2024年四川省高考数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个

选项中，只有一个是符合题目要求的.

1.（5分）设集合A={x|-2<xW2},Z为整数集，则AAZ中元素的个数是（）

A.3B.4C.5D.6

2.（5分）设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含X，的项为（）

A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4

3.（5分）为了得到函数y=sin（2x-2L）的图象，只需把函数y二sin2x的图象上

3

所有的点（）

4向左平行移动当个单位长度B.向右平行移动三个单位长度

3

C.向左平行移动卷个单位长度D.向右平行移动三个单位长度

6

4.（S分）用数字1,2,3,4,5姐成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数

为（）

A.24B.48C.60D.72

5.（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年

全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增

长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）

（参考数据：lgl.l2=0.05,lgl.3=O.ll,lg2=0.30）

A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年

6.（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在

所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进

的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实

例，若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为（）

(结束)

A.9B.18C.20D.35

7.(5分)设p：实数x,y满足(x-l)2+(y-1)2^2,q：实数x,y满足<y〉l-x，

则P是q的(；

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.(5分)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一

点,M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为()

A.返B.2C.返D.1

332

9.(5分)设直线li,12分别是函数f(x)=("lnX，1〈'〈I图象上点P］，P2处

Inx,x>l

的切线，11与I2垂直相交于点P,且k，I2分别与y轴相交于点A,B,则4PAB

的面积的取值范围是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+8)D.(1,+8)

10.(5分)在平面内，定点A,B,C,D满足|X|=|布|=|沃|,

DA*DB=DB*DC=DC*DA=-2,动点P,M满足AP1=1，PM=MC，则1而？的最

大值是（）

A.毁B.空C37+6盯口37+2体

44"1-•T

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

（5分）cos*2^--sin2^-=

oo

12.（5分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就

说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是.

13.（5分）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视

图如图所示，则该三棱锥的体积是.

正视图

14.（5分）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当OVxVl时，f（x）

=4X,则f（-区）+f（2）=

2

15.（5分）在平面直角坐标系中，当P（x,y）不是原点时，定义P的"伴履点〃

为P'（:°，了）；当P是原点时，定义P的“伴随点〃为它自身，平面

2.22.2

x+yx+y

曲线C上所有点的〃伴随点〃所构成的曲线U定义为曲线C的〃伴随曲线〃.现有

下列命题：

①若点A的〃伴随点〃是点N,则点A的〃伴随点〃是点A；

②单位圆的“伴随曲线〃是它自身；

卷若曲线C关丁x轴对称，则其"伴随曲线"U关丁y轴对称；

④一条直线的“伴随曲线〃是一条直线.

其中的真命题是（写出所有真命题的序列）.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演

17.（12分）在4ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且滔&+滔殳=包g.

abc

（I）证明：sinAsinB=sinC；

（口）b2+c2-a2=_be,求tanB.

5

18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD//BC,ZADC=ZPAB=90°,

BC=CD=1AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90。.

2

（I）在平面PAB内找一点M,使得直线CM〃平面PBE,并说明理由；

（口）若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

E

19.（12分）已知数列分）的首项为1,Sn为数列｛an｝的前n项和，Sn+i=qSn+l，

其中q>0,n£N*.

（I）若2a2,a3,az+2成等差数列，求前的通项公式；

2

（□）设双曲线x-的离心率为en,且02=且证明：ei+ez+…+en>-^-

/3寸1

22

20.（13分）已知椭圆E：与+4=1（a>b>0）的两个焦点与短轴的一个端点

2,2

ab

是直角三角形的3个顶点，直线I：y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.

（I）求椭圆E的方程及点T的坐标；

（U）设0是坐标原点，直线r平行于0T,与椭圆E交于不同的两点A、B,且

与直线I交于点P.证明：存在常数入，使得|PT|25|PA|.|PB|,并求人的值.

21.(14分)设函数f(x)=ax2-a-Inx,其中aER.

(I)讨论f(x)的单调性;

(II)确定a的所有可能取值，使得f(x)x在区间(工，+8)内恒成

X

立(e=2.718…为自然对数的底数).

2016年四川省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个

选项中，只有一个是符合题目要求的.

1.（5分）设集合A={x|-2WxW2},Z为整数集，则ADZ中元素的个数是（）

A.3B.4C.5D.6

【考点】1E：交集及其运算.

【专题】37：集合思想；40：定义法；5J：集合.

【分析】由A与Z,求出两集合的交集，即可作出判断.

