数理经济学第5章课后题答案

...wd......wd......wd...第五章习题答案1．求下面等式约束最优化问题可能的极值点，要求写出一阶必要条件并求解由一阶必要条件构成的方程组。〔1〕，〔2〕〔3〕解：〔1〕首先写出拉格朗日函数：将对，和分别求偏导数可得：解得，，此时。则点为目标函数的驻点，且在该点处约束条件满足约束规格。〔2〕首先写出拉格朗日函数：将对，和分别求偏导数可得：解得，，此时；或者，，此时；或者，，此时；或者，，此时。则点、、和为目标函数的驻点，且在这些点处约束条件满足约束规格。〔3〕首先写出拉格朗日函数：将对，，和分别求偏导数可得：解得，此时；或者，，此时。则点和点为目标函数的驻点，且在这两点处约束条件满足约束规格。2．利用等式约束极值问题的二阶充分条件判断习题1中求得的点是否为极大值点或极小值点。解：〔1〕对，求偏导数可得，，加边元素，。所以，海赛加边行列式为：所以，由定理5.2得，在处函数取得极大值。〔2〕对，求偏导数可得，，加边元素，。所以，海赛加边行列式为：当，时，所以，由定理5.2得，在处函数取得极大值。当，时，所以，由定理5.2得，在处函数取得极小值。当，时，所以，由定理5.2得，在处函数取得极大值。当，时，所以，由定理5.2得，在处函数取得极小值。〔3〕对，求偏导数可得，，加边元素，，，。所以，海赛加边行列式为：当时，当，时，所以，由定理5.2得，在或者处函数取得极大值。3．求函数在约束和下的可能的极值点。解：首先写出拉格朗日函数：将对，，和分别求偏导数可得：解得该方程无实解，存在虚数解：，，此时。4．利用海赛加边行列式确定下面每一小题的值是极大值还是极小值。〔1〕满足约束；〔2〕满足约束；〔3〕满足约束；〔4〕满足约束。解：〔1〕首先写出拉格朗日函数：将对，和分别求偏导数可得：解得，对，求偏导数可得，，加边元素，。所以，海赛加边行列式为：所以，由定理5.2得，为目标函数的极大值。〔2〕首先写出拉格朗日函数：将对，和分别求偏导数可得：解得，对，求偏导数可得，，加边元素。所以，海赛加边行列式为：所以，由定理5.2得，为目标函数的极大值。〔3〕首先写出拉格朗日函数：将对，和分别求偏导数可得：解得，对，求偏导数可得，，加边元素。所以，海赛加边行列式为：所以，由定理5.2得，为目标函数的极小值。〔4〕首先写出拉格朗日函数：将对，和分别求偏导数可得：解得，对，求偏导数可得，，加边元素。所以，海赛加边行列式为：所以，由定理5.2得，为目标函数的极小值。5．求原点到椭圆的最大和最小距离〔提示：目标函数取为可简化运算。解：由题意知，解决如下最优化问题，首先写出拉格朗日函数：将对，和分别求偏导数可得：解得或者，则为最小距离，为最大距离。6．绘出有如下特征的曲线〔1〕拟凹的，〔2〕拟凸的，〔3〕既拟凹又拟凸的解：〔1〕拟凹〔2〕拟凸0zx0zx(3)既拟凹又拟凸7．运用海赛加边行列式检验以下函数的拟凹性和拟凸性：〔1〕〔2〕解：〔1〕，，所以，由定理5.7得，该函数为拟凹函数。〔2〕，，所以，由定理5.7得，该函数为拟凹函数。8．判断以下命题的正误，并给予说明。〔1〕设是单变量递增函数，则为拟凹函数。〔2〕设是单变量递减函数，则为拟凹函数。〔3〕设是单变量函数，存在一个实数使得在区间上递减，在区间上递增时，为拟凹函数。解：〔1〕命题正确，对于一元递增函数定义域〔凸集〕中任意点，有，则：对任意，有；则为拟凹的。〔2〕命题错误，对于一元递减函数定义域〔凸集〕中任意点，有，则：对任意，有；则为拟凸的。〔3〕命题错误，用反证法证明，假设命题成立，则在区间上与该题〔2〕一样，则该函数为拟凸函数，与命题结论矛盾，故命题错误。9．极大化问题的均衡解为。试估计以下目标函数的最优值，并说明理由。〔1〕，〔2〕〔3〕解：根据〔1〕、〔2〕、〔3〕小问中目标函数与约束条件变动项构造拉格朗日函数：，将代入极大化问题，在约束条件下目标函数的极大值点为，乘子为。从而有。根据包络定理，，则，，〔1〕当等式约束改为时，目标函数最优值改变分量为：极大化问题的目标函数最优值分别是。〔2〕当目标函数改为，等式约束改为时，目标函数最优值改变分量为：极大化问题的目标函数最优值是。