专题10商的变化规律（解析）2

20222023学年小学四年级思维拓展举一反三精编讲义专题10商的变化规律典例分析典例分析【典例分析01】两数相减，被减数减少8，要使差减少12，减数应有什么变化？分析与解答：被减数减少8，假如减数不变，差也减少8；现在要使差减少12，减数应增加12－8=4。【典例分析02】两个数相除，商是8，余数是20，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？余数是多少？分析与解答：两数相除，被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变，余数扩大相同的倍数。所以商是8，余数是20×10=200。【典例分析03】两数相乘，积是48。如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少？分析与解答：一个因数扩大2倍，积扩大2倍；另一个因数缩小3倍，积缩小3倍。所以最后的积是48×2÷3=32。【典例分析04】小华在计算两个数相加时，把一个加数个位上的1错误地写成7，把另一个加数十位上的3错误地写成8，所得的和是1996。原来两个数相加的正确答案是多少？分析与解答：根据题意，一个加数个位上的1被写成了7，这样错写一个加数比原来增加了6；另一个加数十位上的3写成8，增加了50。这样，所得的结果就比原来增加了6+50=56。所以，原来两数相加的正确答案是：1996－（6＋56）=1940。【典例分析01】王霞在计算题时，由于粗心大意，把被减数个位上的3错写成5，把十位上的6错写成0，这样算得差是189。正确的差是多少？分析与解答：根据题意，被减数个位上的3写成5，因此增加了2；十位上的6写成0，因此减少60。这样错写的被减数比原来减少了60－2=58。因为减数不变，根据差的变化规律，正确的差要比错误的差多50。正确的差是：189＋58=247。真题百分练真题百分练一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•沈丘县期末）123除以5的商是24，余数是3，当除数、被除数同时乘7时，余数（）A．不变 B．除以7 C．乘7【思路引导】根据商不变的性质“被除数和除数同时乘或除以一个数（0除外），商不变”，所以，123除以5的商是24，余数是3，当除数、被除数同时乘7时，商仍然是24；但是余数变了，余数与被除数和除数一样，也乘7，据此解题即可。【规范解答】解：3×7＝21所以，123除以5的商是24，余数是3，当除数、被除数同时乘7时，余数也乘7，余数21。故选：C。【考点评析】此题考查商不变的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大相同的倍数（0除外）或缩小为原来的几分之一，商不变，要注意：余数与被除数和除数一样，也扩大相同的倍数或缩小为原来的几分之一。2．（2分）（2022秋•大城县期末）如果38÷16＝0.38÷a，那么a＝（）A．16 B．0.16 C．1.6【思路引导】在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。【规范解答】解：如果38÷16＝0.38÷a，那么a＝0.16。故选：B。【考点评析】解答此题应明确：只有被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商才不变。3．（2分）（2022秋•镇原县期末）560÷80＝7，560扩大到原来的10倍，80缩小到原来的，商是（）A．扩大100倍 B．缩小100倍 C．不变【思路引导】在除法算式中，除数不变，被除数乘几，商也乘几；被除数不变，除数除以几，商反而乘几；据此解答即可。【规范解答】解：560÷80＝7，560扩大到原来的10倍，即被除数乘10，80缩小为原来的，即除数除以10，则商扩大到原来的10×10＝100倍。故选：A。【考点评析】此题考查了商的变化规律的灵活运用。4．（2分）（2022秋•龙海市期末）已知a÷b＝5……2，那么（a×100）÷（b×100）＝（）A．5……2 B．5……200 C．500……2 D．500……200【思路引导】在有余数的除法里，被除数和除数都乘相同的数或都除以相同的数（0除外），商不变，但余数也随着乘或除以相同的数。据此解答即可。【规范解答】解：已知a÷b＝5……2，那么（a×100）÷（b×100）＝5……200。故选：B。【考点评析】关键是理解商不变的性质：被除数和除数都乘相同的数或都除以相同的数（0除外），商不变，但余数也随着乘或除以相同的数。5．（2分）（2022秋•博罗县期末）在有余数的除法算式里，被除数和除数同时乘100，商不变，余数应（）A．不变 B．除以100 C．乘100【思路引导】商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，但是余数改变了，余数也同时乘或除以这个相同的数。【规范解答】解：在有余数的除法算式里，被除数和除数同时乘100，商不变，余数应乘100。故选：C。