专题10对数与对数函数（重难点突破）-2021年秋季高一数学上学期讲义（人教A版2019）

专题10对数与对数函数一、考情分析二、考点梳理重难点一对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.重难点二对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝eq\f(n,m)logaM(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1).重难点三对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).

(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数三、题型突破重难点1对数与对数式的化简求值如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．例1．（1）、（2021·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））下列运算正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据对数的运算性质逐一计算各选项即可得出答案.【详解】解：对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：D.（2）．（2017·全国高一单元测试）已知10m＝2，10n＝4，则的值为()A.2 B. C. D.2【答案】B【解析】＝＝＝＝.答案：B【变式训练11】、（2021·全国）（多选题）下列各式化简运算结果为1的是（）A． B．C．且 D．【答案】AD【分析】根据指对数的运算性质依次分析各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，原式；对于B选项，原式；对于C选项，原式；对于D选项，原式.故选：AD.【变式训练12】、（2013·全国高一课时练习）已知，则的值为（）A． B．4 C．1 D．4或1【答案】B【解析】因为，所以，，,解得=1（舍去），=4，故选B.例2．（2021·全国高一专题练习）计算下列各式：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据分数指数幂，根式的运算公式，即可计算结果；（2）根据对数运算公式，换底公式，即可计算结果.【详解】解：（1）．（2）．【变式训练21】、（2021·如皋市第一中学高一月考）（1）计算化简：（2）；（3）；【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）将根式化成分数指数幂，再根据指数幂的运算性质化简即可求解；（2）利用对数的运算性质以及换底公式化简即可求解；（3）利用对数的运算性质以及换底公式化简即可求解；【详解】（1）原式；（2）原式；（3）.重难点2对数函数的图像与性质例3．（1）、（2019·北京五十五中高一期中）在同一个坐标系下，函数与函数的图象都正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的单调性判断函数图象．【详解】解：指数函数是增函数，对数函数是减函数，故选：A.（2）、函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0 B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0【答案】D【解析】由于f(x)的图象单调递减，所以0<a<1，又0<f(0)<1，所以0<a－b<1＝a0，即－b>0，b<0，故选D.【变式训练31】、当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为()ABCD【答案】C【解析】∵a>1，∴0<eq\f(1,a)<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C.【变式训练32】、（2021·河南（文））函数的大致图象为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由奇偶函数定义可先判断函数为偶函数，再取即可选出合适答案【详解】因为，故为偶函数，BC错误；当时，，而，都大于零，故，故选：A例4、求下列函数的定义域：(1)f(x)＝eq\f(1,\r(log\f(1,2)x＋1))；(2)f(x)＝eq\f(1,\r(2－x))＋ln(x＋1)；【解析】(1)要使函数f(x)有意义，则logeq\f(1,2)x＋1>0，即logeq\f(1,2)x>－1，解得0<x<2，即函数f(x)的定义域为(0,2)．(2)函数式若有意义，需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,2－x>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>－1，,x<2，))解得－1<x<2，故函数的定义域为(－1,2)．【变式训练41】、（2021·济南·山东省实验中学高三月考）函数的定义域为___________.【答案】【分析】由函数的解析式中含有二次根式和对数式，可由二次根式的被开方数非负及对数式的真数大于零联立不等式组，解之即可.需注意不等式的定义域须写成集合或区间形式.【详解】解：由题意可得，自变量须满足不等式组：所以函数的定义域为.故答案为：.【变式训练42】、（2021·庆阳第六中学高一期末）若函数的定义域为，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题知恒成立，利用二次函数恒成立求解即可.【详解】∵函数的定义域为，所以恒成立，当时，显然不合题意，当时，则∴综上所述故选：C.重难点3对数函数的单调性与最值（比较大小）例5．函数的单调递增区间是()A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得或，设，则，关于单调递减，，关于单调递增，由对数函数的性质，可知单调递增，所以根据同增异减，可知单调递增区间为．选D．【变式训练51】、（2021·四川青羊·石室中学高三月考（文））函数的单调递减区间是___________.【答案】【分析】先求出原函数的定义域，再利用复合函数法可求得原函数的单调递减区间.【详解】对于函数，有，解得或，所以，函数的定义域为，令，则内层函数在上单调递减，在上单调递增，外层函数在上为增函数，由复合函数法可知，函数的单调递减区间为.故答案为：.例6．（1）、设，则()A．B．C．D．【答案】D【解析】，由下图可知D正确．（2）、（2020·贵州遵义·蟠龙高中高一月考）已知，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据指数函数和对数函数的单调性确定出与的大小关系，由此可比较出的大小关系.【详解】因为在上单调递增，所以，因为在上单调递增，所以，因为在上单调递减，所以，所以，所以，故选：B.