2024-2025学年高中数学第三章不等式3.3.2简单的线性规划问题学案含解析新人教A版必修5

PAGE3.3.2简洁的线性规划问题内容标准学科素养1.了解线性规划中的基本概念．2.会用图解法解决线性规划问题．3.能利用线性规划解决实际应用问题.应用直观想象提升数学运算强化数学建模授课提示：对应学生用书第63页[基础相识]学问点一线性规划的基本概念eq\a\vs4\al(阅读教材P87－91，思索并完成以下问题)若x，y满意不等条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2,x≥1,y≥0))，那么当x，y取何值时，z＝2x＋y有最大值，有最小值．在上述问题中(1)满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2,x≥1,y≥0))的点(x，y)有多少个？提示：无穷多个，构成一个三角形区域(包括边界)．(2)求z＝x＋y的最大值、最小值，相当于求直线x＋y－z＝0的什么量？提示：相当于直线x＋y－z＝0在y轴上的截距的最值．学问梳理名称意义约束条件变量x，y满意的一组条件线性约束条件关于x，y的二元一次不等式目标函数欲求最大值或最小值且涉及变量x，y的解析式线性目标函数目标函数是关于x，y的一次解析式线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题可行解满意线性约束条件的解可行域全部可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解学问点二用图解法解决线性规划问题eq\a\vs4\al(思索并完成以下问题)如何求出x，y的值，使z最大、最小？(1)若将直线2x＋y－z＝0看作平行直线，进行移动．当由下而上移动时，动直线y＝－2x＋z最先达可行域的哪个点？此时z最大还是最小？提示：(0,1)，z最小为1.(2)最终离开可行域的哪个点？此时z最大还是最小？提示：(1,1)，z最大为3.学问梳理在确定约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤为：(1)在平面直角坐标系中画出可行域；(2)将目标函数z＝ax＋by(b≠0)变形为y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，将求z的最值问题转化为求直线y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)在y轴上的截距eq\f(z,b)的最值问题；(3)画出直线y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)并平行移动，在平移过程中，一般最先或最终经过的点为最优解；(4)求出最优解并代入目标函数，从而求出目标函数的最值．[自我检测]1．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y≤1，))则z＝x－y的最大值为()A．－1 B．1C．2 D．－2答案：B2．z＝x－y在eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋1≥0，,x－2y－1≤0，,x＋y≤1))的线性约束条件下，取得最大值的可行解为()A．(0,1) B．(－1，－1)C．(1,0) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))答案：C授课提示：对应学生用书第64页探究一求线性目标函数的最值与范围[教材P91练习1(2)]求z＝3x＋5y的最大值和最小值，使x、y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋3y≤15,y≤x＋1,x－5y≤3))解析：题中约束条件表示的可行域如上图所示，易知直线z＝3x＋5y经过点B时，z取得最大值，经过点A时，z取得最小值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,x－5y＝3))和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,5x＋3y＝15，))可得点A(－2，－1)和点B(1.5,2.5)．所以zmax＝17，zmin＝－11.[例1](1)设x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－3≤0，,2x－3y＋3≥0，,y＋3≥0，))则z＝2x＋y的最小值是()A．－15 B．－9C．1 D．9[解析]依据线性约束条件画出可行域，如图(阴影部分)．作出直线l0：y＝－2x.平移直线l0，当经过点A时，目标函数取得最小值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋3＝0，,y＋3＝0))得点A的坐标为(－6，－3)．∴zmin＝2×(－6)＋(－3)＝－15.故选A.[答案]A(2)已知－1＜x＋y＜4且2＜x－y＜3，求z＝2x－3y的取值范围．[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＜x＋y＜4，,2＜x－y＜3))得平面区域如图中的阴影部分所示．由图得当z＝2x－3y分别过点A，B时取最小值、最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝－1，,x－y＝3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2，))∴B(1，－2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,x－y＝2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，))∴A(3,1)．∴2×3－3×1＜z＝2x－3y＜2×1－3×(－2)，即3＜z＜8，故z＝2x－3y的取值范围是(3,8)．延长探究1.