数学-2025届湖南省名校联考联合体高三上学期第二次联考数学试题（原卷版）

名校联考联合体2025届高三第二次联考数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若复数在复平面内对应的点的坐标为（）A. B.C. D.3.已知向量，满足，，则（）A.3 B. C.1 D.4.的展开式中的系数为（）A. B. C.40 D.805.函数在（）内没有最小值，且存在，使得，则的取值范围是（）A. B.C. D.6.若为锐角，且，则（）A. B. C. D.7.已知，则（）A. B.C. D.8.已知函数，若的图象上存在两点，，使得的图象在，处的切线互相垂直，且过点只能作1条切线与的图象相切，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP的结论正确的是（）A.超过的大学生更爱使用购物类APPB.超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要C.使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是D.APP使用目中6个占比数字的分位数是10.已知函数满足对任意，都有，且，则（）A. B.C. D.是偶函数11.已知数列满足对任意，，都有，且，（）的所有不同的值按照从小到大构成数列，则下列结论正确的是（）A B.C.中任意3项不成等差数列 D.的前15项的和为402三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.命题“，”的否定是__________.13.某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了个人，得到如下列联表：是社交电商用户不是社交电商用户合计男性女性合计已知，若根据的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则的最小值为__________.14.已知函数有3个极值点，，（），则取值范围是______；若存在，使得，则的取值范围是______.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的，，三点，其中，点为中点，兴趣小组组长小王在，，三点上方5m处的，，观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，其中，，，点为点在地面上的正投影，点为上与，，位于同一高度的点.（1）求建造中的建筑物已经到达的高度；（2）求的值.16.已知函数是定义域为的奇函数，且时，.（1）求时的解析式；（2）若方程有3个不同的实根，，，求的取值范围及的取值范围.17.已知等差数列的前项和为，.（1）求证：数列是等差数列；（2）若，，且是等差数列，求证：.18.已知，且，.（1）求的最小值；（2）求证：.（参考数据）19.若数列an（）满足，则称数列an为项数列，由所有项数列组成集合.（1）若an是100项数列，当且仅当（，）时，，求数列的所有项的和；（2）从集合中任意取出两个数列an，bn，记.①求分布列，并证明EX>k②若用某软件产生项数列，记事件“第一次产生数字1”，“第二次产生数字1”，若，比较与的大小.名校联考联合体2025届高三第二次联考数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件得到，再利用集合的运算，即可求出结果.【详解】由，得到，所以，又，所以，故选：C.2.若复数在复平面内对应的点的坐标为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件，利用复数的运算法则，得到，再利用复数的几何意义，即可求出结果.【详解】因为，其对应的坐标为，故选：C.3.已知向量，满足，，则（）A.3 B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】由已知得，，进而两式作差并整理即可得答案.【详解】因为向量，满足，，所以，，即，①，②所以，得：，即，所以.故选：D4.的展开式中的系数为（）A. B. C.40 D.80【答案】D【解析】【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解.【详解】展开式中含的项为，所以的系数为，故选：D5.函数在（）内没有最小值，且存在，使得，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通过取特殊值排除验证即可.【详解】当时，此时，，，不满足存在，使得，故排除A,D当时，此时，，，，，，此时不满足题意，故排除C综上所述B正确故选：B6.若为锐角，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据化简，可求，进而求出.【详解】因为，所以，所以，因为为锐角，故.故选：B7.已知，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据对数的定义域及单调性得出参数范围即可.【详解】因为对数的定义域，得或，又因为4a2+1−4a=因为，所以可得,因为，可得,所以.故选：B.8.已知函数，若的图象上存在两点，，使得的图象在，处的切线互相垂直，且过点只能作1条切线与的图象相切，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题设得到，设过点的直线与相切于点，利用导数的几何意义及过两点直线的斜率得到，构造函数，利用导数与函数的单调性间的关系，求出单调区间，再结合的图象与题设条件，即可求出结果.【详解】设，，因为，所以，由题有有解，又，所以，即，设过点的直线与相切于点，则有，整理得到，令，则，由，得到或，由，得到，即的单调递增区间为，1,+∞，递减区间为0,1，又当时，，当时，，当时，，当时，，的图象如图，又过点只能作1条切线与的图象相切，所以或，又，所以或，故选：C.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于，通过设过点的直线与相切于点，根据题设得到，从而将问题转化成只有一解，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，进而得出函数图象，数形结合，即可解决问题.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP的结论正确的是（）A.超过大学生更爱使用购物类APPB.超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要C.使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是D.APP使用目的中6个占比数字的分位数是【答案】AC【解析】【分析】选项A和B，根据图表中数据，即可判断出正误；选项C，根据图表中数据，利用极差的定义，即可求解；选项D，将占比数字从小到大排列，再利用百分位数的求法，即可求解.【详解】对于选项A，根据图表知，大学生使用购物类APP占比为，所以选项A正确，对于选项B，根据图表知，大学生使用APP是为了学习与生活需要的占比为，所以选项B错误，对于选项C，根据图表知，使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是，所以选项C正确，对于选项D，根据图表知，APP使用目的中6个占比数字从小排到大分别为，又，所以分位数是，故选项D错误.