【解答】解：YA二{x|-2WxW2},Z为整数集，

AAnz={-2,-1,0.1,2）,

则AAZ中元素的个数是5,

故选：C.

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.（5分）设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含X，的项为（）

A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4

【考点】DA：二项式定理.

【专题】38：对应思想；4R：转化法；5P：二项式定理.

【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案.

【解答】解：（x+i）6的展开式中含X，的项为-i5x、

故选：A.

【点评】本题考查二项式定理，深刻理解二项展开式的通项公式是迅速作答的关

键，属于中档题.

3.（5分）为了得到函数y=sin（2x-2L）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上

3

所有的点（）

A.向左平行移动二个单位长度B.向右平行移动二个单位长度

33

C.向左平行移动卷个单位长度D.向右平行移动？L个单位长度

【考点】HJ：函数y=Asin（3x+6）的图象变换.

【专题】57：三角函数的图像与性质.

【分析】由条件根据函数丫=人$访（3X+4））的图象变换规律，可得结论.

【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移卷个单位长度，可得函数丫=$吊23

--）=sin（2x-A）的图象，

63

故选：D.

【点评】本题主要考查函数y=Asin（u）x+4））的图象变换规律，属于基础题.

4.（5分）用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数

为（）

A.24B.48C.60D.72

【考点】D9：排列、组合及简单计数问题.

【专题】12：应用题；34：方程思想；49：综合法；50：排列组合.

【分析】用1、2、3、4、5组成无重复数字的五，立奇数，可以看作是填5个空，

要求个位是奇数，其它位置无条件限制，因此先从3个奇数中任选1个填入,

其它4个数在4个位置上全排列即可.

【解答】解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1,3,5中的一个数,

共有3种排法，

然后还剩4个数,剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有A；=24

种排法.

由分步乘法计数原理得，由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有

3X24=72个.

故选：D.

【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数问题，此题是有条件限制排列，解

答的关键是做到合理的分布，是基础题.

5.（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年

全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增

长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）

（参考数据:lgl.l2=0.05,lgl.3=0.11,lg2=0.30）

A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年

【考点】88：等比数列的通项公式.

【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列；59：不等式的解法及应用.

【分析】设第n年开始超过200万元，可得130X（1+12%）n2015>200,两边

取对数即可得出.

【解答】解：设第n年开始超过200万元，

则130X（1+12%）n'2315>200,

4匕为：（n-2015）Igl.l2>lg2-lgl.3,

n-2015>』3。-。・11=3.8.

0.05

取n=2019.

因此开始超过200万元的年份是2019年.

故选：B.

【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计

算能力，属于中档题.

6.（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在

所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进

的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实

例，若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为（）

（结束）

A.9B.18C.20D.35

【考点】EF：程序框图.

【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图.

【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i,v的值，当i=

-1时，不满足条件i，0,跳出循环，输出v的值为18.

【解答】解：初始值n=3,x=2,程序运行过程如下表所示：

v=l

i=2v=lX2+2=4

i=lv=4X2+1=9

i=0v=9X2+0=18

i=-l跳出循环，输出v的值为18.

故选：B.

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得

到的i,v的值是解题的关键，属于基础题.

7.（5分）设p：实数x,y满足（x-l）2+（y-1）2^2,q：实数x,y满足<y〉l-x，

则p是q的（：

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；7C：简单线性规划.

【专题】35：转化思想；4R：转化法；5L：简易逻辑.

【分析】画出p,q表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案.

【解答】解：（x-1）2+（y-1）2《2表示以（1,1）为圆心，以行为半径的圆

内区域（包括边界）；

满足卜〉l-x的可行域如图有阴影部分所示，

故选：A.

【点评】本题考查的知识是线性规划的应用，圆的标准方程，充要条件，难度中

档.

8.（5分）设0为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p>0）上任意一

点,M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|,则直线0M的斜率的最大值为（）

A.返B.2C.返D.1

332

【考点】K8：抛物线的性质.

【专题】34：方程思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用；5D：圆锥曲

线的定义、性质与方程.

2

【分析】由题意可得F（£,0）,设P（也y°）,要求k°M的最大值，设yo>O,

22p

运用向量的加减运算可得赢q话•!用（鸿十专咨），再由直线的斜率公

式，结合基本不等式，可得最大值.

【解答】解：由题意可得F（里，0）,设P（迫yo）,

22p

显然当yo<O,kOM<0：当yo>O,kOM>0.