〔3〕当目标函数改为，等式约束改为时，目标函数最优值改变分量为：极大化问题的目标函数最优值是。10．一个消费者具有效用函数：，其中和是两种商品的数量，它们的价格分别是和。消费者的预算约束是，因此消费者的拉格朗日函数是〔1〕从一阶条件中找出需求函数的表达式。说明商品是哪种商品尤其当的时候，会出现哪种情况〔2〕通过检查二阶充分条件来证明这是一个极大值。把和代入到效用函数中，找出间接效用函数的表达式：，并推导出支出函数的表达式：。〔3〕求出这个最小化问题的和的解，并证明和的解值等于支出函数的偏导数和。解：〔1〕根据拉格朗日函数得出一阶必要条件为：求解得出其中，是消费者的马歇尔需求函数。由，可知，商品的价格增加，数量减少；货币收入增加，数量增加，因此为正常商品。当时，。〔2〕，，加边元素。所以，海赛加边行列式为：因此，由定理5.2最优值为极大值。把和代入目标函数中，得出间接效用函数为：支出函数表达式为：〔3〕构造拉格朗日函数：一阶必要条件为求解这个方程组的和，得到均衡解为其中是消费者的希克斯需求函数。检验二阶充分条件：因此均衡解是模型的极小值点。把代入初始目标函数，得到支出函数为由于证毕。11．给定及，，，〔1〕写出该问题的拉格朗日函数；〔2〕求出最优消费束；〔3〕在最优消费束处满足极大值的二阶充分条件吗〔4〕问题〔2〕的答案给出对比静态信息了吗解：〔1〕〔2〕解得：〔3〕，，加边元素。所以，海赛加边行列式为：因此，由定理5.2最优值满足极大值的二阶充分条件。12.假设，但不为价格和收入参数设定具体数值。〔1〕写出拉格朗日函数；〔2〕求，及〔以参数，和表示〕；〔3〕检验极大值点处的二阶充分条件。〔4〕令，及，检验你对习题8答复的正确性。解：设的价格为,的价格为,收入为,则有：一阶条件为,解得均衡解为,则均衡解为极大值正确13．习题10的解〔和〕能够产生对比静态信息吗求出所有对比静态导数，确定其符号，并解释其经济意义。参见习题10。14．给定消费者消费商品和的效用函数，和为商品和的消费量，和是商品和的价格，消费者的收入为。〔1〕求消费者的效用极大值和相应两种商品的最优消费量。〔2〕收入增加一个单位时，对消费者的的极大效用有何影响〔3〕求出对比静态函数，判断其符号，解释其经济学意义。解：极大化问题为：,一阶条件为,均衡解为,二阶条件为,均衡解为极大值,表示收入每增加一单位,大小用增加个单位,,,,15．考虑极大化问题利用包络定理解决以下问题：〔1〕求目标函数的最优值在处分别关于和的偏导数。〔2〕据〔1〕，估计当、由16变为16.03时，目标函数的最优值的改变量为多少估计新问题目标函数的最优值〔3〕据〔1〕，估计当、由4变为3.98时，目标函数的最优值的改变量为多少估计新问题目标函数的最优值〔4〕据〔1〕，估计由16变为16.03、由4变为3.98时，目标函数的最优值的改变量为多少估计新问题目标函数的最优值解：(1)极大化问题为,拉格朗日函数为：,,均衡解为,则,则,则,则16．设，效用函数，预算约束条件为。试求需求函数及间接效用函数。解：极大化问题为,,则需求函数为,则间接效用函数为17．〔1〕商品和的边际效用递减假设意味着无差异曲线严格凸吗〔2〕无差异曲线的严格凸性意味着商品和的边际效用递减吗解：〔1〕否，当效用函数为严格拟凹时，无差异曲线凸向远点，与边际效用递减无关。〔2〕否，边际替代率递减。18．有一个消费者，某商品价格上涨1000元时，其间接效用减少60个单位；而货币收入增加1000元时，其间接效用增加5个单位，问这个消费者对该商品的消费量是多少解：由解得故消费量为12个单位。19．假设消费者消费两种商品和，价格分别为，效用函数为：，消费者的收入为。〔1〕求消费者的马歇尔需求函数和,并验证它是零次齐次函数；〔2〕求间接效用函数；〔3〕求货币的边际效用。解：极大化问题为,均衡解为间接效用函数为20．给定两种投入要素的生产函数为，这里和分别是两种要素的投入量。假设两种要素投入价格分别为，每月费用支出不超过1000。为使每月的产出极大化，应若何安排每月的两种投入量〔要求验证二阶充分条件〕。解：极大化问题为,均衡解为验证二阶条件,则均衡解为极大值21．给定两种