【考点评析】熟练掌握商的变化规律是解答此题的关键。6．（2分）（2022秋•彭州市期末）根据90÷18＝5，判断下列运算错误的是（）A．（90×9）÷（18×9）＝5 B．（90÷2）÷（18×2）＝5 C．（90÷6）÷（18÷6）＝5【思路引导】被除数和除数同时乘（或除以）同一个数（0除外），商不变；被除数除以一个数（0除外），除数乘一个数，商除以这两个数的积。【规范解答】解：选项A被除数和除数都乘9，商不变，计算正确；选项B被除数除以2，除数乘2，商就是5÷（2×2），运算错误。故选：B。【考点评析】熟悉商的变化规律是解决本题的关键。二．填空题（共8小题，满分21分）7．（4分）（2022秋•雅安期末）找规律，填空。（1）420÷60＝210÷30。（2）已知1×1＝1，11×11＝121，111×111＝12321，那么，1111×1111＝1234321。（3）已知A÷B＝200，如果A和B同时除以10，则商是200；如果A不变，B扩大到原来的10倍，则商是20。【思路引导】（1）在商不为0的除法算式里，被除数和除数同时除以一个不为0的数，商的大小不变。（2）两个因数都是由数字1组成，并且因数的位数都相同，每个因数中有几个1，则积的最中间的数就是几，然后将最中间的数分别向左、右两边依次减1，一直到积的最高位和最低位上的数都是1为止，依此解答。（3）在商不为0的除法算式里，被除数和除数同时除以一个不为0的数，商的大小不变；当被除数一定时，除数乘10，则商就除以10，依此填空。【规范解答】解：（1）420÷60＝（420÷2）÷（60÷2）＝210÷30；（2）根据分析可知，1111×1111＝1234321；（3）已知A÷B＝200，如果A和B同时除以10，则商是200；200÷10＝20，如果A不变，B扩大到原来的10倍，则商是20。故答案为：30；1234321；200，20。【考点评析】解答此题的关键是要熟练掌握商的变化规律，以及算式的规律。8．（2分）（2022秋•方城县期末）要使商不变，被除数乘5时，除数应乘5；要使商不变，除数除以8时，被除数应除以8。【思路引导】被除数和除数同时乘或除以相同的不为0的数，商不变；据此解答即可。【规范解答】解：根据分析可知：要使商不变，被除数乘5时，除数应乘5；要使商不变，除数除以8时，被除数应除以8。故答案为：乘5，除以8。【考点评析】正确理解商不变的规律，是解答此题的关键。9．（2分）（2022秋•上杭县期末）★÷△＝40，则（★×3）÷（△×3）＝40，（★÷4）÷△＝10。【思路引导】商的变化规律：除数不变，被除数扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一，商就扩大到相同的倍数或缩小到原来的几分之一（0除外）；被除数不变，除数乘几则商除以几，除数除以几商就乘几。【规范解答】解：★÷△＝40，则（★×3）÷（△×3）＝40，（★÷4）÷△＝10。故答案为：40，10。【考点评析】此题考查了商的变化规律的灵活应用。10．（3分）（2022秋•天元区期末）两数相除的商是30，被除数和除数同时乘3，商是30；被除数乘3，除数不变，商是90；被除数不变，除数乘3，商是10。【思路引导】在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；除数不变，被除数乘或除以几（0除外），商也乘或除以几；被除数不变，除数乘或除以几（0除外），商就除以或乘几，据此解答。【规范解答】解：两数相除的商是30，被除数和除数同时乘3，商是30；被除数乘3，除数不变，商是90；被除数不变，除数乘3，商是10。故答案为：30，90，10。【考点评析】熟练掌握商的变化规律是解答本题的关键。11．（3分）（2022秋•千山区期末）根据商的变化规律，直接由64÷4＝16，写出下面算式的得数。640÷40＝16192÷4＝48192÷12＝16【思路引导】商的变化规律：除数不变，被除数扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一，商就扩大到相同的倍数或缩小到原来的几分之一（0除外）；被除数不变，除数乘几则商除以几，除数除以几商就乘几。【规范解答】解：640÷40＝16192÷4＝48192÷12＝16故答案为：16，48，16。【考点评析】此题考查了商的变化规律的灵活应用。12．（2分）（2022秋•曾都区期末）一个乘法算式的积是50，如果一个因数不变，另一个因数乘13，则积是650；两个数相除的商是16，如果被除数和除数同时乘4，则商是16。【思路引导】在乘法算式里，两个因数都不为0时，一个因数不变，另一个因数乘几，积就乘几；在商不为0的除法算式里，被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商的大小不变；依此解答。【规范解答】解：50×13＝650，即一个乘法算式的积是50，如果一个因数不变，另一个因数乘13，则积是650。两个数相除的商是16，如果被除数和除数同时乘4，则商是16。故答案为：650，16。【考点评析】熟练掌握积和商的变化规律是解答此题的关键。13．