第07讲两条直线的交点（六大题型）

第07讲两条直线的交点【题型归纳目录】题型一：求直线的交点题型二：由方程组解的个数判断直线的位置关系题型三：由直线交点的个数求参数题型四：由直线交点坐标求参数题型五：三线能否围成三角形问题题型六：直线交点系方程【知识点梳理】知识点一：直线的交点求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.知识点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数.知识点二：过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．【典例例题】题型一：求直线的交点【例1】（2023·江苏·高二假期作业）直线与直线的交点坐标是（

）A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2) D．(1,2)【答案】C【解析】解方程组得，即直线与直线的交点坐标是(0,2)．故选：C.【对点训练1】（2023·高二课时练习）若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为是直线和的公共点，所以，且，所以两点和都在同一条直线上，故两点和所确定的直线方程是，故选:A.【对点训练2】（2023·天津·高二校联考期末）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（

）．A． B．C． D．【答案】B【解析】联立方程，解得，所以交点坐标为；直线的斜率为，所以所求直线方程的斜率为，由点斜式直线方程得：所求直线方程为，即；故选：B.题型二：由方程组解的个数判断直线的位置关系【例2】（2023·高二单元测试）已知直线，是直线l外一点，那么直线（

）A．过点P且与直线l斜交B．过点P且与直线l重合C．过点P且与直线l平行D．过点P且与直线l垂直【答案】C【解析】在直线外，所以，方程与两变量的系数完全相同，而，即常数项不同，它们的方程组成的方程组无解，所以两直线的位置关系是平行，又，所以直线必过点，所以直线过点且与直线平行.故选：C【对点训练3】（2023·高二课时练习）曲线与的交点的情况是（

）A．最多有两个交点 B．两个交点C．一个交点 D．无交点【答案】A【解析】联立两条直线方程得：得到，两边平方得：，当即时，，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当时，得到，与曲线只有一个交点．所以曲线与的最多有两个交点．故选：A题型三：由直线交点的个数求参数【例3】（2023·广东广州·高二广州市第一一三中学校考阶段练习）直线与直线相交，则实数k的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．且【答案】D【解析】因直线与直线相交，则，即，解得且，所以实数k的值为且.故选：D【对点训练4】（2023·江苏·高二专题练习）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（

）A．1 B．2 C．1或2 D．1【答案】C【解析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，∵直线和直线不平行，∴直线和直线平行或直线和直线平行，∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为，∴或.故选：C.【对点训练5】（2023·江苏·高二专题练习）已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】联立，得，∵直线与射线恒有公共点，∴，解得.∴m的取值范围是.故选：C.题型四：由直线交点坐标求参数【例4】（2023·高二课时练习）两条直线和的交点在第二象限，则m的取值范围是（）A．(,) B．(,0)C．(0,) D．()【答案】C【解析】由解得即两条直线的交点为，由交点在第二象限，得,解得.故选：C.【对点训练6】（2023·高二课时练习）若直线与直线的交点在第四象限，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由方程组，解得，即两直线的交点坐标为，因为两直线的交点位于第四象限，可得且，解得，即实数的取值范围为.故选：D.【对点训练7】（2023·高二课时练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（

）A．或 B． C． D．【答案】D【解析】联立得，因为直线与直线的交点位于第一象限，所以，解得.故选：D题型五：三线能否围成三角形问题【例5】（2023·高二课时练习）已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（

）A．a≠ B．a≠C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1【答案】C【解析】已知三条直线能构成三角形，首先不平行，若，则三条直线围成三角形，若，则，，解得，时，由，得，代入得，或，因此综上：且．故选：C．【对点训练8】（2023·江苏徐州·高二校考期中）若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（

）A．个 B．个C．个 D．个【答案】C【解析】三条直线不能构成三角形至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点.若∥，则；若∥，则；若∥，则的值不存在；若三条直线相交于同一点，直线和联立：，直线和交点为;直线和联立：，直线和交点为;三条直线相交于同一点两点重合或.故实数的取值最多有个.故选:C【对点训练9】（2023·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考阶段练习）已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值不可能为（

）A．1 B． C．﹣2 D．﹣1【答案】A【解析】因为直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为，所以直线一定相交，交点坐标是方程组的解，解得交点坐标为：.当时，直线与x轴垂直，方程为：不经过点，所以三条直线能构成三角形；当时，直线的斜率为：.当直线l1与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；当直线l2与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；当直线l3过直线交点时，三条直线不能构成三角形，即有，所以实数a的取值不可能为1.故选：A题型六：直线交点系方程【例6】（2023·江苏·高二假期作业）设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为___________.【答案】或【解析】方法一：由，得，所以两条直线的交点坐标为（14，10）,由题意可得直线的斜率为1或1，所以直线的方程为或，即或.方法二：设直线的方程为，整理得，由题意，得，解得或，所以直线的方程为或.故答案为：或.【对点训练10】（2023·安徽六安·高二校考期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为_________.【答案】【解析】依题意两直线和的交点为，所以在直线上，所以过两点所在直线方程为.故答案为：【对点训练11】（2023·全国·高二专题练习）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程：(1)斜率为；(2)过点；(3)平行于直线．【解析】（1）法一:直线与的交点为，当斜率为时，由直线的点斜式方程得：直线方程为．直线方程为．法二:由题意，直线不符合题意，所以由直线系方程可设所求直线为，当直线的斜率为时，，解得，故所求直线方程为；（2）法一：过点时，由两点式得：即为．直线方程为．法二：由题意，直线不符合题意，过点时，代入（1）中直线系方程得，故所求直线方程为．（3）法一：平行于直线时，得直线斜率为，直线方程为，直线方程为．法二：由题意，直线不符合题意，平行于直线时，由（1）中直线系方程，解得,故所求直线方程为．【过关测试】一、单选题1．（2023·高二课时练习）若直线与直线的交点在第四象限，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由方程组，解得，即两直线的交点坐标为，因为两直线的交点位于第四象限，可得且，解得，即实数的取值范围为.故选：D.2．（2023·高二课时练习）若直线与互相垂直，垂足为，则的值为（

