热点2-3指数函数对数函数与幂函数10大题型（原卷版）

热点23指数函数、对数函数与幂函数10大题型指数函数、对数函数与幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位，从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推论，能运用它们的性质解决具体的问题。考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。一、指数幂运算的一般原则1、指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算；2、先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；3、底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数；4、运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。二、对数运算常用方法技巧1、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并；（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式。2、对数运算中的几个运算技巧（1）的应用技巧：在对数运算中如果出现和，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现，再应用公式进行化简；（2）的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式化简；（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式作为已知条件，求函数的值的问题，通常设，则，，，将值带入函数求解。三、指数型复合函数值域的求法1、形如（，且）的函数求值域换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围2、形如（，且）的函数求值域换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。四、对数型复合函数值域的求法1、形如（，且）的函数求值域换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域。2、形如（，且）的函数的值域换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，求出的值域。【题型1指数幂与对数式化简求值】【例1】（2022·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）若，，则______．【变式11】（2022秋·宁夏·高三六盘山高级中学校考阶段练习）计算：______.【变式12】（2022秋·河南商丘·高三校联考阶段练习）若函数（，且），则（）A．1010B．1011C．2022D．2023【变式13】（2022秋·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知，，且，则的最小值为______.【变式14】（2022秋·宁夏银川·高三校考期中）计算化简：（1）；（2）；（3）.【变式15】（2022秋·陕西西安·高三校考期中）化简求值：（1）；（2）．【题型2指对幂函数的定义与解析式】【例2】（2022秋·江苏常州·高三统考阶段练习）若p：函数是指数函数，，则q是p的（）条件A．充要条件B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要【变式21】（2022·全国·高三专题练习）函数是以a为底数的对数函数，则等于A．3B．C．D．【变式22】（2022秋·宁夏固原·高三隆德县中学校联考期中）已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（）A．B．或C．D．【变式23】（2022·上海崇明·统考一模）若对数函数且）的图象经过点，则实数______.【变式24】（2022秋·天津红桥·高三天津市瑞景中学校考期中）若幂函数的图像过点，则______.【题型3指对幂函数的图象问题】【例3】（2021·陕西榆林·校考模拟预测）已知函数，则函数的图像不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式31】（2022·上海长宁·统考一模）函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（）A．B．C．D．【变式32】（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）函数，，的图象如图所示，则，，的图象所对应的编号依次为（）A．①②③B．③①②C．③②①D．①③②【变式33】（2022秋·辽宁·高三东北育才学校校考阶段练习）已知幂函数在上单调递减，则的图象过定点（）A．B．C．D．【变式34】（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（）A．p，q均为奇数，且B．q为偶数，p为奇数，且C．q为奇数，p为偶数，且D．q为奇数，p为偶数，且【变式35】（2022秋·广东江门·高三新会陈经纶中学校考阶段练习）已知函数的图像恒过点，点在直线上．则的最小值为_________.【题型4指对幂函数的单调性】【例4】（2022秋·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考开学考试）若（且）在R上为增函数，则的单调递增区间为（）A．B．C．D．【变式41】（2022秋·北京·高三北京四中校考阶段练习）函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．【变式42】（2023·全国·高三专题练习）若函数(且)在区间上单调递增，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【变式43】（2022秋·贵州毕节·高三校联考阶段练习）已知，且，函数是定义域内的增函数，则的取值范围为（）A．B．C．D．【变式44】（2022秋·河南·高三洛阳市第一高级中学校联考阶段练习）若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【变式45】（2023·全国·高三专题练习）已知函数(且)在区间上是减函数，则实数的取值范围是________．【题型5指对幂函数的奇偶性】【例5】（2022秋·山西运城·高三校考阶段练习）（多选）已知函数，函数，则下列命题正确的是（）A．是偶函数B．是奇函数C．是偶函数D．是偶函数【变式51】（2022·全国·高三专题练习）若函数为奇函数，则（）A．B．0C．1D．【变式52】（2022秋·广东广州·高三广东广雅中学校考阶段练习）已知为奇函数，则____________.【变式53】（2022·北京·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，且当时，.（1）求和的值；（2）求在上的解析式.【题型6指对幂函数的定义域】【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A．B．C．D．【变式61】（2022·浙江·高三专题练习）下列幂函数中，定义域为的是（）A．B．C．D．【变式62】（2023秋·北京丰台·高三统考期末）函数的定义域是_______．【变式63】（2022秋·北京丰台·高三北京丰台二中校考阶段练习）函数的定义域为__________.【变式64】（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）若函数的定义域为，则的取值范围是______．【题型7指对幂函数的值域】【例7】（2022秋·福建莆田·高三莆田第五中学校考期中）函数(且)的图象过点和.（1）求函数的解析式；（2）令，求的最小值及取得最小值时x的值.【变式71】（2021秋·陕西延安·高三子长市中学校考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿､欧拉并列为世界四大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：.已知函数，则函数的值域是（）A．B．C．D．【变式72】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）若函数()的值域是，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【变式73】（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）若函数有最小值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【变式74】（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）已知是对数函数，并且它的图像过点，，其中．（1）当时，求在上的最大值与最小值；（2）求在上的最小值．【题型8指数式与对数式比较大小】【例8】（2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知，，，则（）A．B．C．D．【变式81】（2021·天津宁河·天津市宁河区芦台第一中学校考一模）已知是定义在上的偶函数，且在是增函数，记，，，则的大小关系为（）A．B．C．D．【变式82】（2022秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【变式83】（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．【变式84】（2022秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）设，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．【变式85】（2022秋·浙江金华·高三校联考阶段练习）已知，，，则（）A．B．C．D．【题型9指数式与对数式解不等式】【例9】（2022·全国·高三专题练习）若，试求的取值范围.【变式91】（2022秋·山东济宁·高三统考期中）已知函数，若，则实数的取值范围（）A．B．C．D．【变式92】（2022秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考期末）已知偶函数，则满足的实数的取值范围是（）A．B．C．D．【变式93】（2022·四川自贡·统考一模）已知函数，且，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【变式94】（2022秋·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）已知（其中）则关于x的不等式的解集是__________．【变式95】（2022·全国·高三专题练习）若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是______【题型10反函数及其应用】【例10】（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（）A．1B．2C．3D．4【变式101】（2022·全国·高三专题练习）若满足，满足，则等于（）A．2B．3C．4D．5【变式102】（2022·吉林长春·长春十一高校考模拟预测）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则关于直线对称的函数是（）A．B．C．D．【变式103】（2022·全国·高三专题练习）若函数的反函数图像经过点，则的值为___________.【变式104】（2022·江苏·统考三模）（多选）已知函数的零点为，的零点为，则（）A．B．C．D．（建议用时：60分钟）1．（2022秋·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考期末）已知，，则为（）A．B．C．D．2．（2022秋·陕西·高三校联考阶段练习）已知，则（）A．B．C．D．3．（2023秋·北京丰台·高三统考期末）已知函数，则不等式的解集是（）A．B．C．D．4．（2022·全国·高三专题练习）幂函数的图象关于轴对称，且在上是增函数，则的值为（）A．B．C．D．和5．（2022秋·安徽滁州·高三校考阶段练习）函数的大致图像是（）A．B．C．D．6．（2022秋·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知，，，则（）A