要求k°M的最大值，设yo>O，

则证而+百帝而+[（OP-0F）

33

2

2碓（纹+2也），

336p33

当且仅当y°2=2p2,取得等号.

故选：C.

【点评】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基

本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题.

9.（5分）设直线11，12分别是函数f（X）=lnx，7图象上点％,P2处

Inx,x〉l

的切线，11与L垂直相交于点P,且11，12分别与y轴相交于点A,B,则4PAB

的面积的取值范围是（）

A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+8)D.(1,+8)

【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程.

【专题】15：综合题；33：函数思想；49：综合法；53：导数的综合应用.

【分析】设出点Pi，P2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线11与12的斜

率，由两直线垂直求得Pi，P2的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点

斜式方程，求得A,B两点的纵坐标，得到|AB|,联立两直线方程求得P的横

坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得4PAB的面积的取值

范围.

【解答】解：设Pi(Xi，yi),P2(X2>丫2)(0Vxi〈lVx2),

当OVxVl时，F(x)=」，当x>l时，F(x)=1,

XX

・・・1】的斜率k尸,，上的斜率k)J,

1X1J2

与b垂直,且X2>Xi>0,

kI•k9—^p—~~=—1»艮口XiX2=l.

1X1x2

直线h：y=——(x-x-InxL：y=-^-(x-X2)+lnx2*

X1x2

取x=O分别得到A(0,1-Inxi),B(0,-l+lnx2),

AB=1-Inxi-(-l+lnxz)1=2-(Inxi+lnx2)I=I2-lnxiX21=2.

联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=32,

X1+X2

S…I12x^222

*'eAPAB3!

AB•xP=-£-x2X——^=—~—二----7--

2x1+x2町+乂2J

1X1

•・•函数y=x+l>在(0,1)上为减函数，且0VX1V1,

x

**•x1=2，则。<---、一

1X1町32

1X1

・•・0<-^p<l.

Xi+-----

1X1

••.△PAB的面积的取值范围是（0,1）.

故选：A.

【点评】本题考杳利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不

等式求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属中档题.

10.(5分)在平面内，定点A,B,C,D满足|X|=I泥1=I而I，

DA*DB=DB*DC=DC*DA=-2,动点P,M满足AP1=1，PM=MC，则I而？的最

大值是()

A43B_49c37+6-3D37+2小

T'T.-4-■T

【考点】90：平面向量数量积的性质及其运算.

【专题】35：转化思想；48：分析法；5A：平面向量及应用.

【分析】由|赢|=|而卜辰|，可得D为"BC的外心,XDA-DB=DB*DC=DC*DA，

口『得可得D为4ABC的垂心，则D为4ABC的中心，WAABC为正二角形.运

用向量的数量积定义可得aABC的边长，以A为坐标原点，AD所在直线为x

轴建立直角坐标系xOy,求得B,C的坐标，再设P(cosO,sinO),(0^e<2n),

由中点坐标公式可得M的坐标，运用两点的距离公式可得BM的长，运用三

角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值.

【解答】解:由IDA|=|DB|=IDCI，可得D为Z\ABC的外心，

又五•荏瓦•沃二正・而，可得

DB*(DA-DC)=0,DC*(DB-DA)=0,

即瓦•展正•屈=0，

即有无_L菽，DC±AB，可得D为△ABC的垂心，

贝D为z^ABC的中心，即z^ABC为正三角形.

由五•而=-2,WWIDA>lDA|cosl200=-2,

解得I五1=2,Z^ABC的边长为4cos30。=2近，

以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy,

可得B(3,-近)，C(3,V3)，D(2,0),

由屈1=1，可设P<cosO,sinO),(0<$0<2n),

由昨证，可得M为PC的中点，即有M(3+cosS,后sin，),

22

则|前2=(3_3+COS6)2+(E+sine-%)2

22

_(3-cosB产(W^+sinS)237-6cos+6V3sinB

444

/c兀、

37+12sin(8—T-)

=_____________^―，

4

当sin(e-A)=i,即e=&L时，取得最大值，且为壁.

634

故选：B.

【点评】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法,

转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11(S分)2兀-.2兀一

2刀/cos—sin——•

ooZ

【考点】GS：二倍角的三角函数.

【专题】11：计算题.

【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函

数值，即可得到所求式子的值.

【解答】解：cos?匹・siM?L

88

=cos(2X_2L)=cos—

842

故答案为：返

2

【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练学

握公式是解本题的关键.

12.(5分)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就

说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是3.

一2一

【考点】CH：离散型隆机变量的期望与方差.

