专题3-7平面向量线性运算及模与数量积最值归类（原卷版）

专题3.7平面向量线性运算及模与数量积最值一、知识梳理与二级结论二、热考题型归纳【题型一】向量坐标：平行【题型二】三点共线向量法求参【题型三】平行与三角函数恒等变形【题型四】数量积：坐标法【题型五】坐标运算求向量夹角【题型六】数量积：求模型【题型七】复合型夹角计算型【题型八】向量线性运算：鸡爪型运算【题型九】线性运算：“中点”风帆型【题型十】线性运算：四边形计算型【题型十一】线性运算：两线交点型【题型十二】投影计算【题型十三】平行型最值：均值【题型十四】求夹角型最值【题型十五】投影行最值【题型十六】数量积型最值三、高考真题对点练四、最新模考题组练知识梳理与二级结论一、向量的概念：具有大小和方向的量称为向量.(没有位置、不能比较大小)(1)数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.二、向量的表示方法：①具有方向的线段，叫做有向线段，以为始点，为终点的有向线段记作，的长度记作.用有向线段表示向量，读作向量；(有向线段的三要素：起点、方向、长度)②用小写字母表示：、.(印刷时，用黑体小写字母，手写时，小写字母要带箭头)三、向量与有向线段的区别和联系：①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段；③向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段.向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段.四、向量的模：向量的大小――长度称为向量的模，记作.(能比较大小)五、零向量：长度等于零、方向是任意的向量，记作.(注意与的含义与书写区别)六、单位向量：长度为一个单位长度的向量.与非零向量共线的单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.七、平行向量：(1)若非零向量、的方向相同或相反，则，又叫共线向量；(2)规定与任一向量平行.说明：综合(1)(2)才是平行向量的完整定义；三点、、共线、共线；向量平行无传递性，即，不能推出(可能为).注意：共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同.（3）、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).说明：①平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；②共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.八、相等向量：若非零向量、方向相同且模相等，则向量、是相等向量.(1)相等向量：模相等，方向相同；(2)相反向量：模相等，方向相反.说明：任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.九、求平面向量夹角的方法：（1）定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是；（2）坐标法：若非零向量、，则.热点考题归纳【题型一】向量坐标：平行【典例分析】1.（2023春·北京海淀·高三统考）已知向量，则下列向量中与平行的单位向量是（

）A． B． C． D．2.（2020秋·江苏苏州·高三苏州市苏州高新区第一中学校考开学考试）已知，，若，则的值为（

）A． B．7 C． D．以上结果都不对【提分秘籍】共线向量：共线定理：a∥b⇔___a＝λb___⇔___x1y2＝x2y1_； 【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知向量，且，则实数m的值（

）A． B．1 C． D．2.（2023春·江苏宿迁·高三统考）已知向量，，若，则实数的值为（

）A． B．C． D．3.（2021秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考）已知向量，，，则“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【题型二】三点共线向量法求参【典例分析】1.（2023春·河北邯郸·高三统考）已知向量，，，若B，C，D三点共线，则（

）A．－16 B．16 C． D．2.（2022春·高三校考课时练习）已知A，B，C是三角形的三个顶点，且向量，则实数m满足的条件为.【提分秘籍】1.用向量法求三点共线，则任何两点所对应的向量都互相平行。2.共线第二定理：若A、B、C三点共线⇔eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))且x＋y＝1．【变式演练】1.（2023春·江苏泰州·高三校考）设，为平面内一个基底，已知向量，，，若A，B，D三点共线，则的值是（

）A． B． C． D．2.（2022春·安徽滁州·高三校考）设O是坐标原点，已知=(k，12)，=(10，k)，=(4，5)，若A，B，C三点共线，则实数k的值为.3.（2022·高三课时练习）已知，，，且相异三点、、共线，则实数.【题型三】平行与三角函数恒等变形【典例分析】1.（2023·广西梧州·苍梧中学校考模拟预测）已知，，，若，则（

）A． B． C． D．2.（2023春·黑龙江七台河·高三勃利县高级中学校考期中）已知△ABC的三边分别是a，b，c，设向量＝(sinB－sinA，a＋c)，＝(sinC，a＋b)，且∥，则B的大小是（）A． B．C． D．【变式演练】1.（2023秋·浙江杭州·高三杭十四中校考）的三内角，，所对边长分别是，，，设向量，，若，则角的大小为（

）A． B． C． D．2.（2020·高三课时练习）已知向量，，若与共线，则的值为A． B． C． D．3.（2020春·四川成都·高三校考阶段练习）已知中内角的对边分别为，向量，，为锐角且∥，．若，则的周长为．【题型四】数量积：坐标型【典例分析】1.（2022春·江苏淮安·高三校联考期中）已知平面向量，满足，，且，则实数的值为（

