突破84空间点直线平面之间的位置关系分层训练

突破8.4空间点、直线、平面之间的位置关系A组基础巩固1．（2022·北京怀柔·高二期末）给出下列判断，其中正确的是（

）A．三点唯一确定一个平面B．一条直线和一个点唯一确定一个平面C．两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内D．空间两两相交的三条直线在同一平面内【答案】C【解析】【分析】根据确定平面的条件可对每一个选项进行判断.【详解】对A，如果三点在同一条直线上，则不能确定一个平面，故A错误；对B，如果这个点在这条直线上，就不能确定一个平面，故B错误；对C，两条平行直线确定一个平面，一条直线与这两条平行直线都相交，则这条直线就在这两条平行直线确定的一个平面内，故这三条直线在同一平面内，C正确；对D，空间两两相交的三条直线可确定一个平面，也可确定三个平面，故D错误.故选：C2．（2022·四川泸州·模拟预测（文））下列命题正确的是（

）A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面【答案】D【解析】【分析】由平面的基本性质结合公理即可判断.【详解】对于A，过不在一条直线上三点才能确定一个平面，故A不正确；对于B，经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故B不正确；对于C，空间四边形不能确定一个平面，故C不正确；对于D，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故D正确.故选：D3．（2021·陕西·西安市远东一中高一期末）如图，在正四棱柱中，，点为棱的中点，过，，三点的平面截正四棱柱所得的截面面积为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据题意画出截面，得到截面为菱形，从而可求出截面的面积.【详解】取的中点，的中点，连接，因为该几何体为正四棱柱，∴故四边形为平行四边形，所以，又，∴，同理，且，所以过，，三点的平面截正四棱柱所得的截面为菱形，所以该菱形的面积为.故选：D4．（2022·福建莆田·模拟预测）莆田妈祖城有一钟楼，其顶部可视为正四棱柱与正四棱锥的组合体，如图，四个大钟分布在正四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针成60°角的次数是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】【分析】根据正四棱柱的性质及在0、3、6、9等整点情况下相邻时针之间夹角的变化趋势，即可判断0点至12点之间时针成60°角的次数.【详解】由题设，在0、6点时相邻钟面上的时针都平行，即夹角为0度；在3、9点时相邻钟面上的时针垂直，即夹角为90度，所以相邻钟面上的时针，在、、、点之间各有一次成60°角的情况，故共有4次成60°角.故选：B5．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有（

）A．不存在点使得异面直线与所成角为90°B．存在点使得异面直线与所成角为45°C．存在点使得二面角的平面角为45°D．当时，平面截正方体所得的截面面积为【答案】D【解析】【分析】由正方体的性质可将异面直线与所成的角可转化为直线与所成角，而当为的中点时，可得，可判断A；与或重合时，直线与所成的角最小可判断B；当与重合时，二面角的平面角最小，通过计算可判断C；过作，交于，交于点，由题意可得四边形即为平面截正方体所得的截面，且四边形是等腰梯形，然后利用已知数据计算即可判断D.【详解】异面直线与所成的角可转化为直线与所成角，当为的中点时，，此时与所成的角为90°，所以A错误；当与或重合时，直线与所成的角最小，为60°，所以B错误；当与重合时，二面角的平面角最小，，所以，所以C错误；对于D，过作，交于，交于点，因为，所以､分别是､的中点，又，所以，四边形即为平面截正方体所得的截面，因为，且，所以四边形是等腰梯形，作交于点，所以，，所以梯形的面积为，所以D正确.故选：D.6．（2022·四川省内江市第六中学高二开学考试（文））若，表示空间中的两条不同直线，则的充要条件是（

）A．，没有公共点 B．，都垂直于同一直线C．，都平行于同一平面 D．，都垂直于同一平面【答案】D【解析】【分析】判断选项ABC都不是的充要条件，只有选项D是的充要条件.【详解】A:没有公共点可能异面，可能平行,所以，没有公共点不是的充要条件；B：垂直于同一直线的直线可能相交，可能异面，也可以平行，所以，都垂直于同一直线不是的充要条件；C：平行于同一平面的直线可能平行，可能相交，也可能异面，所以，都平行于同一平面不是的充要条件；D：，都垂直于同一平面，则，反之也成立，所以，都垂直于同一平面是的充要条件.故选：D．7．（2021·湖南·高二期中）已知不重合的直线m、n、l和平面，下列命题中真命题是（

