数学达标训练：第一讲一平行线等分线段定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精更上一层楼基础·巩固1等腰梯形各边中点连线所围成的四边形是(）A。矩形B。菱形C。正方形D.等腰梯形思路解析：连结梯形各边中点，可得平行四边形,由于等腰梯形的对角线相等，所以平行四边形的邻边相等,由此可以断定此四边形必为菱形。答案：B2如图1—1—图1A。cmB.5cmC.cmD.3cm思路解析：根据AB∥CD∥EF和AO=OD=DF,有BO=OC=CE，所以BO=BE.答案：A3如图1-1—19，已知AD∥EF∥BC，E是AB的中点,则DG=_____，CH=__________。图1-1-19图1思路解析：利用AD∥EF∥BC和E是AB的中点，根据平行线等分线段定理,可得G、H、F分别是BD、AC、DC的中点，由此即得结论.答案：BGAHBEDF4如图1-1-20,在△ABC中，E是AB的中点，EF∥BD，EG∥AC交BD于G，CD=AD，若EG=5cm，则AC=______________；若BD=20cm图1思路解析：由E是AB的中点，EF∥BD，可得F是AD的中点,结合CD=AD，可以得到F、D是AC的三等分点,又由EG∥AC，可得EF等于BD的一半，FD=EG,由此可得两个结论。答案：15cm10cm5如图1-1-21,AB=AC,AD⊥BC于D，M是AD的中点，CM交AB于P,DN∥CP.若AB=6cm，则AP=______________;若PM=综合·应用思路解析：由AB=AC和AD⊥BC,结合等腰三角形的性质，有D是BC的中点;再由DN∥CP，可得N是BP的中点，P是AN的中点，由此，AP=AB，PM=PC.答案:2cm4cm6如图1-1图1思路分析:作OE⊥AB于E，可得一组平行线,利用O是CD的中点，得到E是AB的中点，结合线段垂直平分线的性质就有本题的结论。证明：作OE⊥AB于E。∵AC⊥AB，DB⊥AB，∴AC∥OE∥DB。∵O是DC中点，∴E是AB中点.∴OA=OB.7如图11—2—3，已知∠ACB=90°,AC=BC，CE=CF,EM⊥AF，CN⊥AF,求证:MN=NB.图1思路分析:由已知易得ME与NC平行,所以要说明MN=NB，只要点C是一条线段的中点即可，由此启发我们作辅助线CD.证明：延长ME交BC的延长线于D,由已知可得，Rt△EDC≌Rt△FAC。∴DC=CB.又∵EM⊥AF,CN⊥AF,∴DM∥CN。又C是BD的中点，∴N是MB的中点。∴MN=NB.8已知线段AB，求作AB的五等分点.图1思路分析：本题是平行线等分线段定理的实际应用.只要作射线AM,在AM上任意截取5条相等的线段，连结最后一等分的后端点A5与点B,再过其他分点作BA5的平行线，分别交AB于C、D、E、F，则AB就被这些平行线分成五等份了。作法：（1)如图,作射线AM；（2)在射线AM上截取AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A(3)连结A5B,分别过A1、A2、A3、A4作A5B的平行线A1C、A2D、A3E、A49梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC,∠B=60°，AB=BC,E为AB的中点,求证：△ECD为等边三角形。图1思路分析：一般在梯形中给出了一腰的中点，常添加的辅助线有：①过这一点作底边的平行线,由平行线等分线段定理推论得另一腰的中点;②可延长DE（或CE）与底边相交,构造全等三角形。证明：连结AC，过点E作EF∥AD交DC于F.∵梯形ABCD,∴AD∥BC。∴AD∥EF∥BC.又∵E是AB的中点，∴F是DC的中点。(经过梯形一腰的中点与底平行的直线平分另一腰)∵DC⊥BC,∴EF⊥DC.∴ED=EC(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。∴△EDC为等腰三角形.∵AB=BC,∠B=60°，∴△ABC是等边三角形.∴∠ACB=60°。又E是AB边的中点,∴CE平分∠ACB.∴∠1=∠2=30°.∴∠DEF=30°.∴∠DEC=60°。又ED=EC,∴△DEC为等边三角形。10已知直线l1∥l2∥l3，任作两直线m、n，分别交l1、l2、l3于点A、B、C、D、E、F,如图1-图1-1—26图1—1-27图1（1)分别量出线段AB、AC、DE、DF的长，观察结论，你有什么发现?（2)把直线n沿DA方向平移到A点，得到直线n′，分别与直线l2、l3交于E′、F′,如图1—（3)如图1-1—27，若继续把直线n平移使其经过B点，分别与直线l(4)利用你的发现，判断图1—思路分析：对于线段的关系，尤其是四条线段的关系，很有可能是成比例,但要通过验证才能确定.而两个三角形在大小不一的情况下,又有了成比例的线段，就可以联想到两个三角形相似.要判断最后一个图形中有几对相似三角形,就要设法把图形分离出（2）（3）中的基本图形.解：（1）通过测量可得AB=1.5cm,AC=4cm,DE=1.15cm,DF=3。1cm,观察且计算可发现=0。375,≈0.371，由于作图和测量都会有一定的误差，因此可以确定有。（2）△ABE′∽△ACF′,由于AF′是由DF平移而来的，由平移的特征可得AE′=DE,AF′=DF，所以仍然有,而通过测量同样可计算出的值也