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：概率与统计.

【分析】由对立事件概率计算公式求出这次试验成功的概率，从而得到在2次试

验中成功次数X〜B(2,旦)，由此能求出在2次试验中成功次数X的均值E

4

(X).

【解答】解：•・・同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，

就说这次试验成功，

・,.这次试验成功的概率p=l-(1)2=1,

・••在2次试验中成功次数X〜B(2,2),

4

・••在2次试验中成功次数X的均值E(X)=x---

Z242

故答案为：2.

2

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，是基础题，解题时要认真审

题，注意对立事件概率计算公式的合理运用.

13.(5分)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视

图如图所示，则该三棱锥的体积是退.

~3~

正视图

【考点】L!：由三视图求面积、体积.

【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何.

【分析】由已知结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为2石，

高为1,棱锥的高为1,进而得到答案.

【解答】解：,・•三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，

结合给定的三棱锥的正视图，

可得：三棱锥的底面是底为2近，高为1,

棱锥的高为1，

故棱锥的体积v=Lx(IX2V3XI)X1=Y3,

323

故答案为：立

3

【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，

判断几何体的形状是解答的关键.

14.(5分)若函数f(x)是定义R上的周期为2的奇函数，当OVxVl时，f(x)

=4X,则f(-王)+f(2)=-2.

2------------

【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3T：函数的值.

【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用.

【分析】根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解即可.

【解答】解：•・•函数f(X)是定义R上的周期为2的奇函数，当OVxVl时，f

(x)=4X,

・・・f(2)=f(0)=0,

f(--)=f(--+2)=f(--)=-f(—)=-42=-y/~^=-2,

22224

则f(-i.)+f(2)=-2+0=-2,

2

故答案为：-2.

【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进

行转化是解决本题的关键.

15.(5分)在平面直角坐标系中，当P(x,y)不是原点时，定义P的〃伴随点〃

为P'(?今，"x当P是原点时，定义P的"伴随点"为它自身，平面

2.22.2

x+yx+y

曲线C上所有点的〃伴随点〃所构成的曲线C定义为曲线C的〃伴随曲线〃.现有

下列命题：

①若点A的〃伴随点〃是点AS则点A，的〃伴随点〃是点A；

②单位圆的〃伴随曲线〃是它自身；

③若曲线C关于X轴对称，则其"伴随曲线〃C关于V轴对称；

④一条直线的"伴随曲线〃是一条直线.

其中的真命题是②③(写出所有真命题的序列).

【考点】2K：命题的真假判断与应用.

【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5L：简易逻辑.

【分析】利用新定义，对4个命题分别进行判断，即可得出结论.

【解答】解：①若点A(x,y)的"伴随点〃是点—^7),则点A，

2.22.2

x+yx+y

(―的“伴随点〃是点(-X，-y),故不正确；

2.22.2

x+yx+y

②由①可知，单位圆的〃伴随曲线〃是它自身，故正确；

③若他线C关于x轴对称，点A(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),〃伴随

点，，是点至，廿万)，则其〃伴随曲线'C关于y轴对称，故正确；

x2+y2x，y'

④设直线方程为y=kx十b(b*0),点A(x,y)的"伴随点”是点A，(m,n),则

•・•点A(x,y)的〃伴随点〃是点A，(—J,~x),・・・卫立，

x2+y2x2+y2mykn+m

y二bm

kn+m

Vm=—,・・・代入整理可得加2+/上n-l=0表示圆，故不正确.

x2+y2b

故答案为：②③.

【点评】此题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解〃伴随点〃的定义是解题的

关键.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

16.（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，

计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），

一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收

费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均

用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5）,[0,5,1）,[4,4.5）分成9

组，制成了如图所示的频率分布直方图.

（I）求直方图中a的值；

（ED设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并

说明理由；

（HI）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x

的值，并说明理由.

频至

【考点】B8：频率分布直方图；BE：用样本的数字特征估计总体的数字特征.

【专题】11：计算题；27：图表型；51：概率与统计.

【分析】（I）根据各组的累积频率为1，构造方程，可得a值；

（口）由图可得月均用水量不低于3吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于

3吨的人数：

（m）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率及月均用水量低于3吨的频率，进

而可得x值.

【解答】解：（］）V0.5X（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+23）=1,

/.a=0.3；

（II）由图可得月均用水量不低于3吨的频率为：0.5义（0.12+0.08+0.04）=C.12,

由30X0.12=3.6得：全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万；

（印）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为:0.5X（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）

=0.73<85%；

月均用水量低于3吨的频率为：0.5X（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）=0.88>85%；

则x=2.5+0.5X85-O.73=29吨

0.3X0,5

【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度不大，属

于基础题.

