数学高二-高二数学第一次月考模拟卷（范围：空间向量+直线方程）（原卷版）

2024-2025学年高二上学期数学第一次月考模拟卷考试范围：空间向量+直线方程试卷满分：150分考试用时：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知空间向量,若共面，则实数的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．32．已知两条直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（

）A．4 B． C． D．4．已知，，且，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．5．已知，两点到直线的距离相等，求a的值（

）A． B． C．或 D．或6．如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A到B走过的路程为（

）A． B． C． D．7．已知实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（

）A． B． C．2 D．4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列四个选项中，说法错误的是（

）A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B．直线与直线互相平行，则C．过两点的所有直线的方程为D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为.10．下列说法正确的是（

）A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为B．方程表示过点的所有直线C．当点到直线的距离最大时，的值为D．已知直线过定点且与以、为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是11．已知正方体的边长为2，E､F､G､H分别为､､､的中点，则下列结论正确的是（

）A． B．平面C．点到平面的距离为2 D．二面角的大小为三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为.

13．已知，，三点，则到直线的距离为.14．设A，B，C三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，已知平行六面体的底面是矩形，且，，，为与的交点，设，，.

(1)用，，表示，；(2)求异面直线与所成角的余弦值.16．如图，在正四棱柱中，，．点分别在棱上，，，．

(1)证明：；(2)求点到平面的距离；17．已知顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在的直线方程为.(1)求直线的方程；(2)求顶点的坐标与的面积.

18．如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，.

(1)求证：平面；(2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；(3)线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

19．已知两条直线，(1)若直线与两坐标轴分别交于两点，又过定点，当为何值时，有最小值，并求此时的方程；(2)若，设与两坐标轴围成一个四边形，求这个四边形面积的最大值；(3)设，直线与轴交于点，的交点为，如图现因三角形中的阴影部分受到损坏，经过点的任意一条直线MN将损坏的部分去掉，其中直线的斜率，求保留部分三角形面积的取值范围．2024-2025学年高二上学期数学第一次月考模拟卷考试范围：空间向量+直线方程试卷满分：150分考试用时：120分钟12345678DADACCBC91011ADACDBC121314一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知空间向量,若共面，则实数的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】利用三个向量共面，即可列出方程求出实数的值.【详解】因为共面，所以存在实数对,使得,即，所以解得故选：D．2．已知两条直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】当时，，则，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A3．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线间方程的特征，结合平行线间距离公式进行求解即可.【详解】因为和互相平行，所以，解得.直线可以转化为，由两条平行直线间的距离公式可得.故选：D4．已知，，且，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由求出，再利用空间向量的夹角公式求解即可【详解】设向量与的夹角为，因为，，且，所以，得，所以，所以，因为，所以，故选：A5．已知，两点到直线的距离相等，求a的值（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】利用点到直线距离公式列出关于的方程求解即可．【详解】因为点到直线的距离相等，所以，即，化简得，解得或.故选：C.6．如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A到B走过的路程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据点关于线对称求出C点标,结合反射光线的性质应用两点间距离公式求出距离的最小值即可.【详解】一束光线从出发，经直线反射,与交于点P,由题意可得，点关于直线的对称点在反射光线上，设,则,,故光线从A到B所经过的最短路程是.故选：C.7．已知实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用两点距离公式，转化问题式为动点到两定点距离之和的最小值，根据将军饮马模型计算即可.【详解】由，即转化问题为：直线上一动点到点的距离之和最小，

如图所示，设直线与轴分别交于点，则，由直线方程可得其倾斜角为，易知是等腰直角三角形，设关于直线的对称点为，连接，则三点共线，易知也是等腰直角三角形，所以，故，当且仅当重合时取得最小值.故选：B8．过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】由题意可知，先求出动直线经过定点，再结合垂直条件应用基本不等式求出面积的最大值.【详解】由题意可知，动直线经过定点，动直线即，经过点定点，过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直，P又是两条直线的交点，有，故,当且仅当时取等号，所以面积的最大值为故选:二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列四个选项中，说法错误的是（

）A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B．直线与直线互相平行，则C．过两点的所有直线的方程为D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为.【答案】AD【分析】根据直线的倾斜角与斜率判断A；根据两直线平行求出参数的值，即可判断B；根据两点式方程判断C；分截距都为与都不为两种情况讨论，即可判断D.【详解】对于A：坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，但是与轴平行（重合）的直线的倾斜角为，斜率不存在，故A错误；对于B：因为直线与直线互相平行，则，解得或，当时直线与直线重合，故舍去，当时直线与直线平行，符合题意，综上可得，故B正确；对于C：过两点的所有直线的方程为，故C正确；对于D：当截距都为时直线方程为，当截距都不为时，设直线方程为，则，解得，所以直线方程为，综上可得满足条件的直线方程为或，故D错误.故选：AD10．下列说法正确的是（

