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PAGE古典概型(20分钟35分)1.下列试验中,是古典概型的为()A.种下一粒花生,视察它是否发芽B.向正方形ABCD内,随意投掷一点P,视察点P是否与正方形的中心O重合C.从1,2,3,4四个数中,任取两个数,求所取两数之一是2的概率D.在区间内任取一点,求此点小于2的概率【解析】选C.对于A,发芽与不发芽的概率一般不相等,不满意等可能性;对于B,正方形内点的个数有无限多个,不满意有限性;对于C,满意有限性和等可能性,是古典概型;对于D,区间内的点有无限多个,不满意有限性.2.一个家庭中有两个小孩,这两个小孩都为女孩的概率为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.两个小孩共有四种状况:(男,女),(女,男),(女,女),(男,男),基本领件总数为4,两个小孩都为女孩的概率为QUOTE.3.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.从四条长度各异的线段中任取一条,每条被取出的可能性均相等,所以该问题属于古典概型.又全部基本领件包括(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7)四种,而能构成三角形的基本领件只有(3,5,7)一种,所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P=QUOTE.4.设a是抛掷一枚骰子得到的点数,则方程x2+ax+2=0有两个不相等的实根的概率为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.基本领件总数为6,若方程有两个不相等的实根,则a2-8>0,满意上述条件的a为3,4,5,6,故概率为QUOTE=QUOTE.5.从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是______.
【解析】从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,共有(1,2),(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),共6种结果,所取两个数积为6的有(1,6),(2,3),共2种结果,故概率为QUOTE.答案:QUOTE6.一个口袋内装有大小相同的5个球,其中3个白球,2个黑球,从中一次摸出2个球.(1)共有多少个基本领件?(2)摸出的2个球都是白球的概率是多少?【解析】(1)分别记白球为1,2,3号,黑球为4,5号,从中摸出2个球,有如下基本领件(摸到1,2号球用(1,2)表示):(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).因此,共有10个基本领件.(2)上述10个基本领件发生的可能性相同,且只有3个基本领件是摸到两个白球(记为事务A),即(1,2),(1,3),(2,3),故P(A)=QUOTE.故摸出2个球都是白球的概率为QUOTE.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.随机掷两枚质地匀称的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1,点数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则 ()A.p1<p2<p3 B.p2<p1<p3C.p1<p3<p2 D.p3<p1<p2【解析】选C.列表得:(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)所以一共有36种等可能的结果,两个骰子点数之和不超过5的有10种状况,点数之和大于5的有26种状况,点数之和为偶数的有18种状况,所以向上的点数之和不超过5的概率p1=QUOTE=QUOTE,点数之和大于5的概率p2=QUOTE=QUOTE,点数之和为偶数的概率记为p3=QUOTE=QUOTE.2.甲、乙两枚质地匀称的骰子先后各抛一次,a,b分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出现的点数,当点P(a,b)落在直线x+y=m(m为常数)上的概率最大时,则m的值为()A.6 B.5 C.7 D.8【解析】选C.甲、乙两枚骰子先后各抛一次,a,b分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出现的点数,基本领件总数为n=6×6=36,当点P(a,b)落在直线x+y=m(m为常数)上,所以易求得m=2时,点P(a,b)落在直线x+y=m(m为常数)上的概率为QUOTE,m=3时,概率为QUOTE,m=4时,概率为QUOTE,m=5时,概率为QUOTE,m=6时,概率为QUOTE,m=7时,概率为QUOTE,m=8时,概率为QUOTE,m=9时,概率为QUOTE,m=10时,概率为QUOTE,m=11时,概率为QUOTE,m=12时,概率为QUOTE.所以当点P(a,b)落在直线x+y=m(m为常数)上的概率最大时,m的值为7.3.有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色调笔的概率为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.选取两支彩笔的方法有10种,含有红色调笔的选法有4种,由古典概型的概率公式知,满意题意的概率P=QUOTE=QUOTE.4.若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m,n作为点P的横、纵坐标,则点P落在圆x2+y2=9内的概率为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.掷骰子共有6×6=36(种)可能的状况,而落在x2+y2=9内的状况有:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),共4种,故所求概率P=QUOTE=QUOTE.5.一次掷两枚骰子,得到的点数为m和n,则关于x的方程x2+(m+n)x+4=0有实数根的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.基本领件共有36个.因为方程有实根,所以Δ=(m+n)2-16≥0.所以m+n≥4,其对立事务是m+n<4,其中有:(1,1),(1,2),(2,1),共3个基本领件.所以所求概率为1-QUOTE=QUOTE.二、填空题(每小题5分,共15分)6.从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率为______.