若本例(1)条件不变，求z＝2x＋y的最大值．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－3＝0,y＝－3))得B点(6，－3)平移直线y＝－2x＋z过B点时，z最大．zmax＝2×6－3＝9.2．若本例(1)条件不变，求z＝eq\f(1,3)x＋y－1的最大值．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－3＝0,2x－3y＋3＝0))得C点(0,1)．由z＝eq\f(1,3)x＋y－1得y＝－eq\f(1,3)x＋z＋1知斜率k＝－eq\f(1,3)＞－eq\f(2,3)∴z＝eq\f(1,3)x＋y－1过C点时，z有最大值．zmax＝0＋1－1＝0.3．若本例(1)条件不变，求|2x＋y|的取值范围．解析：设z＝2x＋y，当z＝0时，即直线y＝－2x＋z过(0,0)时，|z|min＝0.当y＝－2x＋z过A(－6，－3)时zmin＝－15，|z|＝15.当y＝－2x＋z过B(6，－3)时zmax＝9，∴|z|＝9.综上，|2x＋y|的范围为[0,15]．方法技巧(1)解线性规划问题的关键是作出可行域，若可行域为封闭区域，则区域的顶点很可能就是目标函数取得最大值或最小值的点，因此我们在解决这些问题时，可以依据这些点快速找到目标函数取得最值时对应的x，y的值，再代入目标函数中即可求得最值．(2)求解线性规划问题时，常常须要比较相关直线的斜率的大小，以确定它们的倾斜程度，从而找出最优解，所以要熟识直线斜率与倾斜角之间的关系．(3)线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界处取得，当表示线性目标函数表示的直线与可行域的某边重合时，其最优解可能有多数个．探究二非线性目标函数的最值范围[教材P104第5题]已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－2≥0,x－2y＋4≥0,3x－y－3≤0))当x、y取何值时，x2＋y2取得最大值、最小值？并求其最值．探究：由题意可画出不等式组所表示的可行域，如图所示．因为x2＋y2是点(x，y)到原点的距离的平方，所以当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,3x－y－3＝0，))即x＝2，y＝3时，x2＋y2最大，且最大值为13.又易知x2＋y2的最小值为原点到直线BC的距离的平方，为eq\f(4,5).[例2]已知实数x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－2≥0，,x－2y＋4≥0，,3x－y－3≤0.))试求z＝eq\f(y＋1,x＋1)的最大值和最小值．[解析]作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由于z＝eq\f(y＋1,x＋1)＝eq\f(y－－1,x－－1)，故z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，因此eq\f(y＋1,x＋1)的最值是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值，由图可知，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，又∵B(0,2)，C(1,0)，∴zmax＝kMB＝3，zmin＝kMC＝eq\f(1,2).∴z的最大值为3，最小值为eq\f(1,2).方法技巧非线性目标函数最值问题的求解方法(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合学问解题，能起到事半功倍的效果．(2)常见代数式的几何意义主要有：①eq\r(x2＋y2)表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；eq\r(x－a2＋y－b2)表示点(x，y)与点(a，b)的距离．②eq\f(y,x)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，eq\f(y－b,x－a)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．延长探究4.若本例条件不变，把目标函数改为z＝eq\f(3y＋1,2x＋1)，求z的取值范围．解析：z＝eq\f(3,2)×eq\f(y＋\f(1,3),x＋\f(1,2))，设k＝eq\f(y＋\f(1,3),x＋\f(1,2))表示(x，y)与点M(－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3))斜率．kMB＝eq\f(2＋\f(1,3),\f(1,2))＝eq\f(14,3)，kMC＝eq\f(\f(1,3),1＋\f(1,2))＝eq\f(2,9).∴zmax＝eq\f(3,2)×eq\f(14,3)＝7，zmin＝eq\f(3,2)×eq\f(2,9)＝eq\f(1,3).z的范围为[eq\f(1,3)，7]．5．若本例条件不变，求z＝eq\r(x＋12＋y＋12)的取值范围．解析：eq\r(x＋12＋y＋12)表示点(x，y)与点M(－1，－1)的距离．∴zmax＝|MA|＝eq\r(2＋12＋3＋12)＝5.由于kMC＝eq\f(1,2)，故直线MC与边界线2x＋y－2＝0垂直．故zmin＝|MC|＝eq\r(1＋12＋12)＝eq\r(5).探究三已知目标函数的最值求参数[例3]若实数x，y满意不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≤0，,y－1≤0，,x＋2y－a≥0，))目标函数t＝x－2y的最大值为2，则实数a的值是________．[解析]如图，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,x＋2y－a＝0.))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝\f(a－2,2)，))代入x－2y＝2中，解得a＝2.