17.（12分）在4ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,^£osA_+cosB=sinC

abc

（I）证明：sinAsinB=sinC；

（II）若b2+c2-a2—be,求tanB.

5

【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理.

【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；58：解三角形.

【分析】（I）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定

理，即可证明.

（口）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（I）的条件，求解B的正切函

数值即可.

【解答】（I）证明：在AABC中，・・,滔&+空空二型总,

abc

・••由正弦定理得：cosA[CosB=sSC,

sinAsinBsinC

•cosAsinB+cosBsinA_sin(A+B)

二1,

sinAsinBsinAsinB

Vsin(A+B)=sinC.

；・整理可得:sinAsinB=sinC,

（II）解:b2+c2-a2=lbc,由余弦定理可得cosA=W.

55

sinA=A,£2sA=l

5sinA4

cosA4.COSBsinCcosB_1

sinAsinBsinCsinB4

tanB=4.

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形

内角和定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题.

18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD//BC,ZADC=ZPAB=90°,

BC=CD=1AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90。.

2

（工）在平面PAB内找一点M,使得直线CM〃平面PBE,并说明埋由；

（口）若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

【考点】LS：直线与平面平行；Ml：直线与平面所成的角.

【专题】31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离；5G：空间

角.

【分析】（I）延长AB交直线CD于点M,由点E为AD的中点，可得AE=ED=1AD,

2

由BC=CD=1AD,可得ED=BC,已知ED/7BC.可得四边形BCDE为平行四边形,

2

即EB〃CD.利用线面平行的判定定理证明得直线CM〃平面PBE即可.

（II）如图所示，由NADC=/PAB=90。，异面直线PA与CD所成的角为90°ABn

CD=M,可得AP_L平面ABCD.由CD_LPD,PA±AD.因此/PDA是二面角P

-CD-A的平面角，大小为45°.PA=AD.不妨设AD=2,则BC=CD=1AD=1.可

2

得P(0,0,2),E(0,1,0),C(-1,2,0),利用法向量的性质、句量

夹角公式、线面角计算公式即可得出.

【解答】解：(I)延长AB交直线CD于点M,•・•点E为AD的中点，，AE=ED」AD,

2

VBC=CD=1AD,AED=BC,

2

VAD/7BC,即ED〃BC.工四边形BC即为平行四边形,即EB〃CD.

VABnCD=M,AMeCD,ACM//BE,

OBEu平面PBE,，CM〃平面PBE,

VMeAB,ABu平面PAB,

.•.ME平面PAB,故在平面PAB内可以找到一点M(M=ABACD),使得直线CM

〃平面PBE.

(II)如图所示，・.・NADC=NPAB=90。，异面直线PA与CD所成的角为90。，AB

nCD=M,

，APJ_平面ABCD.

・・・CD_LPD,PA1AD.

因此NPDA是二面角P-CD-A的平面角，大小为45。.

/.PA=AD.

不妨设AD=2,则BC=CD=^AD=1.AP(0,0,2),E(0,1,0),C(-1,2,0),

2

AEC=(-1,1,0),PE=(0,1,-2),AP=(0,0,2),

设平面PCE的法向量为7(x,y,z),则ET二°,可得：02二0.

n・EC=0I-x+y=0

令y=2,贝ljx=2,z=l,・•・能(2,2,1).

设直线PA与平面PCE所成角为e,

=

则sin0=|cos<AAPp,n>|=-7=^—=—•

1，n，11Api舟V9X23

【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空

间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题.

19.（12分）已知数列分n｝的首项为1,Sn为数列｛an｝的前n项和,Sn，产qSn+1,

其中q>0,n£N*.

（工）若知2,A3,六+2成等差数列，求右的通项公式：

（□）设双曲线x2-4=1的离心率为en,且e2=土，证明：ei+e2+…式上式.

23n-1

anJ3Q

【考点】8E：数列的求和；80：数列与解析几何的综合.

【专题】35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列.

【分析】（I）由条件利用等比数列的定义和性质，求得数列｛而｝为首项等于1、

公比为q的等比数列，再根据2a2,a3,a?+2成等差数列求得公比q的值，可

得｛加｝的通项公式.

