第08讲 有理数的乘方（3种题型）（原卷版）

第08讲有理数的乘方（3种题型）1.掌握有理数乘方的意义，正确判断幂的底数，掌握乘方运算的符号法则；2.理解科学记数法的表示，会正确算出科学记数法表示的数的结果；一．有理数的乘方（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．（3）方法指引：①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．二．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．三．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．一．有理数的乘方（共11小题）1．（2022秋•鼓楼区校级期末）下列各组数中，相等的是（）A．+32与+23 B．﹣23与（﹣2）3 C．﹣32与（﹣3）2 D．|﹣3|3与（﹣3）32．（2022秋•盐都区期中）计算：＝．3．（2023•南京二模）与（﹣3）2的值相等的是（）A．﹣32 B．32 C．（﹣2）3 D．234．（2022秋•仪征市期末）若一个数的立方为﹣27，则这个数是（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．﹣95．（2023春•泰兴市校级月考）计算：（）3＝．6．（2022春•灌南县期中）已知83＝a9＝2b，试求ba的值．7．（2023•海陵区一模）﹣32的值等于（）A．﹣9 B．9 C．6 D．﹣68．（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，A，B，C，D，E是数轴上5个点，A点表示的数为9，E点表示的数为9100，AB＝BC＝CD＝DE，则数999所对应的点在线段上．9．（2023春•宿豫区期中）已知310＝m5＝（）n，求m+n的值．10．（2022秋•鼓楼区校级月考）已知|x|＝5，y2＝16，且x+y＞0，那么x﹣y＝．11．（2023春•吴江区期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，9）＝，（，16）＝2，（﹣2，﹣8）＝；（2）有同学在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），他给出了如下的证明：设（3n，4n）＝x，∴（3n）x＝4n即（3，4）＝x，∴（3n，4n）＝（3，4）．①若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，请你尝试运用上述这种方法证明a+b＝c；②猜想[（x﹣1）n，（y+1）n]+[（x﹣1）n，（y﹣2）n]＝（，）（结果化成最简形式）．二．非负数的性质：偶次方（共7小题）12．（2022秋•姑苏区校级期末）如果|a+3|+（b﹣2）2＝0，则（a+b）2022的值是．13．（2022秋•鼓楼区校级期末）已知|ab﹣2|+（b+1）2＝0，则（a﹣b）2023＝．14．（2022秋•射阳县月考）已知（x﹣3）2+|2x﹣3y+6|＝0，求x﹣y的值．15．（2023春•东台市期中）若（x﹣1）2+|2y+1|＝0，则x+y的值为（）A． B． C． D．16．（2022秋•仪征市期末）若|a﹣2|+（b+3）2＝0，则ba＝．17．（2023春•东台市期中）已知|x+2y+3|与（2x+y）2的值互为相反数，则x﹣y＝．18．（2022秋•江阴市期中）如果|a+2|+（b﹣1）2＝0，那么代数式（a+b）2021的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．2021三．科学记数法—表示较大的数（共4小题）19．（2023•苏州）在比例尺为1：8000000的地图上，量得A，B两地在地图上的距离为3.5厘米，即实际距离为28000000厘米．数据28000000用科学记数法可表示为．20．（2023•镇江一模）2023年2月15日春运结束，春运40天，全国发送旅客约15.95亿人次，比去年同期增长50.5%，其中，数据15.95亿用科学记数法可表示为．21．（2023春•吴江区校级期中）光在真空中的传播速度约是3×108m/s，光在真空中传播一年的距离称为光年．（1）1光年约是多少千米？（一年以3×107s计算）（2）银河系的直径达10万光年，约是多少千米？（3）如果一架飞机的飞行速度为1000km/h，那么光的速度是这架飞机速度的多少倍？（1m/s＝3.6km/h）22．（2022春•仪征市校级月考）某银行去年新增加居民存款10亿元人民币．（结果用科学记数法表示）（1）经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米，如果将10亿元面值为100元的新版人民币摞起来，大约有多高？（2）一台激光点钞机的点钞速度是8×104张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的新版人民币，点钞机大约要点多少天？一、单选题1．（2023秋·江苏淮安·七年级统考期末）某省计划建成亩高标准农田，其中用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．2．（2023秋·江苏无锡·七年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期末）在，1.2，，0，，中，负数的个数有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．（2022秋·江苏淮安·七年级校考期中）已知x，y满足，则的值是（

