专题06大题专攻（二）（解三角形大题的思维建模）2022年高考数学二轮提素养高分进阶新方案（新高考专版）

专题06大题专攻（二）（解三角形大题的思维建模）目录一宏观掌握解题通路：解三角形问题重在：“变”－变角、变式。二微观优化解题细节：解三角形必须具备的三个意识。意识一：边角互化(边化角，角化边）意识二：函数与方程思想的应用意识三：厘清图形应用体验精选好题做一当十一宏观掌握解题通路：解三角形问题重在：“变”－变角、变式。尽管解三角形的解答题起点低、位置前,但由于其公式多、性质繁,使得不少考生对其有种畏惧感.突破此难点的关键在于“变”－变角与变式,从“变角”来看,主要有:已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用,如:，，，，等。从“变式”来看,在解决解三角形的问题时,常利用正余弦定理化边为角或化角为边等。三角形解答题1．（2021·安徽·淮南第一中学高三月考（理））在中，角，，所对边长分别为，，，．（1）求角的大小；（2）若，求的周长的最大值．【答案】（1）（2）（1）解：由和正弦定理得得得．又，所以，所以又，所以.（2）解：由余弦定理得，，，，当且仅当时，等号成立．所以．故的周长的最大值是．解三角形中的注意点(1)涉及求范围的问题,一定要搞清已知变量的范围,利用已知的范围进行求解,已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化(2)注意题目中的隐含条件,如,,三角形中大边对大角等(3)注意挖掘特殊关系量,如:①已知两角,与一边,由及，可求出角,再求出。②已知两边与其夹角,由,求出,再由余弦定理,求出角;③已知三边，由余弦定理可求出角。应用体验1．（2021·广东惠州·高三月考）在中，内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求；（2）若是锐角三角形，且，求边长的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由正弦定理，所以，化简得，由余弦定理，得，因为，所以.（2）由正弦定理，得，因是锐角三角形，所以，解得，所以.所以，解得，所以边长的取值范围为.二微观优化解题细节：解三角形必须具备的三个意识。“解三角形”的总体难度适中,入手比较容易,但在具体解决问题时,学生易出现“会而不对,对而不全”的情况.主要表现为:公式记忆不准确;在三角函数公式变形中转化不当,导致后续求解复杂或运算错误;忽视三角形中的隐含条件,求边、角时忽略其范围等.基于以上误区,解决此类问题要强化以下三个意识.意识一：边角互化(边化角，角化边）1．（2021·河北石家庄·高三月考）中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）（1）由及正弦定理得，所以，∴，又∵，∴，又∵，∴；（2）由，，根据余弦定理得，由的面积为，得,所以，得，所以周长.2．（2021·海南·农垦中学高三月考）在中，．（1）求角的大小；（2）若，求周长的最大值．【答案】（1）（2）3【详解】（1）在中，由正弦定理：（2）由（1），代入即由均值不等式：，当且仅当时等号成立故故周长l故周长l的最大值为3.3．（2021·海南昌茂花园学校高三月考）已知的内角，，的对边分别为，，，且求（1）求的大小；（2）若的面积，，求值．【答案】（1）；（2）．【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，即，所以，又，所以；（2）由题意，，，由得，所以．反思领悟：正弦定理、余弦定理应用的主要功能是实现三角形中的边角互化.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的齐次式,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理是否都要应用.正弦定理、余弦定理的灵活应用需深入领会化归与转化思想,需要在解题中多归纳、多总结,抽象概括,总结方法规律。涉及应用正弦定理、余弦定理的还有一种题型是判断三角形的形状,通常从两个方向进行变形:一个方向是边,考虑代数变形,通常正弦定理、余弦定理结合使用;另一个方向是角，考虑三角形，通常运用正弦定理.意识二：函数与方程思想的应用1．（2021·江西·高三月考）设，，分别是的内角，，的对边，已知.（1）求角的大小；（2）若的面积为，且，求，的值.【答案】（1）；（2）或.【详解】解：（1）由正弦定理，得，∴.由余弦定理，得，，∴.（2），∴.①由余弦定理，得，∴.由①②解得或∴或反思领悟三角函数是一种重要的初等函数,函数与方程是高中数学的重要思想方法之一,在解决解三角形问题时常常用到该思想方法.对于求值或最值问题,也要求学生具有较强的函数与方程意识,构建未知量的函数与方程关系从而解决问题.同时,利用函数、方程、不等式解题时要注意变量范围的限制,要特别注意对一些隐含条件的挖掘,缩小角的取值范围。意识三：厘清图形1．（2021·全国·模拟预测）如图，已知与关于直线对称，把绕点逆时针旋转，得到，若，，，四点共线，且，.（1）求；（2）求的面积.