高考押题卷（三）全国卷文科

高考押题卷（三）文科数学考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合，，则等于（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根据交集运算法则直接计算即可.【详解】，，则.故选：A2．已知，则z的虚部是（

）．A．5 B． C． D．【答案】C【分析】由复数除法求得后可得.【详解】,虚部是.故选：C.3．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为（

）．A．6 B．5 C．3 D．2【答案】D【分析】根据题意作出可行域，进而根据z的几何意义求得答案.【详解】如图，作出不等式组对应的可行域，得三角形ABC，当且仅当动直线经过点A时，z取得最小值，联立，此时．故选：D.4．石碾子是我国传统粮食加工工具，如图是石碾子的实物图，石碾子主要由碾盘、碾滚（圆柱形）和碾架组成．碾盘中心设竖轴（碾柱），连碾架，架中装碾滚，以人推或畜拉的方式，通过碾滚在碾盘上的滚动达到碾轧加工粮食作物的目的．若推动拉杆绕碾盘转动2周，碾滚的外边缘恰好滚动了5圈，碾滚与碾柱间的距离忽略不计，则该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为（

）A．3：2 B．5：4 C．5：3 D．4：3【答案】B【分析】绕碾盘转动2周的距离等于碾滚滚动5圈的距离，列出方程即可求解.【详解】由题意知，；故选：B.5．某国有企业响应国家关于进一步深化改革，加强内循环的号召，不断自主创新提升产业技术水平，同时积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等5种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果．据悉该企业2021年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，其中5种系列产品的年收入构成比例如下图所示．则以下说法错误的是（

）A．2021年甲系列产品收入和2020年的一样多B．2021年乙和丙系列产品收入之和比2020年的企业年总收入还多C．2021年丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的D．2021年戊系列产品收入是2020年戊系列产品收入的2倍还多【答案】C【分析】设出2020年5种系列产品年总收入，根据给定的条形图及扇形图，逐项计算判断作答.【详解】设2020年5种系列产品年总收入为m，则2021年5种系列产品年总收入为2m，对于A，2020年甲系列产品收入为0.4m，2021年甲系列产品收入为0.4m，A正确；对于B，2021年乙和丙系列产品收入之和为1.1m，B正确；对于C，2020年丁系列产品收入为0.15m，2021年丁系列产品收入为0.1m，是2020年丁系列产品收入的，C不正确；对于D，2020年戊系列产品收入为0.15m，2021年戊系列产品收入为0.4m，比2020年戊系列产品收入的2倍还多，D正确.故选：C6．已知等差数列的首项，而，则（

）A．0 B．2 C．1 D．【答案】A【分析】由，代入即可化简求值.【详解】等差数列的首项，，则.故选：A7．设，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作差后利用指数函数性质比较大小，构造函数，由导数确定其单调性，由函数单调性比较大小．【详解】，∴，，，设，则，时，，即在上递减，，，，所以，，即，综上，．故选：D．8．函数（，）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（

）A．函数的最小正周期是 B．函数在单调递减C．函数的图象关于点成中心对称 D．将函数的图象向左平移后得到关于y轴对称【答案】B【分析】根据函数图象的对称性确定点的坐标，进而可确定函数的周期，从而求解，再根据最高点的坐标满足函数解析式，求出的大小，进而确定函数的解析式，根据三角函数的性质一一判断求解.【详解】由对称性可知的横坐标等于，所以，所以，解得，故A错误；图中函数图象的最高点为即，所以，即，因为，所以，所以，令解得，当时，所以函数在单调递减，故B正确；令解得，所以函数的对称中心为，令得，故C错误；的图象向左平移个单位得到不关于y轴对称，故D错误；故选:B.9．若，则（

）A．2 B． C．1 D．【答案】A【分析】由三角恒等变换化简结合已知条件求解即可【详解】因为，所以，所以，又，所以即，所以，所以即，又，所以，所以，所以，所以即，又易知，所以，即，故选：A10．等比数列的n前项和为，若，则（

