沪科版（2024）七年级上册数学第3章 一次方程及其方程组 单元测试卷（含答案解析）

第第页沪科版（2024）七年级上册数学第3章一次方程及其方程组单元测试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知关于x的方程mx+2=x的解是x=3，则m的值为(

)A.13 B.1 C.53 2.解方程3−5(x+2)=x，去括号正确的是(

)A.3−x+2=x B.3−5x−10=x C.3−5x+10=x D.3−x−2=x3.二元一次方程x−2y=1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是(

)A.x=0y=−12 B.x=1y=1 C.4.解方程组3x−5y=3①y=3x−1②，把②代入①，计算结果正确的是(

)A.3x−15x+1=3 B.3x−15x+5=3

C.3(3x−1)−5y=3 D.3x−15x−5=35.下列说法正确的是(

)A.等式两边都加上一个数或一个整式，所得结果仍是等式

B.等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式

C.等式两边都除以同一个数，所以结果仍是等式

D.一个等式的左、右两边分别与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式6.【基础性作业】(对应目标2)设x，y，c是实数，正确的是(

)A.若x=y，则x+c=y−c

B.若x=y，则xc=yc

C.若x=y，则xc=yc

D.7.若方程组x−y=02ax+by=4与方程组2x+A.1，2 B.1，0 C.13，−23 D.8.已知方程组5x+y=3,ax+5y=4与5x+by=1,x−2y=5有相同的解，则a，b的值为

(

)A.a=1b=2 B.a=−4b=−6 C.a=−6b=29.若a+b+c=0，且a>b>c，以下结论：

①a>0；②关于x的方程ax+b+c=0的解为x=1；③a2=(b+c)2；④a|a|+A.① B.①② C.①②③ D.①②③④10.已知关于x、y的方程组x+3y=4−a,x−5y=3a,给出下列结论：

①x=5y=−1是方程组的解；

②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数；

③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4−a的解；

④在③的条件下，x，y的值都为自然数的解有4对，其中正确的有A.①③ B.②③ C.③④ D.②③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。11.甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是

．12.方程(m−1009)x|m|−1008+(n+3)y|n|−2=2018是关于x，y13.已知关于x、y的方程组x−y=2a,3x+y=3a−15的解互为相反数，则常数a的值为

．14.实验室里有一个水平放置的正方体容器，从内部量得它的棱长为15cm，容器内的水深为4cm.现往容器内放入如图所示的长方体实心铁块(铁块一面平放在容器底面)，过顶点A的三条棱的长分别10cm，10cm，x cm(x<15)．

(1)容器内水的体积为

．

(2)当铁块的顶部高出水面1cm时，x的值为

．三、计算题：本大题共2小题，共16分。15.解下列方程：

(1)3(x+1)=5x−1；

(2)2x−1316.解下列方程组：

(1)x=y+44x+3y=23；

(2)4x−y=13四、解答题：本题共7小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

几个人共同种一批树苗，如果每人种10棵，则剩下6棵树苗未种；如果每人种12棵，则缺6棵树苗．求参与种树的人数．18.(本小题8分)

已知方程1−2y6+2y+14=1−y+13与关于19.(本小题10分)

现规定一种新的运算abcd=ad−bc，

(1)计算−12−34；

(2)若332−x4=9，求x20.(本小题10分)

对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b=2a+b，例如3⊗4=2×3+4=10．

(1)求4⊗(−3)的值；

(2)若x⊗(−y)=2，(2y)⊗x=−1，求x+y的值．21.(本小题12分)先阅读材料，然后解方程组．材料：解方程组x−y−1=0,①由①，得x−y=1.③把③代入②，得4×1−y=5，解得y=−1．把y=−1代入③，得x=0．∴原方程组的解为x=0,这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用整体代入法解方程组：2x−3y−2=0,①22.(本小题12分)

阅读下列材料：

我们给出如下定义：数轴上给定两点A，B以及一条线段PQ，若线段AB的中点R在线段PQ上(点R能与点P或Q重合)，则称点A与点B关于线段PQ径向对称．下图为点A与点B关于线段PQ径向对称的示意图．