故选：AC.10.已知函数满足对任意，都有，且，则（）A. B.C. D.是偶函数【答案】AD【解析】【分析】选项A，根据条件，令，即可求得，即可判断选项A的正误；选项B，令，可求得，即可判断选项B的正误；选项C，利用选项A的结果，从而可得，即可求解；选项D，用代替，得到与相减，可得，即可求解.【详解】对于选项A，令，得到，所以选项A正确，对于选项B，令，得到，由（1）知，所以，故选项B错误，对于选项C，由选项A知，而，所以选项C错误，对于选项D，用代替，得到，即①，又②，由①②得到，，得到，又的定义域为，关于原点对称，所以是偶函数，即选项D正确，故选：AD.11.已知数列满足对任意，，都有，且，（）的所有不同的值按照从小到大构成数列，则下列结论正确的是（）A. B.C.中任意3项不成等差数列 D.的前15项的和为402【答案】ACD【解析】【分析】令，，据题意，可知是首项为2，公比为2的等比数列，对于A，代入通项公式即可；对于BD，列举数列的前几项即可验证；对于C，假设成等差数列，由通项公式可得，方程两边同时除以，得，偶数=奇数，出现矛盾，即可判断.【详解】由题意，因为对任意，，都有，令，，则，因为，所以，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，对于A，，，故，A正确；对于B，由题意，数列的前5项为：2，4，6，8，12，所以，B错误；对于C，假设成等差数列，不妨设，因为，所以，即，方程两边同时除以，得，由于方程左边为偶数，右边为奇数，故上式不成立，故C正确；对于D，由题意，数列的前15项为：2，4，6，8，12，14，16，24，28，30，32，48，56，60，62，所以的前15项的和为：，故D正确；故选：ACD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.命题“，”的否定是__________.【答案】，.【解析】【分析】根据全称命题的否定的结构形式可得其否定.【详解】由“，”可得其否定为：，.故答案为：，.13.某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了个人，得到如下列联表：是社交电商用户不社交电商用户合计男性女性合计已知，若根据的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则的最小值为__________.【答案】3【解析】【分析】先根据已知计算，再根据独立性检验的性质列不等式计算即可.【详解】，所以根据的独立性检验认为是不是社交电商用户与性别有关，则的最小值为3.故答案为：3.14.已知函数有3个极值点，，（），则的取值范围是______；若存在，使得，则的取值范围是______.【答案】①.②.【解析】【分析】根据题意，分和求导，进而构造函数，将问题转化为函数与有三个交点，进而数形结合即可求得的取值范围；再结合以上讨论即可得到，的取值范围即为的取值范围，进而令，并根据极值点问题转化得，再结合导数求的取值范围.【详解】因为函数，所以，当时，，，令得，所以，当时，，，令得所以，令，则所以，当时，时，，时，，所以，函数在和上单调递增，在上单调递减；因为函数有3个极值点，，（），所以，函数与有三个交点，因为，当时gx>0，当时gx>0，作出函数与图象如图，由图可知，函数与有三个交点，则满足且，所以，当存在，使得，只需满足，所以，的取值范围即为的取值范围.令，则，因为，为函数的极值点，所以，，即，，所以，，所以，即，所以，，故令，所以，，令，则，所以，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，，即，所以，，即函数在时单调递减，所以，，即的取值范围为.故答案为：；【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于分类讨论，将问题转化为函数与有三个交点，进而结合导数研究函数的单调性，极值，数形结合求解问题.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的，，三点，其中，点为中点，兴趣小组组长小王在，，三点上方5m处的，，观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，其中，，，点为点在地面上的正投影，点为上与，，位于同一高度的点.（1）求建造中的建筑物已经到达的高度；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，根据条件得到，在和，利用余弦定理得到，即可求解；（2）利用正弦定理得到，由（1）知，即可求解.【小问1详解】如图，设，因为在，，处观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，且，，，所以，又，是的中点，在中，由余弦定理得到，在中，由余弦定理得到，又，所以，整理得到，解得，所以.【小问2详解】在中，由正弦定理知①，在中，由正弦定理知②，由（1）知，由②①得到.16.已知函数是定义域为的奇函数，且时，.（1）求时的解析式；（2）若方程有3个不同的实根，，，求的取值范围及的取值范围.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）当时，，根据条件，代入，再利用，即可求出结果；（2）利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而得出图象，结合图象，即可求出的取值范围；再分，和三种情况讨论，通过换元和函数的对称性，将问题转化成和的根来求解，即可求解.【小问1详解】当时，，所以，又，所以，得到，即时的解析式为.【小问2详解】由（1）知，，当时，，所以，当时，，当时，，即在区间0,1上单调递增，在区间1,+∞上单调递减，当时，，所以，当时，，当时，，即区间上单调递增，在区间上单调递减，又，，当时，，时，，其图象如图，又方程有3个不同的实根，由图知.不妨设，当时，则有，又当时，，令，得到，其图象如图，此时，其中是的两根，则，又由对称性知，是的根，所以是的根，如下取端点，取，得到，解得或（舍），取，得到，解得或，则，，当，易得，所以，当时，因为是定义域为R的奇函数，由对称性可知，，综上所述，.17.已知等差数列的前项和为，.（1）求证：数列是等差数列；（2）若，，且是等差数列，求证：.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先设等差数列的公差，应用递推公式结合等差数列的定义证明即可；（2）根据是等差数列得出，再应用裂项相消法求和即可证明.【小问1详解】设等差数列的公差为,则,则,所以,故为定值，所以是等差数列.【小问2详解】因为是等差数列，所以为定值，所以,即得或,又因为，所以,所以，结合知，.18.已知，且，.（1）求的最小值；（2）求证：.（参考数据）【答案】（1）（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）由于在上单调递增，由得，可确定的单调性，进而求出最值；（2）由（1）知，要证，即证，设，利用导数判断的单调性，命题即可证.【小问1详解】因为，定义域为，所以，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，由得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以当时，取到最小值.【小问2详解】由（1）知的最小值，所以