《直线的方程》导学案

《直线的方程》导学案班级：具体班级姓名：你的名字一、学习目标1、能理解直线方程的概念，就像你能清楚知道自己喜欢的偶像的特点一样明确。2、会根据给定条件求出直线的点斜式方程、斜截式方程，就像按照食谱做蛋糕一样，按照步骤就能完成。3、可以灵活运用直线方程解决一些简单的实际问题，这就好比用钥匙开锁，不同的锁（问题）用对应的钥匙（方程）。二、重点和难点重点1、掌握直线的点斜式方程、斜截式方程的推导过程，这就像是探索宝藏的地图制作过程，很重要哦。2、能够根据具体条件准确地选择合适的方程形式来表示直线，就像根据不同的天气选择合适的衣服。难点1、理解直线方程各种形式的局限性，就像每种工具都有它能做和不能做的事情一样。2、在实际问题中，准确地找出直线方程所需要的条件，这就像在一堆东西里找到你需要的那个小物件，有点难呢。三、创设情境（一）回忆旧知1、大家先回忆一下在初中我们学过的一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0），它的图象是什么形状呢？对啦，是一条直线。那这条直线的斜率怎么求呢？（这里可以让同学们互相讨论一下）。斜率k就等于函数图象上任意两点（x₁,y₁)和（x₂,y₂)的纵坐标之差与横坐标之差的比值，也就是k=（y₂y₁)／（x₂x₁)。2、我给大家讲个真实的事情。有一次我去爬山，山的形状就像一条不规则的曲线。但是在某个小路段呢，它近似是一条直线。我就想啊，如果我能知道这条直线的方程，那我就能大概算出我在这个路段上升或者下降的速度了。那怎么得到这个方程呢？这就引出了我们今天要学习的内容。（二）观察与思考1、在平面直角坐标系中，给定一个点P(x₀,y₀)和斜率k，我们怎么确定一条直线呢？大家可以试着在纸上画一画，随便找个点，标上坐标，再假设一个斜率，然后看看能画出什么样的直线。2、我们再来看一个例子。假如你要在地图上画从你家到学校的最短路线（假设是直线），你知道你家的坐标（假设为（x₁,y₁)）和学校的坐标（假设为（x₂,y₂)），那你怎么找到这条直线的斜率呢？这就用到我们前面说的斜率公式啦。那有了斜率，又有一个点（你家的点或者学校的点），我们能不能找到这条直线的方程呢？四、合作探究（一）直线的点斜式方程1、活动：推导直线的点斜式方程我们设直线l经过点P(x₀,y₀)，且斜率为k。设直线l上除点P以外的任意一点为Q(x,y)。根据斜率的定义，我们知道k=（yy₀)／（xx₀)。那把这个式子变形一下，就得到了直线的点斜式方程：yy₀=k(xx₀)。这里有个小问题要考考大家哦。如果直线的斜率不存在，也就是直线是垂直于x轴的，这个方程还适用吗？（让同学们讨论一下）。2、归纳：直线的点斜式方程yy₀=k(xx₀)可以表示过点P(x₀,y₀)且斜率为k的直线，但要注意斜率不存在时的特殊情况。（二）直线的斜截式方程1、活动：从点斜式方程推导斜截式方程我们知道直线的点斜式方程是yy₀=k(xx₀)。如果直线l与y轴的交点是（0,b)（这里的b就是直线在y轴上的截距哦），把x₀＝0，y₀＝b代入点斜式方程，会得到什么呢？对啦，得到yb＝k(x0)，化简一下就是y＝kx＋b，这就是我们熟悉的斜截式方程啦。那大家思考一下，斜截式方程能表示所有的直线吗？（给同学们一点时间思考，然后可以互相讨论）。2、归纳：斜截式方程y＝kx＋b可以表示斜率为k且在y轴上截距为b的直线，但垂直于x轴的直线不能用斜截式方程表示。五、典型例题（一）例1：求直线方程1、已知直线过点（1,2)，斜率为3，求直线的点斜式方程和斜截式方程。