（3分）（2022秋•文县期末）A÷B＝30，如果A乘3，B不变，那么商是90；如果B乘3，A不变，那么商是10；如果A和B同时都乘3，那么商是30。【思路引导】除数不变，被除数乘几或除以几（0除外），商就乘几或除以几；被除数不变，除数乘几或除以几（0除外），商就除以几或乘几；被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。【规范解答】解：A÷B＝30，如果A乘3，B不变，那么商是30×3＝90；如果B乘3，A不变，那么商是30÷3＝10；如果A和B同时都乘3，那么商是30。故答案为：90；10；30。【考点评析】熟练掌握商的变化规律和商不变的规律是解题的关键。14．（2分）（2022秋•宽城县期末）A÷B＝15……4，那么（A×10）÷（B×10）＝15……40。【思路引导】被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，余数也同时乘或除以一个相同的数（0除外）。据此解答即可。【规范解答】解：因为A÷B＝15……4所以（A×10）÷（B×10）＝15……40故答案为：15；40。【考点评析】熟练掌握商不变的规律是解题的关键，注意：被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，余数也同时乘或除以一个相同的数（0除外）。三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分）15．（2分）（2022秋•曾都区期末）280÷80＝28÷8＝3……4。×（判断对错）【思路引导】三位数除以两位数，先用被除数的前两位的数去除，如果前两位的数大于除数，商就在十位，如果小于，商就在个位，每次所得的余数一定要比除数小；两位数除以一位数，先用被除数的十位上的数去除，如果十位上的数大于除数，商就在十位，如果小于除数，商就在个位，每次所得的余数一定要比除数小，分别计算出它们的结果，然后比较作出判断，据此解答。【规范解答】解：280÷80＝3……4028÷8＝3……4280÷80和28÷8，它们的商相同，但是余数不相同，所以计算结果是不一样的；原题计算错误。故答案为：×。【考点评析】本题考查三位数除以两位数和两位数除以一位数的计算，熟练掌握并正确计算。16．（2分）（2022秋•兖州区期末）因为78÷6＝13，所以7800÷600＝13。√（判断对错）【思路引导】商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以同一个数（0除外），商不变。【规范解答】解：因为78÷6＝13，当被除数78、除数6同时乘100时，商不变，所以7800÷600＝13；原题说法正确。故答案为：√。【考点评析】熟练掌握商的变化规律是解答此题的关键。17．（2分）（2022秋•临洮县期末）被除数和除数同时乘或除以一个不为零的数，商不变。√（判断对错）【思路引导】在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。【规范解答】解：被除数和除数同时乘或除以一个不为零的数，商不变。故原题说法正确。故答案为：√。【考点评析】解答此题应明确：只有被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商才不变。18．（2分）（2022秋•成县期末）一个非零的数除以3，除数不变，如果被除数减少3，商就会减少。√（判断对错）【思路引导】被除数减小，除数不变，商就减小。【规范解答】解：一个非零的数除以3，除数不变，如果被除数减少3，商就会减少。正确。故答案为：√。【考点评析】熟悉商的变化规律是解决本题的关键。19．（2分）（2022秋•怀宁县期末）45÷5和4500÷50的商相等。×（判断对错）【思路引导】在除法算式里，被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商的大小不变。【规范解答】解：45÷5中，被除数45乘100得4500，要使商不变，除数5也要乘100得500，所以45÷5和4500÷50的商相等说法是错误的。故答案为：×。【考点评析】此题需要学生熟练掌握商的变化规律并灵活运用。四．计算题（共4小题，满分20分）20．（4分）（2021秋•忠县期末）根据每组第1个算式的得数，直接写出后面两个算式的商或积。（1）54÷3＝18（2）15×27＝405540÷30＝18150×27＝40505400÷300＝1815×270＝4050【思路引导】积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以几（0除外）；如果两个因数都乘同一个数（0除外），积就乘两次这个数；两个因数都除以几（0除外），积就除以两次这个数。商的变化规律：除数不变，被除数扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一，商就扩大到相同的倍数或缩小到原来的几分之一（0除外）；被除数不变，除数扩大则商反而缩小，除数缩小商就扩大。