解答下列问题：如图1，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为−1，点M表示的数为2．

(1)①点B，C，D表示的数分别为−3,32,3，在B，C，D三点中，______与点A关于线段OM径向对称；②点E表示的数为x，若点A与点E关于线段OM径向对称，则x的最大值是______；

(2)点F是数轴上一个动点，点A与点M关于线段OF径向对称，线段OF的最小值是______；

(3)在数轴上，点A，N，M表示的数分别是−1，1，2，当点A以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，线段MN同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动，设移动的时间为t秒(t>0)，则点A与点G关于线段MN径向对称，则点G表示的最大数是______，最小数是______.(用含t的代数式表示)23.(本小题14分)

一工厂有60名工人，要完成1200套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套．

(1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件？每天能生产多少套产品？

(2)现工厂要在20天内完成1200套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每人每天只能加工4个A型零件．

①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，求x的值(用含m的代数式表示)

②请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务？

答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】

此题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．

把x=3代入关于x的方程mx+2=x，得到关于m的新方程，通过解新方程求得m的值即可．

【解答】

解：把x=3代入关于x的方程mx+2=x，得

3m+2=3，

解得m=13．

故选：2.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查一元一次方程的解法，掌握去括号法则是解题的关键．

根据去括号法则，当括号前面是“−”时，去掉括号和它前面的“−”，括号内各数的符号都要改变，所以方程去括号得3−5x−10=x．【解答】

解：3−5x+2=x，

去括号得：3−5x−10=x．

故选3.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解．

将x、y的值分别代入x−2y中，看结果是否等于1，判断x、y的值是否为方程x−2y=1的解．

【解答】

解：A、当x=0，y=−12时，x−2y=0−2×(−12)=1，是方程的解；

B、当x=1，y=1时，x−2y=1−2×1=−1，不是方程的解；

C、当x=1，y=0时，x−2y=1−2×0=1，是方程的解；

D、当x=−1，y=−1时，x−2y=−1−2×(−1)=14.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．

把②代入①得出3x−5(3x−1)=3，去括号得出3x−15x+5=3，再得出选项即可．

【解答】

解：3x−5y=3①y=3x−1②，

把②代入①，得3x−5(3x−1)=3，

去括号，得3x−15x+5=3，

故选B5.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了等式的性质的应用，等式的性质是：1、等式的两边都加上或减去同一个数或整式，所得的仍是等式，2、等式的两边都乘以或除以同一个不等于0的数，所得的仍是等式．

根据等式的性质1、2判断即可．

【解答】

解：A、考察的是等式性质1，等式两边都加上同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.缺少同一个数或同一个整式，故错误；

B、考察的是等式性质2，错误原因与A相同，缺少“同”字；

C、仍然考察性质2，除数不能等于0，故错误；

D、考察等式性质1，相当于第一个等式两边分别加了一相等的数或整式，故正确，

故D正确．6.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了等式的基本性质，根据等式的性质逐项分析即可．

【解答】

解：A、若x=y，则x+c=y+c，故该选项不正确，不符合题意；B、若x=y，则xc=yc，故该选项正确，符合题意；C、若x=y，且c≠0，则xcD、若x2c=y7.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查二元一次方程组的解，能够抓住两个方程组的解相同的条件，重新组合方程，再分别求解是解题的关键．

由两个方程组的解相同这个条件，可以重新组合两个方程组为2x+y=3x−y=0,ax+by=32ax+by=4，即可求解．

【解答】

解：解2x+y=3x−y=0得：x=1y=1,

把x=1y=1代入方程组ax+by=32ax+by=4,8.【答案】D

【解析】【分析】本题主要考查了方程组的解的定义，解二元一次方程组，首先求出方程组的解是解决本题的关键．

可以首先解方程组5x+y=3x−2y=5，求得方程组的解，再代入方程组ax+5y=45x+by=1，即可求得a，b的值．

解：解方程组5x+y=3x−2y=5，得x=1y=−2，

代入方程组ax+5y=45x+by=1，得到a−10=45−2b=1，

解得a=14b=29.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查一元一次方程的解和绝对值的性质，熟练掌握一元一次方程的解，绝对值的性质，根据数的特点分类讨论是解题的关键．