）A．3 B．6 C．12 D．14【答案】A【分析】设等比数列的公比为，首项为，对公比分类讨论，然后利用等比数列前项和公式及通项公式，结合已知条件联立方程组求解出首项和公比，然后计算即可【详解】设等比数列的首项为，公比为，且，若，则，与题设矛盾，所以，由，解得，所以，故选：A．11．已知双曲线的焦距为，它的两条渐近线与直线的交点分别为A，B，若O是坐标原点，，且的面积为，则双曲线C的焦距为（

）A．5 B． C． D．【答案】A【分析】直线过右焦点，，得，求出渐近线的斜率，得到关系，利用二倍角正切公式，求出，进而将用表示，结合面积求出，在中，得出、关系，求出即可.【详解】如图，设双曲线的右焦点为，则直线）过右焦点，由，得，直线的斜率为，所以，在中，，，，在中，，所以，所以，故选：A．12．设（）．若，，且，使得，则的最小值是（

）A．2 B． C．3 D．【答案】D【分析】根据余弦函数的图象性质和最值即可求解.【详解】∵（），存在，使得，则函数在区间上，存在包含最大值和最小值的一个增区间．∵当时，，∴，解得．此时存在，，满足题意．∴的最小值是，故选：D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．已知向量，，若，则实数__________．【答案】【分析】首先求出的坐标，然后根据向量平行的坐标表示建立方程求解.【详解】由题意得，因为，所以，解得.故答案为：.14．某省示范性高中安排名教师去三所乡村中学支教，每所中学至少去人，因工作需要，其中的教师甲不能去中学，则分配方案的种数为__________.（用数字作答）【答案】【分析】利用部分平均分组的计算方法可求得三所学校分配人数分别为和时的安排方法数，在两种情况下分别求得甲去中学的安排方法数，利用间接法可求得结果.【详解】①若三所学校分配人数分别为时，共有种安排方法；其中甲去中学的安排方法有种；则此时分配方案的种数为种；②若三所学校分配人数分别为时，共有种安排方法；其中甲去中学的安排方法有种；则此时分配方案的种数为种；综上所述：满足题意的分配方案的种数为种.故答案为：.15．已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为___________________．【答案】【分析】根据条件求出a，b，c即可.【详解】∵渐近线的方程为，，又，由点到直线的距离公式知：，，∴双曲线C的方程为：；故答案为：.16．椭圆（焦点在轴上）的上､下顶点分别为，点在椭圆上，平面四边形满足，且，则该椭圆的离心率为___________.【答案】【分析】由题意得在以为直径的圆上，求出圆的方程，结合椭圆求出，进而求得，即可求得离心率.【详解】根据题意可得，设，由，可得点在以为直径的圆上，又原点为圆上的弦的中点，所以圆心在的垂直平分线上，可得圆心在轴上，所以，又，可得，故圆心坐标为，半径为，所以圆的方程为，将代入结合，可得，所以，则，所以该椭圆的离心率为.故答案为：.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．各项均不相等的等差数列的前项和为，已知，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的性质，可得，则可得通项公式.（2）根据（1）的结论可得，然后利用裂项相消求和，可得结果.【详解】（1）因为各项均不相等，所以公差由等差数列通项公式且，所以，又成等比数列，所以，则，化简得，所以即可得即（2）由（1）可得化简可得由所以【点睛】本题主要考查利用裂项相消法求和，属基础题.18．某中药企业计划种植两种药材，通过大量考察研究得到如下统计数据.药材A的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：年份20182019201020212022年份编号12345单价（元/公斤）1820232529药材的收购价格始终为20元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：(1)若药材A的单价（单位：元/公斤）与年份编号间具有线性相关关系；请求出关于的回归直线方程，并估计2024年药材A的单价；(2)利用上述频率分布直方图估计药材B的平均亩产量（同一组数据用中点值为代表）；(3)若不考虑其他因素影响，为使收益最大，试判断2024年该药企应当种植药材A还是药材B？并说明理由.参考公式：回归直线方程，其中.