）A．5 B． C．4 D．14．（2022秋·江苏盐城·七年级统考期中）下列计算结果相等为（

）A．和 B．和C．和 D．和5．（2022秋·江苏扬州·七年级校联考期中）的结果为（）A． B． C． D．6．（2022秋·江苏南京·七年级校联考期末）若x、y、z是三个连续的正整数，若x2＝44944，z2＝45796，则y2＝（

）A．45369 B．45371 C．45465 D．46489二、填空题7．（2022秋·江苏苏州·七年级校考期中）倒数等于本身的数是______，相反数等于本身的数是______，平方等于它本身的数是______，立方等于它本身的数是______．8．（2022秋·江苏淮安·七年级淮阴中学新城校区校考期末）数字用科学记数法表示为____________．9．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）如果ab＝c，那么我们规定[a，c]＝b．例如：因为23＝8，所以[2，8]＝3．若[3，5]＝n，[9，m]＝n；则[3，m+2]＝_______．10．（2022秋·江苏南京·七年级统考期中）下列情景描述的结果与相符的是________（填写所有正确选项的序号）①把一张报纸沿同一方向连续对折5次得到的后折痕条数；②把一团和好的面，揉搓成一根长条后，连续拉扣5次得到的面条根数③细胞分裂时，由1个分裂成2个，由2个分裂成4个，以此类推，一个这样的细胞分裂5次形成的细胞个数．11．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）根据全国第七次人口普查数据显示，截至2020年11月1日零时，泗阳总人口约1063000人，数据1063000用科学记数法表示____．12．（2022秋·江苏淮安·七年级校考期末）已知，则___________．13．（2022秋·江苏泰州·七年级校考期末）若，则的值为___________．14．（2021秋·江苏无锡·七年级无锡市东林中学校考期中）若与互为相反数，则___________．三、解答题15．（2023春·江苏泰州·七年级姜堰区实验初中校考阶段练习）记，，，……，（其中为正整数）(1)计算：；(2)求的值；(3)说明与互为相反数．16．（2022秋·江苏盐城·七年级校考期中）将，，0，，各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“<”号连接起来．17．（2022秋·江苏·七年级期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作a©，读作“a的圈c次方”．（1）【初步探究】直接写出计算结果：3③＝，（）⑤＝；（2）关于除方，下列说法错误的是；A．任何非零数的圈2次方都等于1；B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1；C.3④＝4③；D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．（3）【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？Ⅰ．试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④＝；5⑥＝；⑩＝；Ⅱ．想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于；Ⅲ．算一算：④⑤⑥＝．18．（2022秋·江苏泰州·七年级泰州市第二中学附属初中校考期中）我们把数轴上两点之间的距离用表示这两点的大写字母一起标记，比如，点A与点B之间的距离记作．如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，且a、b满足，将数轴沿点C折叠，点A和点B重合．(1)，，；(2)点P是数轴上之间的一个动点（不包括），点P表示数x．现将数轴沿点P折叠，数轴上与点A重合的点记为D．①若点P在之间，则，（用含x的代数式表示）；②随着点P的运动，都发生变化，问和是否存在一定的倍数关系？试写出说明过程．19．（2022秋·江苏南京·七年级统考期中）某公司培养绿藻细胞制作绿藻粉，该公司制作1克的绿藻粉需要60亿个绿藻细胞．(1)在光照充沛的环境下，1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，且分裂后的细胞继续分裂．现从1个绿藻细胞开始培养，经过15天后，共分裂成4k个绿藻细胞，求k的值．(2)已知210＝1024，请判断（1）问中的4k个绿藻细胞是否足够制作10克的绿藻粉，并说明理由．一．选择题1．下列各组数中，相等的是（）A．（﹣3）2与﹣32 B．|﹣3|2与﹣32 C．（﹣3）3与﹣33 D．|﹣3|3与﹣332．党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金169200000000元，将169200000000用科学记数法表示应为（）A．0.1692×1012 B．1.692×1011 C．1.692×1012 D．16.92×10103．在数学中为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如记＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，（x+k）＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知（[x（x+k）]＝9x2+mx，则m的值是（）A．45 B．63 C．54 D．不确定二．填空题4．2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一步．已知火星与地球的近距离约为5500万公里，数字55000000用科学记数法表示为．5．计算：﹣（﹣）3＝．6．计算：（﹣5）2＝．7．若有理数x，y满足x2＝64，|y|＝10，且|x﹣y|＝x﹣y，则x+y的值为．8．1根1米长的木棒，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，…，如此截下去，则第8次剩下的木棒的长为米．三．解答题9．（2020秋•滕州市期末）如果xn＝y，那么我们记为：（