由a+b+c=0，且a>b>c，可知a>0，c<0，则b有三种情况：b=0，b>0，b<0；再根据a、b、c的情况分别对四个结论进行判断即可．

【解答】

解：因为a+b+c=0，且a>b>c，

所以a>0，c<0，

故①正确；

将x=1代入方程ax+b+c=0，可得a+b+c=0，

所以x=1是方程ax+b+c=0的解，

故②正确；

因为a+b+c=0，

所以a=−(b+c)，

所以a2=(b+c)2，

故③正确；

因为a>0，c<0，

所以a|a|=1，c|c|=−1，

当b>0时，b|b|=1，

所以a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=1+1−1−1=0，

当b<0时，b|b|=−110.【答案】D

【解析】【分析】

此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．

①将x=5，y=−1代入检验即可做出判断；

②将x和y分别用a表示出来，然后求出x+y=3来判断；

③将a=1代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可；

④有x+y=3得到x、y都为自然数的解有4对．

【解答】

解：①将x=5，y=−1代入方程组得：5−3=4−a5+5=3a，

由①得a=2，由②得a=103，故①不正确．

②解方程x+3y=4−a ①x−5y=3a ②，

①−②得：8y=4−4a，

解得：y=1−a2，

将y的值代入①得：x=a+52，

所以x+y=3，故无论a取何值，x、y的值都不可能互为相反数，故②正确．

③将a=1代入方程组得：x+3y=3x−5y=3，

解此方程得：x=3y=0，

将x=3，y=0代入方程x+y=3，方程左边=3=右边，是方程的解，故③正确．

④因为x+y=3，所以x、y都为自然数的解有x=3y=0，x=2y=1，x=1y=211.【答案】20岁

【解析】【分析】

此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程即可．

设乙现在x岁，则5年前甲为(x+15−5)岁，乙为(x−5)岁，

【解答】

解：设乙现在x岁，则5年前甲为(x+15−5)岁，乙为(x−5)岁，

由题意得：x+15−5=2(x−5)，

解得：x=20，

即乙现在的年龄是20岁．

故答案为：20岁．12.【答案】−1006

【解析】解：∵(m−1009)x|m|−1008+(n+3)y|n|−2=2018是关于x、y的二元一次方程，

∴m−1009≠0，n+3≠0，|m|−1008=1，|n|−2=1，

解得：m=−1009，n=3．

∴m+n=−1009+3=−1006．

故答案为：−1006．

依据二元一次方程的定义得到m−1009≠0，n+3≠0，|m|−1008=1，|n|−2=1，依此求解即可．13.【答案】15

【解析】【分析】

此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．根据方程组的解互为相反数，得到y=−x，即可结合原方程组求出a的值．