【规范解答】解：（1）54÷3＝18（2）15×27＝405540÷30＝18150×27＝40505400÷300＝1815×270＝4050故答案为：18，18，4050，4050。【考点评析】此题主要考查的是积和商的变化规律的灵活应用。21．（4分）（2022秋•萧山区期末）根据条件，写出下面两题的商或积。111111÷3＝37037555555÷15＝37037666666÷18＝3703728×42＝1176（28×4）×（42÷4）＝1176（28÷3）×42＝392【思路引导】被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变；如果一个因数乘几，另一个因数除以相同的数（0除外），那么积不变；一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘或除以几。据此填空即可。【规范解答】解：111111÷3＝37037555555÷15＝37037666666÷18＝3703728×42＝1176（28×4）×（42÷4）＝1176（28÷3）×42＝392故答案为：37037；37037；1176；392。【考点评析】熟练掌握商不变的规律和积的变化规律是解题的关键。22．（4分）（2021秋•通辽期末）根据前面的算式，直接写出得数。48÷8＝696÷16＝6；192÷32＝6。800÷32＝25800÷16＝50；1600÷32＝50。【思路引导】被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变；被除数不变，除数乘几或除以几（0除外），商就除以几或乘几；除数不变，被除数乘几或除以几，商就乘几或除以几。【规范解答】解：48÷8＝696÷16＝6；192÷32＝6800÷32＝25800÷16＝50；1600÷32＝50故答案为：6；6；50；50。【考点评析】本题考查了商不变的规律和商的变化规律，熟练掌握它们是解题的关键。23．（8分）（2021秋•内乡县期末）根据54÷6＝9，快速计算。540÷6＝540÷60＝108÷6＝216÷24＝【思路引导】除数不变，被除数乘几或除以几，商就乘几或除以几；被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。【规范解答】解：540÷6＝90540÷60＝9108÷6＝18216÷24＝9【考点评析】熟练掌握商的变化规律和商不变的规律是解题的关键。五．解答题（共6小题，满分36分，每小题6分）24．（6分）（2022秋•中山市期末）下面是小林计算150÷25的过程，你认为小林的计算对吗？请说明理由。150÷25＝（150×2）÷（25×2）＝300÷50＝6【思路引导】商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以同一个数（0除外），商不变，据此解答。【规范解答】解：对；因为小林运用了除法中商不变的性质，将被除数和除数同时乘2，这样将被除数变成整百数，除数变成整十数，商不变，计算更加方便。【考点评析】熟练掌握商不变的性质是解决本题的关键。25．（6分）（2022秋•渑池县期末）本学期我们学习了“商的变化规律”，积累了探索规律的经验。如果被除数乘一个数，除数同时除以相同的数（0除外），则商会怎样变化？请你探索规律，并完成下面的问题。如果：被除数÷除数＝100那么：（被除数×2）÷（除数÷2）＝400举例：400÷4＝100我发现：（400×2）÷（4÷2）＝100×2×2＝400【思路引导】在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；如果被除数乘一个数，除数同时除以相同的数（零除外），则商就连续乘相同的数；据此解答即可。【规范解答】解：根据商的变化规律可知，如果：被除数÷除数＝100，那么：（被除数×2）÷（除数÷2）＝100×2×2＝400。例如：400÷4＝100，那么：（400×2）÷（4÷2）＝100×2×2＝400（答案不唯一）故答案为：400，400÷4＝100，（400×2）÷（4÷2）＝100×2×2＝400（答案不唯一）。【考点评析】此题考查了商的变化规律的灵活运用。26．（6分）（2021秋•上虞区期末）小明说：“根据商不变性质，因为13÷2＝6……1，所以130÷20＝6……1”。你同意小明的说法吗？请写出你的理由。【思路引导】在有余数的除法里，被除数和除数都乘相同的数或都除以相同的数（0除外），商不变，但余数也随着乘或除以相同的数。据此解答即可。【规范解答】解：不同意。13÷2＝6……1，如果将被除数和除数同时扩大到原来的10倍，则商不变，仍是6，但余数也随之扩大到原来的10倍，是10。【考点评析】关键是理解商不变的性质：被除数和除数都乘相同的数或都除以相同的数（0除外），商不变，但余数也随着乘或除以相同的数。27．（6分）（2020秋•柯桥区期末）根据商不变性质可知“9700÷300＝97÷3”，又因为“97÷3＝32……1”所以聪聪认为“9700÷300＝32……1”。你认同聪聪的观点吗？请