）A．如果l不平行于，则内的所有直线均与l异面B．如果，m、n是异面直线，那么n与相交C．如果，，m、n共面，那么D．如果l上有两个不同的点到Q的距离相等，则【答案】C【解析】【分析】根据点、线、面的位置关系并结合图形即可判断答案.【详解】对于A，当l与相交时，在平面内且过交点的直线与l都是共面的，故A错；对于B，如图1，可能是，故B错；对于C，这是线面平行的性质定理的等价说法，故C正确；对于D，如图2，由于直线l与相交时，也可以有两点到的距离相等，故D错．,故选：C.8．（2021·湖北·高一期末）对于平面外一直线，下列说法正确的是（

）A．内的所有直线都与异面 B．内有无数条直线与垂直C．内没有直线与相交 D．内有无数条直线与平行【答案】B【解析】【分析】对于ACD，由直线与平面相交的性质进行判断，对于B，分直线与平面相交和平行两种情况分析判断即可【详解】对于A，当直线与平面相交时，在平面内过交点的直线与直线相交，所以A错误，对于B，当直线与平面相交时，则在平面内与直线的射影垂直的直线，与直线垂直，这样的直线有无数条，当直线与平面平行时，则在内有无数条直线与垂直，所以B正确，对于C，当直线与平面相交时，在平面内过交点的直线与直线相交，所以C错误，对于D，当直线与平面相交时，在平面内没有直线与平行，所以D错误，故选：B9．（2022·上海长宁·高二期末）已知直线和平面，且在上，不在上，则下列判断错误的是（

）A．若，则存在无数条直线，使得B．若，则存在无数条直线，使得C．若存在无数条直线，使得，则D．若存在无数条直线，使得，则【答案】D【解析】【分析】根据直线和直线，直线和平面的位置关系依次判断每一个选项得到答案.【详解】若，则平行于过的平面与的交线，当时，，则存在无数条直线，使得，A正确；若，垂直于平面中的所有直线，则存在无数条直线，使得，B正确；若存在无数条直线，使得，，，则，C正确；当时，存在无数条直线，使得，D错误.故选：D.10．（2022·全国·高三专题练习）若a､b､c是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（

）A．若，则a､b､c共面 B．若a､b､c过同一点，则a､b､c共面C．若，则 D．若，则【答案】D【解析】【分析】ABC三项举出反例即可说明，D选项结合线线关系即可判定.【详解】A设确定的平面为，当时，a､b､c不共面，故A错误；B不妨设a､b､c为三棱锥的三条侧棱所在直线，显然a､b､c共点，但是a､b､c不共面，故B错误；C若为平面内的两条直线，且，显然满足，但是不一定平行，故C错误；D若，则，故D正确；故选：D.11．（2021·重庆市江津中学校高二开学考试）下列命题正确的是（

）A．在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行B．经过空间任意三点只可以确定一个平面C．若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行D．一条直线与一个平面可能有无数个公共点【答案】D【解析】【分析】利用空间中点线面的位置关系即可求解.【详解】解：对A，若两条直线异面，则两条直线也没有公共点，所以在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线不一定平行，故A错误；对B，经过不在同一条直线上的三点可确定一个平面，选项中没有指明三点不共线，故B错误；对C，若选项中的三点分布在另一个平面两侧时，这两个平面不平行，故C错误；对D，当直线在平面内时，直线和平面有无数个公共点，故D正确；故选：D.12．（2022·陕西咸阳·高一期末）设是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下面四个说法：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则.其中所有错误说法的序号是（

）A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④【答案】C【解析】【分析】①利用平面与平面的位置关系判断；②利用线面垂直的性质定理判断；③利用直线与直线的位置关系判断；④利用面面垂直的性质定理判断.【详解】①若，，则或相交，故错误；②若，，则可得，故正确；③若，，则，故错误；④若，，，当时，，故错误.故选：C13．（2022·江西上饶·高三阶段练习（理））下列命题正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，则， D．若，，则【答案】B【解析】【分析】根据线线、线面、面面位置关系逐一判断可得选项.【详解】解：对于A选项，若，，不能推出，故A不正确；对于B选项，根据线面垂直的性质得：若，，则，故B正确；对于C选项，若，则或，故C不正确；对于D选项，若，，则或互为异面直线，故D不正确，故选：B.14．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中判断下列位置关系：（1）AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是________；（2）平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．【答案】