（口）利用双曲线的定义和简单性质求得加;环不，根据e2=^=标］，求得

q的值，可得｛加｝的解析式，再利用放缩法可得・,・en=6H>母）”）从

而证得不等式成立.

【解答】解：（I）VSn+i=qSn+l①，.••当n》2时，Sn=qS„-i+l②，两式相减可

得an+i=q・an，

即从第二项开始，数列｛an｝为等比数列，公比为q.

当n=l时，’・•数列｛an｝的首项为1».*.ai+a2=S2=q>ai+l,.*.a2=ai*q,

・・・数列｛aj为等比数列，公比为q.

V2a2»a?*a2+2成等差数列,.*.2a3=2a2+a2+2,.*.2q2=2q+q+2,求得q=2,或q=

_1•

2

根据q>0,故取q=2,・・・2产2"1,n£N\

2

<n）证明：设双曲线x2-q=1的离心率为en,

%

••en-

由于数列｛加｝为首项等于1、公比为q的等比数列,

Ae2=-|=71+a22=Vl+q2,q=y

.4424nT1-W4n—3

•…+/>吗+得）+...+得）二不一二原不等式得证.

1万3

【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，用放缩法进行数列求

和，双曲线的简单性质，属于难题.

22

20.（13分）已知椭圆E：2+J=1（a>b>0）的两个焦点与短轴的一个端点

T2,2

ab

是直角三角形的3个顶点，直线I：y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.

（I）求椭圆E的方程及点T的坐标；

（□）设O是坐标原点，直线V平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且

与直线I交于点P.证明：存在常数入，使得|PT|251PAi・|PB|,并求人的值.

【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合.

【专题】31：数形结合；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、

性质与方程.

【分析】（I）根据椭圆的短轴端点C与左右焦点Fi、F2构成等腰直角三角形，

结合直线I与椭圆E只有一个交点，

利用判别式△=€），即可求出椭圆E的方程和点T的坐标;

(n)【解法一】作伸缩变换，令x，=x,『=4为，把椭圆E变为圆匕利用圆幕

定理求出入的值，

从而证明命题成立.

【解法二】设出点p的坐标，根据T〃OT写出r的参数方程，代入椭圆E的方程

中，整理得出方程，

再根据参数的几何意义求出|PT|2、|PA|和|PB|,由|PT|251PAi・|PB|求出入的

值.

【解答】解：(I)设短轴一端点为C(0,b),左右焦点分别为Fl(-c,0),

F?(c,0),其中c>0,则c2+b2=a2；

由题意，^FiF2c为直角三角形，

・•・|F】F|2=|F[C|2+|F2c|2,解得b=c=冬,

2/

22

・・・椭圆E的方程为鼻+。=1；

2b2b2

代入直线I：y=-x+3,可得3x2-12x+18-2b2=0,

又直线I与椭圆E只有一个交点，则△=122-4X3(18-2b2)=0,解得b?=3,

22

・•・椭圆E的方程为工+工_=1；

63

由b2=3,解得x=2,则y=・x+3=l,所以点T的坐标为(2,1)；

(口)【解法一】作伸缩变换,令X，=X,Jf/R,

则椭圆E变为圆Hx〃+y，2=6,

设此时P、A、B、T对应的点分别为，、A\B\r,

如图所示；

FA''P，B，|「+2xg)

|PA・PB|1+(1/5

两式相比，得F『|2：p¥P，B，|二5

IPT|2IPAPBl4

由圆骞定理得,|PT|2二|PW|.|PB|,

所以I甲2g,即入二9，原命题成立.

|PA|・PB|55

【解法二】设P（xo，3-xo）在I上，由k°T」，1平行0T,

2

x=x+2t

得I'的参数方程为°n,

y=3-x0+t

2+2

代入椭圆E中,得（x（）+2t）（3-xo+t产6,

整理得2t2+4t+2-4XO+4=O；

xY0

G-9）2

设两根为tA，加，则有

PT12=222

而(7(X0-2)+(3-X0-1))'=(x0-2)

PA=22=

।।7[(x0+2tA)-x0]+[(3-x0+tA)-(3-x0)1।泥JL

=22=

।PB^/[(x0+2tB)-XQ]+[(3-x0+tB)-(3-x0)]加tBI»

且|PT|2=X|PA|・|PB|,

22(x「2)2

.入-|PT4

5

即存在满足题意的入值.

【另解1判断出c=b,e=返,经仿射变换x=xX1

2vy0

E玲。O'：x，2+y/2=a2；

IpT玲IpT：&x+y-3加=0；

*^J=a