【变式训练61】、设，，则（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，由得，所以，所以，得．又，，所以，所以．故选B．【变式训练62】、已知，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，可知，，，所以最大，，都小于1，因为，，而，所以，即，所以，故选A．重难点4对数型复合函数的应用例7．（2017·山东滕州市第一中学新校高一课时练习）函数在上是减函数，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以在上是减函数，又因为在上是减函数，所以是增函数，所以；又因为对数的真数大于零，则，所以；则.故选：C.【变式训练71】．（2020·博野县实验中学高一月考）（多选题）已知函数，则（）A．在上的最大值为 B．在上单调递增C．在上无最小值 D．的图象关于直线对称【答案】ACD【分析】化简函数的解析式，求函数的定义域，利用对数函数的性质，以及复合函数单调性的判断条件逐项判断，即可得出结果.【详解】由题意得，，由得，函数的定义域为令，则，二次函数开口向下，其对称轴为直线，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又函数在上单调递增，由复合函数的单调性，可得在上单调递增，在上单调递减，因为时，，即，所以在上的最大值为，无最小值，故A、C正确，B错误；因为，，即，所以的图象关于直线对称，故D正确.故选：ACD.例8．（2021·全国高一单元测试）函数（1）如果时，有意义，确定的取值范围；（2），若值域为，求的值；（3）在（2）条件下，为定义域为的奇函数，且时，对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根据时，则，设，不等式，求出的取值范围即可；（2）设，则的值域包含，讨论与时，的值域情况，求出的值即可；（3）根据题意求出的解析式，把不等式转化为在时恒成立，由此列出不等式组求出的取值范围.【详解】（1）由题意，，即，令，则，，的取值范围为.（2）令，由题意，的值域包含，①时，，值域为，满足条件；②时，，令，所以为开口向下的抛物线，易知的值域为，不满足条件，综上，.（3）时，，若，又为奇函数，，综上，，且，，易知，为减函数，所以为单调递增函数，，即，可看作在上成立，当且仅当，.【点睛】本题考查了函数的图象与性质，解题的关键点要熟练掌握二次函数、指数函数、对数函数的性质，及函数的单调性和奇偶性，考查了分类讨论思想.【变式训练81】、（2021·全国高一课时练习）已知函数（1）若函数的定义域为，求的取值范围；（2）若函数的值域为，求的取值范围.【答案】（1）（2）或【分析】（1）根据定义域得出，对任意的都成立，由得出的取值范围；（2）函数的值域为，则函数的值域包含，利用，即可得出的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为，对任意的都成立则，解得（2）若函数的值域为，则函数的值域包含则，解得或【点睛】本题主要考查了由函数的定义域和值域求参数的范围，涉及了一元二次不等式的应用，属于中档题.例9．（2021·全国）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）判断并证明的单调性.【答案】（1）；（2）单调递增，证明见解析；【分析】（1）依题意得到，即，再分别解分式不等式，最后取并集即可；（2）利用作差法证明函数的单调性即可；【详解】解：因为，又，所以，所以解即，解得；解，即，所以，解得或，综上可得不等式组的解集为（2）因为，所以函数的定义域为，函数在定义域上单调递增，证明：设且，因为，所以，所以，，，所以，所以所以所以即在上单调递增；【点睛】本题考查作差法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤；【变式训练91】、（2021·全国）已知函数，（且）（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性，并予以证明；（3）求使的x取值范围.【答案】（1）；（2）函数是奇函数，证明见解析；（3）当时，；当时，【分析】（1）根据对数的真数为正数列式可解得结果；（2）函数是奇函数，根据奇函数的定义证明即可；（3）不等式化为后，分类讨论底数，根据对数函数的单调性可解得结果.【详解】（1）要使函数数有意义，则必有，解得，所以函数的定义域是.（2）函数是奇函数，证明如下：∵，，，∴函数是奇函数（3）使，即当时，有，解得，当时，有，解得.综上所述：当时，；当时，.【点睛】方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法：1、有分式时：分母不为0；2、有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0；3、有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0；4、有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0；5、有指数函数形式时：底数和指数都含有，指数底数大于0且不等于1；6、有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1.

四、定时训练（30分钟）1．=()A．B．C．2D．4【答案】D【解析】．2．（2021·全国高一课时练习）下列运算正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由对数恒等式求解即可【详解】对于A：由对数恒等式可知：错误，故A错误；对于B：由对数恒等式可知：，故B错误；对于C：由对数恒等式可知：，故C正确；对于D：由对数恒等式可知：，故D错误；故选：C3．（2021·重庆市秀山高级中学校高三月考）设，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据指数函数和对数函数的性质计算出、、的取值范围，然后比较大小.【详解】解：，，，故选：A4．（2022·全国高三专题练习）对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x在同一坐标系内的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】①当0＜a＜1时，对数函数y＝logax为减函数，二次函数开口向下，且其对称轴为x＝，故排除C与D；②当a＞1时，对数函数y＝logax为增函数，二次函数开口向上，且其对称轴为x＝，故B错误.【详解】解：由对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x可知，①当0＜a＜1时，此时a﹣1＜0，对数函数y＝logax为减函数，而二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x开口向下，且其对称轴为x＝，故排除C与D；②当a＞1时，此时a﹣1＞0，对数函数y