平行

相交【解析】【分析】（1）所在直线与平面的位置关系是平行．可得四边形为平行四边形，由平行四边形的性质和线面平行的判定定理即可得到；（2）平面与平面的位置关系是相交．由平面与平面有一个交点，由公理2即可得到．【详解】解：（1）AD1所在的直线与平面BCC1没有公共点，所以平行；（2）平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．故答案为：平行；相交.15．（2019·浙江·台州市蓬街私立中学高二阶段练习）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中判断下列位置关系：(1)AD1所在的直线与平面BCC1B1的位置关系是________；(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是_________.【答案】(1)平行(2)相交【解析】【详解】(1)AD1所在的直线与平面BCC1B1没有公共点，所以平行.(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交.考点：直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系.16．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（理））已知正方体的长为2，直线平面，下列有关平面截此正方体所得截面的结论中，说法正确的序号为______．①截面形状一定是等边三角形：②截面形状可能为五边形；③截面面积的最大值为，最小值为；④存在唯一截面，使得正方体的体积被分成相等的两部分．【答案】④【解析】【分析】在正方体中作出满足题意的截面，即可作出判断.【详解】如图可知，截面形状可以是等边三角形、六边形、正六边形，∴①②明显错误；截面面积的最小值可以趋向于零，故③错误；当截面为正六边形时，截面过正方体的中心，此时正方体的体积被分成相等的两部分．故④正确.故答案为：④17．（2021·上海市进才中学高二期中）已知正方体的边长为2，点E，F分别是线段，的中点，平面过点，E，F，且与正方体形成一个截面，现有如下说法：①截面图形是一个六边形；②棱与平面的交点是的中点；③若点I在正方形内（含边界位置），且，则点的轨迹长度为；④截面图形的周长为；则上述说法正确的命题序号为___________.【答案】④【解析】【分析】依题意在正方体中作出截面，再利用勾股定理分别计算各线段的长度，即可判断.【详解】正方体的棱长为；延长EF，AD，交于点Р，连接交于点G，延长EF，AB，交于点Q，连接，交于点H，则五边形即为所求截面，故①错误；易知G，H分别是线段和的三等分点，则，即为点的轨迹即为线段，则轨迹长度为，故②③错误；而，而，则五边形的周长为，故④正确．故答案为：④18．（2021·四川省叙永第一中学校高二期中（文））在正方体中，异面直线与所成的角是__________．【答案】##【解析】【分析】通过线线平行将异面直线转化为共面直线，然后由等边三角形求出异面直线的夹角.【详解】在正方体中，连接，，如图，则是正三角形,即与所成的角是.故答案为：19．（2022·全国·高一）在正方体中，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值为___________.【答案】##0.5【解析】【分析】可通过连接，将和夹角转化成与所成的角，然后再去求解.【详解】如图所示，连接、，分别为，的中点，所以，所以和夹角就是与所成的角，而是正三角形，所以，所以，直线和夹角的余弦值为.故答案为：.20．（2021·湖南·周南中学高二开学考试）若正四面体ABCD的棱长为2，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值等于________．【答案】【解析】【分析】取的中点，证明，求出得出异面直线BE与AD所成角的余弦值.【详解】取的中点，连接，则，故或其补角为所求异面直线所成的角.在中，，∴故答案为：21．（2022·上海·华师大二附中高二期末）给出下列命题：①若两条不同的直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；②若两个不同的平面同时垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行；③若两条不同的直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行；④若两个不同的平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相垂直.其中所有正确命题的序号为________.【答案】②③【解析】【分析】由垂直于同一直线的两直线的位置关系判断①；由直线与平面垂直的性质判断②③；由空间中平面与平面的位置关系判断④．【详解】①若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线有三种位置关系：平行、相交或异面，故错误；②根据线面垂直的性质知，若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行，故正确；③由线面垂直的性质知：若两条不同的直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行，故正确．④若两个不同的平面同时垂直于第三个平面，这两个平面相交或平行，故错误.其中所有正确命题的序号为②③．故答案为：②③．22．（2022·山东济南·二模）下列命题：①平行于同一条直线的两条直线平行；②如果平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，那么该直线与这个平面平行；③如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；④如果一条直线和平面内的两条直线垂直，那么该直线垂直于这个平面；⑤如果一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么直线也和斜线垂直．其中正确命题的序号为______．【答案】①②③【解析】【分析】根据线线、线面和面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】①，根据平行公理可知：平行于同一条直线的两条直线平行.所以①正确，②，根据线面平行的判定定理可知：如果平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，那么该直线与这个平面平行，所以②正确.③，结合面面平行的判定定理可知：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行.所以③正确.④，如果一条直线和平面内的两条直线垂直，那么该直线可能在这个平面内，所以④错误.⑤，如果一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直，直线时，，但与不垂直.所以⑤错误.故答案为：①②③23．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第六中学高三期中）已知，，是三个不同的平面，a，b两条不同的直线，下列命题中正确的是___________.①若，，则②若，，则③若，，则④若，，则【答案】④【解析】【分析】根据线面位置关系的定理与性质对选项一一判断即可．【详解】①中，若，可能相交也可能平行，则错误；②中，若，可能相交也可能平行，则错误．③中，若，a，b的位置不定，则错误；④中，，根据线面垂直的性质可判断，则正确；故答案为：④24．（2022·全国·高三专题练习）已知是不重合的两条直线，为不重合的两个平面，给出下列命题：①若，，则；②若，且，则；③若，，则．所有正确命题的序号为__．【答案】①③【解析】【分析】对于①，过作平面，使，则，由面面垂直的判定定理得；对于②，或；对于③，过作平面，使得，可得，再由线面垂直的性质得．【详解】由是不重合的两条直线，为不重合的两个平面知：对于①，过作平面，使，则，因为，所以，又，所以，故①正确；对于②，若，且，则或，故②错误；对于③，过作平面，使得，因为，则，因为，，所以，所以，故③正确．故答案为：①③．25．（2021·全国·高一课时练习）在空间中，a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列结论中错误的是__.（填错误结论的序号）（1）若a⊄α，b⊄α，a∥b，a∥α，则b∥α；（2）若a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，则α∥β；（3）若a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，c⊥a，c⊥b，则c⊥α；（4）若α⊥β，a⊂α，则a⊥β.【答案】（2），（4）【解析】【分析】（1）由直线与平面平行的判定判断；（2）由平面与平面平行的判定判断；（3）由直线与平面垂直的判定判断；（4）由平面与平面垂直的性质判断．【详解】解：（1）若a∥b，a∥α，则b⊂α或b∥α，又b⊄α，∴a∥b，故（1）正确；（2）若a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，则α∥β或α与β相交，再加上条件a与b相交，可得α∥β，故（2）错误；（3）由直线与平面垂直的判定可得，若a⊂α，b⊂α，＝P，c⊥a，c⊥b，则c⊥α，故（3）正确；（4）若α⊥β，a⊂α，则a∥β或a⊂β或a与β相交，故（4）错误；∴错误的是（2），（4）．故答案为：（2），（4）．