解：（1）根据点斜式方程的公式yy₀=k(xx₀)，这里x₀＝1，y₀＝2，k＝3，所以点斜式方程为y2＝3(x1)。（2）把点斜式方程y2＝3(x1)化简为斜截式方程。首先展开括号得y2＝3x3。然后移项得到y＝3x3＋2，即y＝3x1。2、学习指导：在求点斜式方程的时候，只要准确地把给定的点的坐标和斜率代入公式就好啦。求斜截式方程的时候，就是对得到的点斜式方程进行化简，要注意移项的规则哦。（二）例2：根据条件求直线方程1、已知直线的斜率为2，在y轴上的截距为4，求直线的方程。解：因为已知直线的斜率k＝2，在y轴上的截距b＝4，根据斜截式方程y＝kx＋b，所以直线方程为y=－2x＋4。2、学习指导：这种情况很简单，直接把斜率和截距代入斜截式方程就可以了。但是要注意理解斜率和截距的概念哦。（三）例3：实际问题中的直线方程1、一个物体做直线运动，它的速度是每秒5米，初始位置在坐标原点。以时间t（秒）为自变量，位移s（米）为因变量，求这个物体运动的直线方程。解：我们知道位移和速度、时间的关系是s＝vt（这里v是速度）。因为速度v＝5米/秒，初始位置在原点（也就是当t＝0时，s＝0），这个直线的斜率就是速度5，在st坐标系中，直线过点（0,0)。根据点斜式方程ss₀=v(tt₀)，这里s₀＝0，t₀＝0，v＝5，所以直线方程为s＝5t。2、学习指导：在解决实际问题的时候，要先分析哪个是自变量，哪个是因变量，然后找出对应的斜率和一个点的坐标，再选择合适的直线方程形式来求解。六、练习1、课本具体页码练习15题。2、已知直线过点（－2,3)，斜率为1，求直线的点斜式方程和斜截式方程。3、直线的斜截式方程为y＝2x3，求直线的斜率和在y轴上的截距。4、一个小球从斜坡上滚下，斜坡的坡度为1/2（可以理解为直线的斜率），小球初始位置在斜坡顶端，坐标为（0,5)（这里5米是小球初始的高度），以水平方向为x轴，垂直方向为y轴，求小球滚动轨迹的直线方程（用点斜式和斜截式表示）。七、当堂反馈（一）选择题1、直线的点斜式方程y3＝2(x＋1)表示（）A.过点（－1,3)且斜率为2的直线B.过点（1,－3)且斜率为2的直线C.过点（－1,－3)且斜率为2的直线D.过点（1,3)且斜率为2的直线2、直线的斜截式方程y=－3x＋2中，直线的斜率和在y轴上的截距分别是（）A.3，2B.3，2C.3，2D.3，2（二）填空题1、已知直线过点（3,－1)，斜率为2，则直线的点斜式方程为______，斜截式方程为______。2、直线y＝kx＋5过点（－2,－1)，则k＝＿_____。（三）解答题1、已知直线l的斜率为4，且与y轴的交点为（0,－3)，求直线l的点斜式方程和斜截式方程。2、一个物体沿直线运动，它的速度随时间的变化关系为v＝3t＋1（v的单位是米/秒，t的单位是秒），当t＝0时，物体的位移为0，求物体位移s与时间t的直线方程。八、课堂小结1、今天我们学习了直线的点斜式方程yy₀=k(xx₀)和斜截式方程y＝kx＋b。2、我们知道了点斜式方程是怎么推导出来的，以及它的适用范围（斜率存在的情况）。3、斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，它能很直观地表示出直线的斜率和在y轴上的截距，但是垂直于x轴的直线不能用斜截式方程表示。4、在解决实际问题的时候，我们要先确定自变量和因变量，找出直线的斜率和一个点的坐标，然后选择合适的方程形式来求解。九、课后作业（一）基础作业1、课本具体页码习题15题。2、已知直线过点（1,－2)，斜率为1/3，求直线的点斜式方程、斜截式方程，并画出直线的图象（可以用描点法，找两个点就可以画出直线啦）