【解析】从2,3,8,9中任取2个不同的数字,分别记为(a,b),则有(2,3),(3,2),(2,8),(8,2),(2,9),(9,2),(3,8),(8,3),(3,9),(9,3),(8,9),(9,8),共有12种状况,其中符合logab为整数的有log39和log28两种状况,所以P=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.将一枚质地匀称的一元硬币抛3次,恰好出现一次正面的概率是______.
【解析】试验共有8个结果:(正,正,正),(反,正,正),(正,反,正),(正,正,反),(反,反,正),(反,正,反),(正,反,反),(反,反,反),其中恰好出现一次正面的结果有3个,故所求的概率是QUOTE.答案:QUOTE8.在1,2,3,4四个数中,可重复地选取两个数,其中一个数是另一个数的2倍的概率是______.
【解析】用列举法知,可重复地选取两个数共有16种可能,其中一个数是另一个数的2倍的有1,2;2,1;2,4;4,2共4种,故所求的概率为QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.做投掷2颗骰子的试验,用(x,y)表示结果,其中x表示第一颗骰子出现的点数,y表示第2颗骰子出现的点数,写出:(1)试验的基本领件;(2)事务“出现点数之和大于8”;(3)事务“出现点数相等”;(4)事务“出现点数之和等于7”.【解析】(1)这个试验的基本领件共有36个,列举如下:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本领件:(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).(3)“出现点数相等”包含以下6个基本领件:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6).(4)“出现点数之和等于7”包含以下6个基本领件:(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1).10.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参与活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.嘉奖规则如下:①若xy≤3,则嘉奖玩具一个;②若xy≥8,则嘉奖水杯一个;③其余状况嘉奖饮料一瓶.假设转盘质地匀称,四个区域划分匀称,小亮打算参与此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.【解析】(1)用数对(x,y)表示儿童参与活动先后记录的数,则基本领件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.因为S中元素的个数是16.所以基本领件总数n=16.记“xy≤3”为事务A,则事务A包含的基本领件共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),所以P(A)=QUOTE,即小亮获得玩具的概率为QUOTE.(2)记“xy≥8”为事务B,“3<xy<8”为事务C.则事务B包含的基本领件共6个.即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).所以P(B)=QUOTE=QUOTE.事务C包含的基本领件共5个,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).所以P(C)=QUOTE.因为QUOTE>QUOTE,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.1.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.个位数与十位数之和为奇数,则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数,所以可以分两类:(1)当个位为奇数时,有5×4=20(个)符合条件的两位数.(2)当个位为偶数时,有5×5=25(个)符合条件的两位数.因此共有20+25=45(个)符合条件的两位数,其中个位数为0的两位数有5个,所以所求概率为P=QUOTE=QUOTE.2.某欣赏鱼池塘中养殖大量的红鲫鱼与金鱼,为了估计池中两种鱼数量状况,养殖人员从池中捕出红鲫鱼和金鱼各1000条,并给每条鱼作上不影响其存活的记号,然后放回池内,经过一段时间后,再从池中随机捕出1000条鱼,分别记录下其中有记号的鱼数目,再放回池中,这样的记录作了10次,将记录数据制成如图所示的茎叶图.(1)依据茎叶图分别计算有记号的两种鱼的平均数,并估计池塘中两种鱼的数量.(2)随机从池塘中逐条有放回地捕出3条鱼,求恰好是1条金鱼2条红鲫鱼的概率.【解析】(1)由茎叶图可求得有记号的红鲫鱼数目的平均数为20(条);有记号的金鱼数目的平均数为20(条).由于有记号
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