B组能力提升26．（2021·全国·高一课时练习）（多选题）以下四个命题中，不正确的命题是（

）A．不共面的四点中，其中任意三点不共线B．若点共面，点共面，则共面C．若直线共面，直线共面，则直线共面D．依次首尾相接的四条线段必共面【答案】BCD【解析】【分析】利用反证法可知正确；直线与直线异面时，不共面，判断；中可为异面直线，判断；中四条线段可构成空间四边形，判断.【详解】选项：若任意三点共线，则由该直线与第四个点可构成一个平面，则与四点不共面矛盾，则任意三点不共线，正确；选项：若三点共线，直线与直线异面，此时不共面，错误；选项：共面，共面，此时可为异面直线，错误；选项：依次首尾相接的四条线段可构成空间四边形，错误.故选：BCD27．（2021·全国·高一课时练习）（多选题）在空间四面体中，如图，分别是的中点，则下列结论一定正确的为（

）A． B．C．与相交 D．【答案】ABC【解析】【分析】由题易得四边形为平行四边形，即可得到结论.【详解】如图∵分别是的中点，∴且，且，∴且，∴四边形为平行四边形，∴选项ABC正确；又由题可知，与不一定相等，故选项D错误.故选：ABC.28．（2022·广东汕头·一模）（多选题）如图，正方体的棱长为a，线段上有两个动点E，F，且.则下列结论正确的是（

）A．当E与重合时，异面直线与所成的角为B．三棱锥的体积为定值C．在平面内的射影长为D．当E向运动时，二面角的平面角保持不变【答案】BCD【解析】【分析】A：当E与重合，BD中点为O并连接，可得，即为异面直线与所成角的平面角，应用余弦定理求余弦值，即可确定大小；B：由及A到面、B到直线的距离为定值即可判断；C：在平面内的射影在上，即可求射影长；D：由二面角为二面角即可判断.【详解】A：当E与重合时，因为，此时F为的中点，记BD中点为O，连接，由正方体性质可知，，所以四边形为平行四边形，所以，又，，，所以，错误；B：，易知点A到平面的距离和点B到直线的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，正确；C：易知，在平面内的射影在上，所以射影长为，正确；D：二面角，即为二面角，显然其平面角不变，正确.故选：BCD29．（2021·全国·高一课时练习）(多选)下列说法中正确的是（