）A． B． C．2 D．32.（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）已知向量，，则的值是（

）A． B． C． D．【提分秘籍】向量数量积计算公式：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2【变式演练】1.（2023秋·湖南常德·高三校考阶段练习）已知则（

）A．(0，34，10) B．(3，19，7) C．44 D．232.（2023秋·广东珠海·高三珠海市第二中学校考阶段练习）已知向量，且，则（

）A．2 B．1 C．0 D．3.（2023·全国·高三专题练习）已知向量，且，则实数（

）A．1 B．0 C．1 D．任意实数【题型五】坐标运算求向量夹角【典例分析】1.（2022·河北·衡水市冀州区滏运中学高三期末）已知点，，，，则向量与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．2.（2022·江苏·金陵中学模拟预测）已知向量，，，则向量与向量的夹角为（

）A． B． C． D．【提分秘籍】求平面向量夹角的方法：（1）定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是；（2）坐标法：若非零向量、，则.【变式演练】1.（2022·全国·高三专题练习）在空间直角坐标系中，若，，与的夹角为，则的值为（

）A．1 B． C．或 D．17或2.（2022·全国·高三专题练习（理））已知平面向量，，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．3.（2022·全国·高三专题练习（理））已知为整数，且，设平面向量与的夹角为，则的概率为（

）A． B． C． D．【题型六】数量积：求模型【典例分析】1.（2023秋·上海浦东新·高三校考阶段练习）已知向量，，若，则．2.（2023秋·山东德州·高三校考阶段练习）已知非零向量满足，则与的夹角为.【提分秘籍】向量求模运算公式：1.|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))2.【变式演练】1.（2023秋·江苏·高三校联考开学考试）已知同一平面内的单位向量，满足，则．2.（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）已知平面向量，满足，且，则与的夹角为．3.（2021秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一中学校校考）设，，满足，且，，，则.【题型七】复合型夹角计算型【典例分析】1.（2022·全国·高三专题练习）已知，，则向量与的夹角为（

）A．90° B．60° C．30° D．0°2.（2022·河北邯郸·二模）若向量，满足，，且，则向量与夹角的余弦值为（

）.A． B． C． D．【提分秘籍】复合型向量夹角计算，和简单向量夹角计算一样，多了一个复杂的求分母计算cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))【变式演练】1.（2022·重庆八中高三阶段练习）设向量，，则与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．2.（2022·陕西·西安建筑科技大学附属中学高三阶段练习）已知向量，若与垂直，则与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．3.．（2022·全国·高三专题练习（理））已知、、均为单位向量，且，则、之间夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【题型八】向量线性运算基础：鸡爪型运算【典例分析】1.如图，在中，为线段上的一点，，且，则（

）A． B．C． D．2.．已知为所在平面内一点，且满足，则（

）A． B．C． D．【提分秘籍】鸡爪型是向量线性运算基础：

若D点在BC线段上，且满足,则有【变式演练】1.在中，D为中点，连接，若，则的值为（

）A． B． C． D．12.在中，点是边上一点，若，则实数（

）A． B． C． D．3.如图，在△OAB中，点P在边AB上，且．则（

）A． B．C． D．【题型九】线性运算：“中点”风帆型计算【典例分析】1.如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，，则的值为（

）A． B． C．1 D．22.在中，为中点，为中点，则下列结论中不可能成立的是（

）A． B．C． D．【变式演练】1.已知是边长为2的等边三角形，点在线段上，，点在线段上，且与的面积相等，则的值为（

）A． B． C． D．2.如图，在中，，，若，则的值为（

）A． B． C． D．3.如图，在中，是的中点，若，则（

）A． B．1 C． D．【题型十】线性运算：四边形计算型【典例分析】1.已知在平行四边形中，，线段交于点O，则=（

）A． B． C． D．2.在平行四边形中，对角线与交于点为中点，与交于点，若，则（

）A． B． C． D．【提分秘籍】四边形基底线性运算，可以用基底推导，也可以通过特殊化构造坐标系设点计算【变式演练】1.在平行四边形中，点在边上，点在边上，且，，点为线段的中点，记，则（

）A． B．C． D．2.（2023秋·江西南昌·高三校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F在BE上且为中点，若，则（

）

A． B． C． D．3.．（2023春·甘肃天水·高三天水市第一中学校考阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点，若以向量为基底表示向量，则下列结论正确的是（