【答案】（1）（2）解法一：（1）由题意可得，，所以△ACE为正三角形，（旋转前后图形的大小､形状相同及旋转角度得到△ACE为正三角形），则，在△ABC中，，，设，则由余弦定理可得，即，整理得，得（负值舍去），所以；解法二：（1）由题意可得，，所以△ACE为正三角形，（旋转前后图形的大小､形状相同及旋转角度得到△ACE为正三角形），则，在△ABC中，，，由正弦定理得：，所以，易得，所以，在△ABC中，由正弦定理得，即，得；（2）解法一：（2）在△ABC中，由余弦定理可得：，所以，所以.在△ADE中，，，所以△ADE的面积.解法二：（2）由（1）知，易得，所以，在△ADE中，，，所以△ADE的面积.反思领悟对于上述问题的解答,应先厘清图形中边、角的关系,将已知条件抽象概括后,一般有两个方向:(1)把已知量全部集中在一个三角形中,利用正弦定理、余弦定理求解;(2)已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形,先考虑解条件充分的三角形,再逐步解其他三角形,有时需要设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组).应用体验精选好题做一当十1．（2021·福建·莆田第二十五中学高三月考）在①，②这两个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．在中，角，，所对的边分别是，，，设的面积为，已知___．（1）求角的值；（2）若，点在边上，为的平分线，的面积为，求边长的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）答案不唯一，见解析（2）2（1）选①，由可得：，整理可得a2+b2﹣c2＝ab，可得＝，因为C∈（0，π），所以C＝．选②，由sin（A+B）＝1+2sin2可得，可得2sin（C+）＝2，可得：sin（C+）＝1，因为C∈（0，π），C+∈（，），所以C+＝，可得C＝．（2）在△ABC中，可得可得，①又S△CDB＝a×CD＝，②由①②可得：＝，解得a＝2，或a＝﹣（舍去），所以边长a的值为2．2．（2021·湖北·高三期中）在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围.【答案】（1）（2）（1）解：∵，由正弦定理可得：，∴，∵，∴，∴，∵为锐角，∴，∴，∴；（2）解：由题意可知，设，∴，∵，又∵，∴，在中，由正弦定理可得：，即：，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴三角形面积的取值范围为.3．（2021·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高三月考）在中，，点D在边上，且为锐角．（1）若，求的值；（2）若，求的长度．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）如图，由于点D在边上，，所以，在中，，由余弦定理得：，所以，在中，，由正弦定理得：，即，所以.（2）在中，，由正弦定理得：，即，所以，又为锐角，所以在中，，由余弦定理得：﹐所以.4．（2021·江苏·高三月考）在中，已知，，.（1）求；（2）若点在边上，且满足，求.【答案】（1）；（2）.【详解】解：（1）结合已知条件，由余弦定理可得.（2），，，，.5．（2021·福建·高三月考）如图，在中，是边上一点，，，.（1）求角的大小；（2）若，求和.【答案】（1）；（2），.【详解】（1）在中，因为，，，所以.因为，所以.（2）因为，，所以.在中，由余弦定理：，得.由正弦定理，解得：.6．（2021·河北·高三月考）图一是东汉末年与三国初期东吴数学家赵爽创造的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，类比赵爽弦图，三个全等的不等腰三角形构成一个大的正三角形和一个小的正三角形（如图二）.已知与的面积比为7∶1.图一图二（1）求证：；（2）求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）∵与的面积比为7∶1，∴，设，，则，，由余弦定理可得，即，，∴，即.（2）由（1）知，，由正弦定理得，∴，，因此，，∴.7．（2021·全国·高三专题练习）已知在中，角，，的对边分别为，，，且满足．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，点为线段上的一点，且满足，，求的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【详解】（Ⅰ）由及正弦定理得，解得,又由得，整理得，由正、余弦定理得，得，所以．（Ⅱ）解法一：设，则，则．在中，由余弦定理得，即．①在中，利用余弦定理得，即，即．在中，，即且，两式相加得，②联立①②，解得，，则为等边三角形，所以．解法二：由题意得，故，即．又，则，解得或（舍）．又，，所以为等边三角形，所以．8．（2021·重庆市育才中学高三月考）在三角形中，，，的对边分别为，，.已知，，.（1）求的面积；（2）的角平分线交边于点，求的长.【答案】（1）；（2）.【详解】（1），，，（负值舍），.（2）法1：由得.法2：由三角形内角平分线定理，，，在三角形中，根据余弦定理得，，解得或（舍去）.9．（2021·黑龙江·大庆中学高三开学考试（文））在中，角，，的对边分别是，且满足（1）求角．（2）