）A．若直线l与平面α不平行，则l与α相交B．直线l在平面外是指直线和平面平行C．如果直线l经过平面α内一点P，又经过平面α外一点Q，那么直线l与平面α相交D．如果直线a∥b，且a与平面α相交于点P，那么直线b必与平面α相交【答案】CD【解析】【分析】由线面直线的位置关系逐一判断即可求解.【详解】若直线l与平面α不平行，则l与α相交或l⊂α，所以A不正确．若l⊄α，则或l与α相交，所以B不正确．由线面直线的位置关系可知，C、D正确.故选：CD30．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）如图，已知正方体的棱长为2，则下列结论错误的是（

）A．直线与为异面直线B．直线与平面平行C．将形状为正方体的铁块磨制成一个球体零件，可能制作的最大零件的表面积为D．若矩形是某圆柱的轴截面（过圆柱的轴的截面叫做圆柱的轴截面），则从点出发沿该圆柱的侧面到相对顶点的最短距离是【答案】BCD【解析】【分析】根据异面直线的定义即可判断A,根据线面平行的定义即可判断B,算出正方体内切球的表面积即可判断C,将圆柱进行侧面展开即可判断D.【详解】对于A，直线与既不平行也不相交，是异面直线，A正确；对于B，，而直线与平面相交，故直线与平面也相交，B错误；对于C，将形状为正方体的铁块磨制成一个球体零件，当球的半径为棱长一半，即其半径为1时，球的表面积最大，其表面积最大值，C错误；对于D，从点沿圆柱的侧面到相对顶点的最短距离即为圆柱侧面展开图一个顶点到对边中点的距离，即其最短距离或，D错误；故选：BCD．31．（2022·浙江·台州市书生中学高二开学考试）（多选题）已知，，是三个不重合的平面，，是两条不重合的直线，下列命题正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，，则【答案】BC【解析】【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】对于A选项，两个平面和平面垂直，则这两个平面可能平行，A选项错误.对于B选项，两条平行直线有一条和一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直，B选项正确.对于C选项，设，与不重合，根据线面平行的性质定理可知.设与不重合，根据线面平行的性质定理可知.所以，由于，所以.由于，所以，所以，C选项正确.对于D选项，若，，，则，所以D选项错误.故选：BC32．（2022·湖北省天门中学高一阶段练习）（多选题）设是给定的平面，是不在内的任意两点，则（

）A．一定存在过直线的平面与平面相交B．在内一定存在直线与直线平行C．在内一定存在直线与直线相交D．在内一定存在直线与直线垂直【答案】AD【解析】【分析】根据已知点面关系，讨论A、B在两侧或在同侧，结合平面的基本性质判断各选项的正误.【详解】对于A，若A、B在两侧，则过直线的平面与平面必相交；若A、B在同侧，在平面内任取一点，则的所在平面与相交，正确；对于B，当A、B在两侧，此时直线与平面必相交，内不存在直线与平行，否则直线与平行，错误；对于C，当与平行时，内所有直线与都没有交点，错误；对于D，选项A中确定的平面与平面的交线记为，则平面内所有与垂直的直线都与平面垂直，也和直线垂直，正确.故选：AD33．（2022·湖北·武汉市黄陂区第一中学高二阶段练习）（多选题）设是给定的平面，，是不在内的任意两点，则（

）A．一定存在过直线的平面与平面垂直B．在内一定存在直线与直线平行C．在内一定存在直线与直线相交D．在内一定存在直线与直线垂直【答案】AD【解析】【分析】根据空间中的线面关系、面面关系逐一判断即可.【详解】对于A，当直线AB与垂直时，过AB的所有平面都与垂直；当直线AB与不垂直时（无论相交还是平行），设A，B在平面内的射影为点和，则直线和平行，且它们都垂直于平面，直线和所在的平面与垂直，正确；对于B，当与相交时，内不存在直线与平行，否则直线AB与平行，故B错误；对于C，当与平行时，内所有直线与都没有交点，故C错误；对于D，选项A中确定的平面与平面的交线记为m，则平面内所有与m垂直的直线都与平面垂直，于是也和直线AB垂直，故D正确．故选：AD．34．（2022·云南昭通·高三阶段练习