）

A． B．C． D．【题型十一】线性运算：两线交点型【典例分析】1．中，点M是BC的中点，点N为AB上一点，AM与CN交于点D，且，.则（

）.A． B． C． D．2.．（2021·北京·高三强基计划）如图，已知为中的平分线．过点A作的垂线，过点C作交于点E．若与交于点F，且，则（

）A． B． C． D．以上答案都不对【变式演练】1.（2023·山西·高三校联考阶段练习）如图，在中，D是BC边中点，CP的延长线与AB交于AN，则（

）A． B． C． D．2.（2023·全国·模拟预测）如图，在中，，，其中，，若AM与BN相交于点Q，且，则（

）A． B． C． D．3.（2023·江苏·高三专题练习）在中，点是上一点，且，是中点，与交点为，又，则（

）

A． B． C． D．【题型十二】投影计算【典例分析】1.（2023秋·广东汕头·高三汕头市金禧中学校考阶段练习）已知，点，则向量在方向上的投影为．2.（2023春·全国·高三专题练习）已知向量，满足，在方向上的数量投影为，则的最小值为．【提分秘籍】a在b方向上的投影为：|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)【变式演练】1.（2023秋·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）已知为实数，，则向量在向量方向上的投影为.2.（2023·云南·校联考模拟预测）若，，，则在上投影向量的模为．3.（2023秋·上海杨浦·高三上海市控江中学校考阶段练习）已知平面向量，满足，且向量，的夹角为，则在方向上的数量投影为.【题型十三】平行型最值：均值【典例分析】1.（2023春·四川眉山·高三校考期中）已知向量，且，则的最大值为（

）A．1 B．2 C． D．42.（2022·宁夏吴忠·统考模拟预测）已知，且则的最小值是（

）A．3 B．C．4 D．【提分秘籍】要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．【变式演练】1.（2021春·安徽蚌埠·高三蚌埠二中校考期中）已知向量，，且，若，则的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．42.（2020·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知向量，，且．若、均为正数，则的最大值是（

）A． B． C． D．3.（2023秋·北京·高三北师大二附中校考阶段练习）已知向量，若，则的最小值为（

）.A．12 B． C．16 D．【题型十四】求夹角型最值【典例分析】1.平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是（

）A． B． C． D．2.．已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式演练】1.．已知非零向量，的夹角为，，且，则夹角的最小值为（

）A． B． C． D．2.已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为（

）A． B．C． D．3.已知平面向量，，，满足，，则当与的夹角最大时，的值为（

）A． B． C． D．【题型十五】投影型最值【典例分析】1.已知平面向量,若,则在上投影向量的模长的最小值为（

）A． B． C． D．2.在中，已知，，，若，且，则在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式演练】1.已知菱形的边长为1，设，若恒成立，则向量在方向上数量投影的取值范围是（

）A． B． C． D．2.如图，已知点P是圆上的一个动点，点Q是直线上的一个动点，为坐标原点，则向量在向量上的投影的最大值是（

）A． B．3 C． D．3.已知点为圆上动点，为坐标原点，则向量在向量方向上投影的最大值为（

）A． B． C． D．【题型十六】数量积型最值【典例分析】1.（2023秋·江西抚州·高三江西省乐安县第二中学校考开学考试）在平面四边形ABCD中，，若P为边BC上的一个动点，则的最小值是（

）A． B． C． D．2.（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知长方形ABCD的边长，P，Q分别是线段BC，CD上的动点，，则的最小值为（

）A． B．C． D．【变式演练】1.（2023秋·河北保定·高三校联考开学考试）已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最大值为（

）A．0 B． C． D．32.（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知定点，为坐标原点，点是圆上的一点，且圆的半径为，则的最大值为（

）A． B． C． D．3.（2023春·北京石景山·高三北京市第九中学校考）如图，，是半径为的圆上的两点，且若是圆上的任意一点，则的最大值为（

）

A． B． C． D．高考真题对点练1．（山东·高考真题）已知空间向量且，，，则一定共线的三点是（

）A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D2．（2023·北京·统考高考真题）已知向量满足，则（

）A． B． C．0 D．13．（2023·全国·统考高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（

）A． B．3 C． D．54．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，则（

）A． B． C． D．5．（2023·全国·统考高考真题）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．6．（2023·全国·统考高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（

）A． B．C． D．7．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，若，则（

）A． B．C． D．8．（2022·全国·统考高考真题）已知向量满足，则（

）A． B． C．1 D．29．（2022·全国·统考高考真题）已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．510．（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．

11．（2022·全国·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（

）A． B． C． D．最新模考真题1.（2022秋·江西赣州·高三校联考）向量，，，若，且，则的值为（

）A．2 B． C．3 D