[答案]2方法技巧含参数的线性目标函数问题的求解策略(1)约束条件中含有参数：此时可行域是可变的，应分状况作出可行域，结合条件求出不同状况下的参数值．(2)目标函数中含有参数：此时目标函数对应的直线是可变的，假如斜率肯定，则对直线作平移变换；假如斜率可变，则要利用斜率与倾斜角间的大小关系分状况确定最优解的位置，从而求出参数的值．跟踪探究1.已知x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≤2，,y≥0.))若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝()A．3 B．2C．－2 D．－3解析：作出可行域如图．①当a＜0时，明显z＝ax＋y的最大值不为4；②当a＝0时，z＝y在B(1,1)处取得最大值为1，不符合题意；③当0＜a＜1时，z＝ax＋y在B(1,1)处取得最大值，zmax＝a＋1＝4，故a＝3，舍去；④当a＝1时，z＝x＋y的最大值为2；⑤当a＞1时，z＝ax＋y在A(2,0)处取得最大值，zmax＝2a＝4，得a＝2，符合题意．综上，a＝2.答案：B探究四简洁的线性规划问题的实际应用[教材P88－90的例5、例6、例7]方法步骤：(1)列出约束条件和目标函数．(2)利用线性规划求最值、最优解．[例4]某公司仓库A存有货物12吨，仓库B存有货物8吨，现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店．从仓库A运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B运货到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元．问应如何支配调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？[解析]将已知数据列成下表：商店每吨运费仓库甲乙丙A869B345设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨，y吨，则仓库A运给丙商店的货物为(12－x－y)吨，从而仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7－x)吨、(8－y)吨、[5－(12－x－y)]＝(x＋y－7)吨，于是总运费为z＝8x＋6y＋9(12－x－y)＋3(7－x)＋4(8－y)＋5(x＋y－7)＝x－2y＋126.∴线性约束条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12－x－y≥0，,7－x≥0，,8－y≥0，,x＋y－7≥0，,x≥0，y≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤12，,0≤x≤7，,0≤y≤8，,x＋y≥7，))目标函数为z＝x－2y＋126.作出上述不等式组表示的平面区域，其可行域如图中阴影部分所示．作出直线l：x－2y＝0，把直线l平行移动，明显当直线l移动到过点(0,8)时，在可行域内，z＝x－2y＋126取得zmin＝0－2×8＋126＝110，即x＝0，y＝8时总运费最少．支配的调运方案如下：仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨，仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨、0吨、1吨，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．方法技巧解线性规划应用问题的一般步骤(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答．跟踪探究2.某学校用800元购买两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A，B应各买的件数为()A．2,4 B．3,3C．4,2 D．不确定解析：设购买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,y≥1，,x，y∈N*，,100x＋160y≤800.))求z＝800－100x－160y最小时的整数解(x，y)，求得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝3.))故要使剩下的钱最少，A，B应各买的件数为3,3，所以选B.答案：B授课提示：对应学生用书第66页[课后小结](1)画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能精确，图中操作尽可能规范．(2)作不等式组表示的可行域时，留意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要留意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．(3)在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可快速解决相关问题．[素养培优]1．弄错目标函数与直线的截距间的关系致误假如实数x，y满意条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,y＋1≥0，,x＋y＋1≤0，))那么z＝2x－y的最大值为________．易错分析此题易错在于没有弄清直线y＝2x－z在y轴上的截距与z的关系，误以为在y轴上的截距最大时z取最大值，事实上，直线y＝2x－z在y轴上的截距是－z，因此当直线在y轴上的截距最大时，z反而取最小值．自我订正画出不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分)．由z＝2x－y可得y＝2x－z，因此平移直线y＝2x－z，当直线经过可行域中的点B时，直线在y轴上的截距最小，则z取得最大值，而B