方体的一个顶点处的三条棱长分别是eq\r(3)，eq\r(3)，eq\r(6)，这个长方体的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是()A．12π B．18πC．36π D．6π【解析】由题意可知，该长方体的体对角线即为球的直径，其长度为2eq\r(3)，从而球的半径为eq\r(3)，球表面积为12π.故选A.变式7：圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为________．【解析】如图，由条件知，O1A＝3，OO1＝4，所以OA＝5，所以球的表面积为100π.变式8：表面积为Q的多面体的每一个面都与表面积为64π的球相切，则这个多面体的体积为()A.eq\f(1,3)Q B．QC.eq\f(4,3)Q D．2Q【解析】4πR2＝64π⇒R＝4，∴V＝eq\f(1,3)QR＝eq\f(4,3)Q.故选C.变式9：将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A.eq\f(4π,3) B.eq\f(\r(2)π,3)C.eq\f(\r(3)π,2) D.eq\f(π,6)【解析】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是eq\f(4,3)×π×13＝eq\f(4π,3).故选A.变式10：一飞行昆虫被长为12cm的细绳绑在房间一角，则飞虫活动范围的体积为()A．144πcm3 B．288πcm3C．576πcm3 D．864πcm3【解析】飞虫活动的范围是以墙角为球心，半径为12cm的球在房间内的部分，即整个球的eq\f(1,8)，∴飞虫活动范围的体积为eq\f(1,8)×eq\f(4,3)×π×123＝288π(cm3)．故选B.【例6】一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为________．【解析】由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为eq\f(4,3)π.变式1：表面积为16π的球的内接正方体的体积为()A．8 B.eq\f(16,9)C.eq\f(64\r(3),9) D．16【解析】设表面积为16π的球的半径为r，则4πr2＝16π，解得r＝2.设内接正方体的棱长为a，则eq\r(3)a＝2r，所以a＝eq\f(4,\r(3)).所以内接正方体的体积V＝a3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,\r(3))))3＝eq\f(64\r(3),9).故选C.考点六组合体体积与表面积【例7】某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．【解析】该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2l＝eq\f(4,3)π×13＋π×12×3＝eq\f(13π,3).变式1：如图为长方体与半球拼接的组合体，已知长方体的长、宽、高分别为10,8,15(单位：cm)，球的直径为5cm，求该组合体的体积和表面积．【解析】根据该组合体是由一个长方体和一个半球组合而成．由已知可得V长方体＝10×8×15＝1200(cm3)，又V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))3＝eq\f(125,12)π(cm3)，所以所求几何体体积为V＝V长方体＋V半球＝1200＋eq\f(125,12)π(cm3)．因为S长方体全＝2×(10×8＋8×15＋10×15)＝700(cm2)，故所求几何体的表面积S表面积＝S长方体全＋S半球－S半球底＝700＋eq\f(25,4)π(cm2)．变式2：有位油漆工用一把滚筒长度为50cm，横截面半径为10cm的刷子给一块面积为10m2的木板涂油漆，且滚筒刷以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少？(精确到1s)【解析】滚筒刷滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积．因为圆柱的侧面积S侧＝2π×0.1×0.5＝0.1π(m2)，且滚筒刷以每秒5周的速度匀速滚动，所以滚筒刷每秒滚过的面积为0.5πm2.所以油漆工完成任务所需的时间t＝eq\f(10,0.5π)＝eq\f(20,π)≈6.366(s)．故油漆工完成任务所需的时间约是7s.练习一棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积1、已知四面体S­ABC的棱长为a，各面均为等边三角形，求它的表面积．【解析】如图所示，由等边三角形的面积计算公式可得：的面积．四面体的表面积为．2、如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥.（1）求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；（2）若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.【解析】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，则大棱锥的底面边长为，斜高为，所以大棱锥的侧面积为，小棱锥的侧面积为，棱台的侧面积为，所以大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比.（2）因为小棱锥的底面边长为4cm，所以大棱锥的底面边长为8cm，因为大棱锥的侧棱长为12cm，所以大棱锥的斜高为cm，所以大棱锥的侧面积为，所以棱台的侧面积为，棱台的上，下底面的面积和为，所以棱台的表面积为.练习二棱柱、棱锥、棱台的体积1、一个长方体的三个面的面积分别为eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，则这个长方体的体积为()A．6 B.eq\r(6)C．3 D．2eq\r(3)【解析】设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则xy＝eq\r(2)，yz＝eq\r(3)，xz＝eq\r(6)，∴(xyz)2＝6.∴V＝xyz＝eq\r(6).故选B.2、已知一个六棱锥的高为10cm，底面是边长为6cm的正六边形，求这个六棱锥的体积．【解析】正六边形可以分成6个相同的等边三角形，故..3、如图所示，正方体的棱长为，连接，，，，，得到一个三棱锥．求：（1）三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；（2）三棱锥的体积．【解析】（1）是正方体，，三棱锥的表面积为而正方体的表面积为，故三棱锥的表面积与正方体表面积的比值为（2）三棱锥是完全一样的．故4、已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积.【解析】如图所示，在三棱锥中，、分别是上、下底面的中心，、分别是、的中点，连接、、、，则、分别在、上，则是三棱锥的高，记为，是等腰梯形的高，也是三棱锥的斜高，记为，所以；上、下底面面积之和为，由得：，即，又，，在直角梯形中，，则三棱锥的体积.5、如图，在多面体中，已知是边长为1的正方形，且△，△均为等边三角形，，，求该多面体的体积.【解析】如图，分别过A，B作的垂线，垂足分别为G，H，连接，，易得，过点E作于点O，连接，易得，，∴，∴.练习三圆柱、圆锥、圆台的表面积1、圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16eq\r(2)π，则圆锥的体积是()A.eq\f(64π,3)B.eq\f(128π,3)C．64πD．128eq\r(2)π【解析】设圆锥的底面半径为r，母线为l，∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴2r＝eq\r(l2＋l2)，即l＝eq\r(2)r，由题意得，侧面积S侧＝πrl＝eq\r(2)πr2＝16eq\r(2)π，解得r＝4，∴l＝4eq\r(2)，圆锥的高h＝eq\r(l2－r2)＝4，∴圆锥的体积V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π×42×4＝eq\f(64π,3).故选A.2、圆台的上、下底面半径分别为10cm、20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的表面积为________cm2.(结果中保留π)【解析】如图所示，设圆台的上底面周长为ccm，因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10cm，所以SA＝20cm.同理可得SB＝40cm，所以AB＝SB－SA＝20cm，所以S表面积＝S侧＋S上底＋S下底＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圆台的表面积为1100πcm2.3、把长、宽分别为4、