【解答】

解：根据题意可得y=−x，代入原方程组可得：

x=a2x=3a−15,

所以2a=3a−15，

解得a=15．

故答案为14.【答案】900c12.5或8.2

【解析】【分析】

此题主要考查了从实际问题列一次函数关系式，正确找出相等关系是解本题的关键．

(1)利用长方体体积公式即可得到答案；

(2)分两种情况：利用实心铁块浸在水中的体积等于容器中水位增加后的体积减去原来水的体积建立方程求解即可．

【解答】

解：(1)根据已知容器内水的体积为15×15×4=900(cm3)，

故答案为：900cm3；

(2)①当长方体实心铁块的棱长为10cm和xcm的那一面平放在长方体的容器底面时，

则铁块浸在水中的高度为9cm，此时水位上升了5cm，铁块浸在水中的体积为10×9x=90x(cm3)，

所以90x=15×15×5，

解得x=12.5，

②当长方体实心铁块的棱长为10cm和10cm的那一面平放在长方体的容器底面时，

同理可得：10×10(x−1)=15×15(x−1−4)，

解得15.【答案】解：(1)去括号，可得：3x+3=5x−1，

移项，可得：3x−5x=−1−3，

合并同类项，可得：−2x=−4，

系数化为1，可得：x=2．

(2)去分母，可得：2(2x−1)=2x+1−6，

去括号，可得：4x−2=2x+1−6，

移项，可得：4x−2x=1−6+2，

合并同类项，可得：2x=−3，

系数化为1，可得：x=−32【解析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．

(1)去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．

(2)去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．16.【答案】解：(1)x=y+4①4x+3y=23②，

把①代入②得：4(y+4)+3y=23，

解得：y=1，

把y=1代入①得：x=5，

则方程组的解为x=5y=1；

(2)方程组整理得：4x−y=13①3x+2y=18②，

①×2+②得：11x=44，

解得：x=4，

把x=4代入①得：16−y=13，

解得：y=3，

【解析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键．

(1)方程组利用代入消元法求出解即可；

(2)方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．17.【答案】解：设参与种树的人数是x.

根据题意，得10x+6=12x−6，

移项，得10x−12x=−6−6.

合并同类项，得−2x=−12．

系数化为1，得x=6.

答：参与种树的人数是6．

【解析】见答案18.【答案】解：解方程1−2y6+2y+1把y=12代入方程y+6y−a解得a=6．

【解析】见答案19.【答案】解：(1)因为abcd=ad−bc，

所以−12−34

=(−1)×4−2×(−3)

=−4−(−6)

=2；

(2)因为abcd=ad−bc，332−x4=9，

所以3×4−3(2−x)=9，

所以12−6+3x=9，

所以x=1；

(3)因为abcd=ad−bc，

所以−3mn+132−n−4【解析】本题考查了整式的加减—化简求值以及新定义，理解新定义的运算法则是解决问题的关键．

(1)根据新定义的运算法则进行计算即可；

(2)根据新定义的运算法则得出关于x的一元一次方程，解方程即可求x的值；

(3)根据新定义的法则得出m、n的整式，再根据整式的值与n无关，得出关于m的一元一次方程，解方程即可求m的值．20.【答案】解：(1)根据题中的新定义得：原式=8−3=5；

(2)根据题中的新定义化简得：2x−y=2x+4y=−1,

①+②得：3x+3y=1，

则x+y=【解析】此题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握新定义的运算方法是解本题的关键．

(1)原式利用题中的新定义计算即可求出值；

(2)利用题中的新定义得到关于x，y的二元一次方程组，两方程相加并化简即可得出答案．21.【答案】解：由①，得2x−3y=2.③

把③代入②，得2+57+2y=9，

解得y=4．

把y=4代入③，得2x−3×4=2，

解得x=7．

∴原方程组的解为【解析】见答案22.【答案】解：(1)点C和点D；

5；

(2)12

；

(3) 5+5t；3+5t【解析】【分析】

本题考查一元一次方程的应用，数轴，径向对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

(1)①根据径向对称的定义判断即可．②求出点M是AE的中点时x的值即可解决问题．

(2)若点A与点M关于线段OF径向对称，若OF最小，则点A和点M的中点与点F重合，即可求出点F表示的数的最小值；

(3)先求出点A，N，M三点运动后对应的数，当点A与点G的中点与点N重合时，点G所表示的数最小，当点A与点G的中点与点M重合时，点G所表示的数最大，进而可得出答案．

【解答】

解：(1)①∵点A表示的数为−1，点B，C，D表示的数分别为−3,32,3．

∴点A和点B的中点表示的数为−2，点A与点C的中点表示的数为14，点A和点D的中点表示的数为1，

∵点O为原点，点M表示的数为2，

∴点C和点D与点A关于线段OM径向对称；

故答案为：点C和点D；

②若点E表示的数为x，则点A和点E的中点所对应的数为：−1+x2，

若x最大，则点A和点E的中点与点M重合，即−1