【答案】(1)，元/公斤(2)公斤(3)应该种植药材A，理由见解析【分析】（1）根据题中数据结合公式求得回归直线方程为，再令代入运算即可得结果；（2）根据频率分布直方图中平均数公式计算可得；（3）比较A、B两种药材的均值，即可判断.【详解】（1）由题意可得：，，则，，故回归直线方程为，当时，，即2024年药材A的单价预计为元/公斤.（2）由频率分布直方图可得：组距为20，自左向右各组的频率依次为，故B药材的平均亩产量为公斤.（3）预计2024年药材A每亩产值为元，药材B每亩产值为元元，所以药材A的每亩产值更高，应该种植药材A.19．如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，是的中点.(1)证明：平面；(2)若点到平面的距离为，求.【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）连接，先根据面面垂直的性质可得平面，再根据线面垂直的性质与判定证明即可；（2）设，根据等体积法求解即可.【详解】（1）证明：连接，因为四边形是菱形，所以，因为，所以为等边三角形，所以，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，平面，所以，因为，即，所以，又，平面，所以平面；（2）设，可得，由为正三角形，可得，在中，，在Rt中，，可得Rt的面积为，又由，有，解得，故.20．已知双曲线的右焦点为F，双曲线C上一点关于原点的对称点为，满足.(1)求的方程；(2)直线与坐标轴不垂直，且不过点及点，设与交于、两点，点关于原点的对称点为，若，证明：直线的斜率为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）由已知得到的坐标，根据求出，进而根据双曲线的方程，联立方程组即可求出结果；（2）方法一：联立直线与双曲线的方程，根据韦达定理得出坐标关系.然后根据，化简得到.由，即可求出；方法二：由已知可推出.将定点平移至原点，然后平移双曲线，得到.设直线，代入双曲线构造齐次式.得到关于的二次形式，根据斜率关系得出，即可求出斜率.【详解】（1）由已知可得，.则，，由可得，，所以.，又点在双曲线上，所以.联立，可得，所以，C的方程为.（2）法一：设，，则，所以，，由可得，，所以，整理可得，.由已知可设直线的方程为（且）.联立直线与双曲线的方程可得，.，所以.由韦达定理可得，又，，.所以，由可得，，整理可得，，因为，不恒为0，所以应有，解得.所以直线l的斜率为定值.法二：设，则，.所以，，所以.又由题意知，所以.将双曲线平移至，即.则P平移至，A，B分别平移至，.设直线的方程为，代入双曲线可得，，所以，.两边同除以，可得，所以，所以.所以，直线的方程为，所以，所以直线l的斜率为定值.【点睛】关键点点睛：圆锥曲线中，题干中出现垂直关系，常用坐标法，化为数量积为0.然后根据韦达定理，得出等量关系，进而求出参数.21．已知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据定义域可化简函数，构造新函数，即求的解集即可，而，所以解集为．（2）对a分情况讨论，当时，恒成立，当时，引入隐零点x0，在上单调递减，在上单调递增，得时【详解】（1）∵f(x)的定义域为∴当时，，令，．当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以，则不等式的解集为．（2）①当时，，此时，令，．当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，所以，又，则，又，所以，，，此时符合题意．②当时，，令，恒成立，则在上单调递增，又，，存在唯一的使，且，所以当时，，由，则在上单调递减，当时，，由，（分开考虑导函数符号）当时，在上单调递增，则，所以当时，，所以在上单调递增，所以，由题意则，设，则在上恒成立，所以在上单调递增，此时，即，综上所述，实数的取值范围为．【点睛】导数题目中，构造新的函数，隐零点的合理使用都非常重要.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题。如果多做，则按所做的第一题计分。22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；(2)设曲线与曲线交于P、Q两点，求的值．【答案】(1)曲线的极坐标方程为；即曲线的直角坐标方程为(2)2【分析】（1）通过消参求得曲线的普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程，将曲线的极坐标