2024-2025学年高中数学第二章变化率与导数2.1变化的快慢与变化率学案含解析北师大版选修2-2

PAGE§1变更的快慢与变更率授课提示：对应学生用书第13页[自主梳理]一、函数的平均变更率对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变更率为________．通常我们把自变量的变更x2－x1称作自变量的变更量，记作________，函数值的变更f(x2)－f(x1)称作函数值的变更量，记作________．这样，函数的平均变更率就可以表示为函数值的变更量与自变量的变更量之比，即____________．二、瞬时变更率对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变更率是eq\f(Δy,Δx)＝________＝__________.而当Δx趋于0时，平均变更率就趋于函数在x0点的瞬时变更率．瞬时变更率刻画的是函数______________．[双基自测]1．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0变到x0＋Δx时，函数的变更量Δy为()A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)2．一质点的运动方程为s＝2t2，则此质点在时间[1,1＋Δt]内的平均速度为()A．4＋Δt B．2＋(Δt)2C．4Δt＋1 D．4＋2Δt3．函数y＝f(x)＝3x2－2x－8在x1＝3处有增量Δx＝0.5，则f(x)从x1到x1＋Δx的平均变更率为________．[自主梳理]一、eq\f(fx2－fx1,x2－x1)ΔxΔyeq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)二、eq\f(fx1－fx0,x1－x0)eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)在一点处变更的快慢[双基自测]1．D2．Deq\f(Δs,Δt)＝eq\f(21＋Δt2－2,Δt)＝4＋2Δt.3．17.5Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝f(3＋Δx)－f(3)＝f(3.5)－f(3)＝8.75，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(8.75,0.5)＝17.5.授课提示：对应学生用书第13页探究一平均变更率问题[例1]求函数y＝2x2＋5在区间[2,2＋Δx]上的平均变更率；并计算当Δx＝eq\f(1,2)时，平均变更率的值．[解析]因为Δy＝2×(2＋Δx)2＋5－(2×22＋5)＝8Δx＋2(Δx)2，所以平均变更率为eq\f(Δy,Δx)＝8＋2Δx.当Δx＝eq\f(1,2)时，平均变更率的值为8＋2×eq\f(1,2)＝9.求函数平均变更率的三个步骤第一步，求自变量的增加Δx＝x2－x1；其次步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；第三步，求平均变更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).1．已知一次函数y＝kx＋b，求其在区间[m，n]上的平均变更率．解析：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fn－fm,n－m)＝eq\f(kn＋b－km－b,n－m)＝k，∴函数y＝kx＋b在区间[m，n]上的平均变更率为k.探究二求瞬时变更率[例2]质点M按规律s(t)＝2t2＋3t做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，求质点M在t＝2s时的瞬时速度．[解析]当t从2s变到(2＋Δt)s时，函数值从2×22＋3×2变到2(2＋Δt)2＋3(2＋Δt)，函数值s(t)关于t的平均变更率为eq\f(s2＋Δt－s2,Δt)＝eq\f(22＋Δt2＋32＋Δt－2×22＋3×2,Δt)＝2Δt＋11(cm/s)．当t趋于2s，即Δt趋于0s时，平均速度趋于11cm/s，所以质点M在t＝2s时的瞬时速度为11cm/s.1．Δt趋近于0，是指时间间隔Δt越来越小，能取随意小的时间间隔，但始终不能为零．2．Δt在变更中越趋近于0，Δy与Δx的比值趋近于一个确定的常数．2．求y＝eq\r(x)在x＝1处的瞬时变更率．解析：Δy＝eq\r(1＋Δx)－1，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1).当Δx无限趋近于0时，eq\f(Δy,Δx)无限趋近于eq\f(1,2)，故函数在x＝1处的瞬时变更率为eq\f(1,2).对两“变更率”理解错误而致误[例3]若一物体的运动方程如下(位移单位：m；时间单位：s)：s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t2＋2，t≥3，①,29＋3t－32，0≤t＜3.②))求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0.[解析](1)因为物体在t∈[3,5]内的时间变更量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]内的位移变更量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t∈[3,5]内的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(48,2)＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．因为物体在t＝0旁边的平均变更率为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s0＋Δt－s0,Δt)＝eq\f(29＋30＋Δt－32－29－30－32,Δt)＝3Δt－18，所以物体在t＝0时的瞬时速度为－18m/s.即物体的初速度v0为－18m/s.[错因与防范]解答(1)时易出现用t＝5与t＝3时的瞬时速