）A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为B．方程表示过点的所有直线C．当点到直线的距离最大时，的值为D．已知直线过定点且与以、为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是【答案】ACD【分析】根据直线的斜率与方向向量之间的关系可判断A选项；根据点斜式方程可判断B选项；求出直线所过定点的坐标，可知，当直线与垂直时，合乎题意，可求出的值，可判断C选项；作出图形，进而根据斜率与倾斜角的变化关系可判断D选项.【详解】对于A选项，若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为，A对；对于B选项，方程表示过点，且斜率为的直线，但不包括直线，B错；对于C选项，将直线方程变形为，由可的，所以，直线过定点，当直线与垂直时，点到直线的距离最大时，因为，则，C对；对于D选项，如图，，，所以由图可知，或，则斜率的取值范围是，D对.故选：ACD.11．已知正方体的边长为2，E､F､G､H分别为､､､的中点，则下列结论正确的是（

）A． B．平面C．点到平面的距离为2 D．二面角的大小为【答案】BC【分析】建立空间直角坐标系,运用空间向量的方法对线线垂直，线面平行，点面距离，二面角进行计算，对选项进行分析,由此确定正确答案【详解】解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，所以，所以，所以，故A选项错误；设平面的法向量为，则，令则，所以，所以，由于平面，所以平面，故B选项正确；，所以到平面的距离为故C选项正确；由正方体可得平面，所以平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，由图可知，为锐角，所以，故D选项错误三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为.

【答案】【分析】根据给定条件，可得，再求出相关向量的模长，然后结合空间向量数量积运算，即可得到结果.【详解】依题意，，得，由底面为矩形，，，得，显然，又，因此，所以.故答案为：13．已知，，三点，则到直线的距离为.【答案】【分析】根据条件，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】因为，，所以，得到，所以到直线的距离为，故答案为：.14．设A，B，C三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为．【答案】【分析】法一：可初步确定点所在的平面，作，在这个面的射影，，利用把空间向量问题转化为平面向量问题，结合向量数量积的性质和基本不等式求最小值.法二：建立空间直角坐标系，不妨假设A在平面中，设，，，和分别是点，在平面上的投影，利用向量不等式可得：，即可求解.【详解】法一：如图：

不防设点在正方体的下底面内，，在正方体的表面的任何位置，它们在下底面的射影分别为，.则，.所以，，.所以（当与方向相反时取“”）.又（当且仅当时取“”）.分析两个“”成立的条件，可知为中点时，有最小值.此时（当为下底面的面对角线时取“”）.所以，（当位于下底面中心，，在下底面的射影是下底面的面对角线端点时取“”）.法二：将正方体置于空间直角坐标系中，且A在平面中，点和点的连线是一条体对角线．

设，，，和分别是点，在平面上的投影．可得，，，则，因为，当且仅当点C为的中点时，等号成立，可得，所以，当，，且时等号成立．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，已知平行六面体的底面是矩形，且，，，为与的交点，设，，.

(1)用，，表示，；(2)求异面直线与所成角的余弦值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据平行六面体的性质，结合空间向量基本定理求解即可；（2）根据空间向量的夹角公式求解即可.【详解】（1）因为是平行六面体，所以，（2）因为，底面是矩形，所以，又因为，，所以，，因此，，若异面直线与所成角为，则，因此异面直线与所成角的余弦值为．16．如图，在正四棱柱中，，．点分别在棱上，，，．

(1)证明：；(2)求点到平面的距离；【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意，以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可证明；（2）根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）

以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，不在一条直线上，.（2）设平面的一个法向量为，，所以，设，则，所以，又因为，所以点到平面的距离.17．已知顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在的直线方程为.(1)求直线的方程；(2)求顶点的坐标与的面积.【答案】(1)(2)，20【分析】（1）由AC边上的高BH所在直线方程为可得直线BH的斜率为1，根据垂直时斜率乘积为-1可得直线AC的斜率为-1，且过即可得到AC边所在直线方程；（2）联立直线AC和直线CM，即可求出顶点C的坐标．求出AC的长和B到AC的距离，结合面积公式即得.【详解】（1）∵，，∴，∴方程为：，即.（2）联立解得，.设，则，∴，∴.∴，到直线距离为，而.∴的面积为.18．如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，.

(1)求证：平面；(2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；(3)线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，【分析】（1）由中位线和垂直关系得到，，从而得到线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值；（3）求出两平面的法向量，根据二面角的正弦值列出方程，求出，得到答案.【详解】（1）因为，分别为，的中点，所以.因为，所以，所以.又，，平面，所以平面.（2）因为，，，所以，，两两垂直.以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

依题意有A0,0,0，，，D0,1,0，，，则，，，.设平面的法向量，则有令，得，，所以是平面的一个法向量.因为，所以直