）A．20 B．4 C．12 D．4【答案】A【解析】由两直线与垂直，可得，即，又由两直线的交点坐标是，可得，解得，所以.故选：A.3．（2023·高二课时练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（

）A．或 B． C． D．【答案】D【解析】联立得，因为直线与直线的交点位于第一象限，所以，解得.故选：D4．（2023·上海徐汇·高二上海中学校考期中）过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如果直线斜率不存在时，直线方程为：，不符合题意；所以直线斜率存在设为，则直线方程为，联立直线得：，联立直线得：，，所以直线与直线，直线的交点为：，又直线夹在两条直线和之间的线段恰被点平分，所以，解得：，所以直线的方程为：，故选：B.5．（2023·福建福州·高二福建省福州第一中学校考期末）过两直线的交点，且与直线垂直的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，解得，得直线的交点为点．因为所求直线与直线垂直，故所求直线的斜率，因此，所求直线的方程为，即．故选：C.6．（2023·高二课时练习）若直线与直线相交且交点在第二象限内，则k的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若直线与直线平行或重合，则，解得，若直线与直线相交，可得且，则有：联立方程，解得，即交点坐标，由题意可得：，解得；综上所述：k的取值范围为.故选：C.7．（2023·广西贵港·高二校考阶段练习）直线恒过定点（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】将化为，联立，得，即直线过定点．故选：C8．（2023·高二课时练习）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【解析】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点，若平行，则，即；若平行，则，即无解；若平行，则，即；若三条直线交于一点，，可得或；经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个.故选：B二、多选题9．（2023·河北张家口·高二校联考期中）若直线，，不能构成三角形，则m的取值可能为（

）．A． B． C． D．【答案】ABD【解析】因为直线，，不能构成三角形，所以存在，，过与的交点三种情况.显然，.则直线的斜率分别为，，.当时，有，即，解得；当时，有，即，解得；当过与的交点时.先联立，解得，则与的交点为，代入，得，解得．综上：或或．故选：ABD．10．（2023·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考期中）若三条不同的直线：，：，：不能围成一个三角形，则的取值可能为（

）A．－2 B．2 C．4 D．6【答案】BCD【解析】若,则两条直线斜率相等，即，解得；若，则根据斜率相等有，解得；若三条直线交于一点，此时联立与，得点，将点代入中，解得.综上所述，要使得三条直线不能围成三角形，的取值为.故选：BCD11．（2023·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）已知直线l：，其中，下列说法正确的是（

）A．当时，直线l与直线垂直B．若直线l与直线平行，则C．直线l过定点D．当时，直线l在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【解析】对于A，当时，直线l的方程为，故l的斜率为1，直线的斜率为，因为，所以两直线垂直，所以A正确；对于B，若直线l与直线平行，则，解得或，所以B错误；对于C，当时，则，所以直线过定点，所以C正确；对于D，当时，直线l的方程为，易得在x轴、y轴上的截距分别是，所以D错误.故选：AC.12．（2023·广东广州·高二校考期中）若两条直线和的交点在第四象限，则k的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】记直线与x轴的交点为，斜率为，直线所过定点为，则由图可知，当，即时，两直线交点在第四象限.故选：BC三、填空题13．（2023·高二课时练习）直线与直线相交，则m的取值范围为__________．【答案】【解析】因为直线与直线，即相交，所以，解得.所以m的取值范围为.故答案为：14．（2023·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知O为坐标原点，直线：与：交于点P，则的值为________．【答案】2【解析】直线过定点，过定点，当时，两直线的斜率分别为，，，故，从而；当时，易求得，此时，综上可知，．故答案为：215．（2023·浙江宁波·高二期末）若三条直线与能围成一个直角三角形，则__________．【答案】或1【解析】显然，3xy+1=0，x+y+3=0有交点，若与垂直，则；若与垂直，则．所以或1．故答案为：或116．（2023·高二课时练习）若三条直线，，不能围成三角形，则m的值等于______．【答案】4或或1.【解析】三条直线不能围成三角形，则有以下三种情况，1.直线与平行，则有，2.直线与平行，则有，3.三条直线，，相交于同一个点，联立解得代入可得，综上m的值等于4，，1，故答案为：4或或1.四、解答题17．（2023·江苏·高二假期作业）求证：不论为何实数，直线都恒过一定点．【解析】证法一（特殊值法）：取，得到直线，取，得到直线，故与的交点为．将点代入方程左边，得，∴点在直线上．∴直线恒过定点．证法二（分离参数法）：由，整理，得．则直线通过直线与的交点．由方程组，得，∴恒过定点．18．（2023·江苏·高二假期作业）求经过直线l1：和l2：的交点，且平行于直线l3：的直线l的方程．【解析】解方程组得，即交点坐标为，设直线的方程为，则，解得，所以直线的方程为.19．（2023·福建宁德·高二统考期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为