第一章空间向量与立体几何-2021-2022学年高二数学单元复习（人教A版2019选择性）

第一章空间向量与立体几何过关测试（时间：120分钟分值：150分）一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知四面体中，、、两两互相垂直，则下列结论中不成立的是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】、、两两垂直，则可得、、，且、、、、，A、B、D选项均正确，故选：C．2．已知､､是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】C【解析】对于A，有，则，，共面，不能作为基底，故A不正确；对于B，因为，所以，，共面，不能作为基底，故B不正确；对于D，因为，所以，，共面，不能作为基底，故D不正确，对于C，设（为不同时为0的实数），解得与题意不符，所以，，不共面，可以作为基底，故C正确，故选：C.3．若是平面α内的两个向量，则（）A．α内任一向量(λ，μ∈R)B．若存在λ，μ∈R使＝，则λ＝μ＝0C．若不共线，则空间任一向量(λ，μ∈R)D．若不共线，则α内任一向量(λ，μ∈R)【答案】D【解析】当与共线时，A项不正确；当与是相反向量，λ＝μ≠0时，＝，故B项不正确；若与不共线，则与、共面的任意向量可以用，表示，对空间向量则不一定，故C项不正确，D项正确．故选：D．4．在长方体中，，，分别为棱，，的中点，，则异面直线与所成角的大小为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图设，则，，，，所以，，，所以，所以异面直线与所成角的大小为，故选：C5．设,,，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①，②，③}，④．其中可以作为空间一个基底的向量组有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】如图所示，令，，则，，，，.由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量也不共面，同理和也不共面，而共面，故选：C.6．在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】以点为坐标原点，以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，为平面的一个法向量．．∴直线与平面所成角的正弦值为．故选：D．7．如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，，，故选：A.8．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，∴，，即:，；平面，直线，所以当、最短时，平面，，为的中心，为线段的中点，如图：又正四面体的棱长为1，，平面，，．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9．给出下列命题，其中不正确的为（）A．若，则必有与重合，与重合，与为同一线段B．若，则是钝角C．若，则与一定共线D．非零向量､､满足与，与，与都是共面向量，则､､必共面【答案】ABD【解析】A选项，考虑平行四边形中，满足，不满足与重合，与重合，与为同一线段，故A错，B选项，当两个非零向量､的夹角为时，满足，但它们的夹角不是钝角，故B错，C选项，当时，，则与一定共线，故C对，D选项，考虑三棱柱，､､，满足与，与，与都是共面向量，但，，不共面，故D错，故选ABD.10．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（）A． B．C．是平面ABCD的一个法向量 D．【答案】ABC【解析】因为，所以，A正确；因为，所以，B正确；由,，可得是平面ABCD的一个法向量，C正确；BD在平面ABCD内，可得，D错误．故选：ABC．11．如图，在菱形中，，，将沿对角线翻折到位置，连结，则在翻折过程中，下列说法正确的是A．与平面BCD所成的最大角为B．存在某个位置，使得C．当二面角的大小为时，D．存在某个位置，使得到平面的距离为【答案】BC【解析】解：选项，取的中点，连接、，则．由题可知，和均为等边三角形，由对称性可知，在翻折的过程中，与平面所成的角为，当时，为等边三角形，此时，即选项错误；选项，当点在平面内的投影为的中心点时，有平面，，，又，、平面，平面，平面，，即选项正确；选项，当二面角的大小为时：平面平面，，，平面平面，平面，，又，为等腰直角三角形，，即选项正确；选项，点到的距离为，点到的距离为，若到平面的距离为，则平面平面．平面平面，则有垂直平面，即，与是等边三角形矛盾．故选：．12．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（）A．直线D1D与直线AF垂直 B．直线A1G与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为 D．点C与点G到平面AEF的距离相等【答案】BC【解析】根据题意，假设直线D1D与直线AF垂直，又,平面AEF，所以平面AEF,所以,又,所以,与矛盾，所以直线D1D与直线AF不垂直，所以选项A错误；因为A1G∥D1F，A1G⊄平面AEFD1，平面AEFD1，所以A1G∥平面AEFD1，故选项B正确．平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1，由题得该等腰梯形的上底下底,腰长为，所以梯形面积为，故选项C正确；假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于，而不是中点，则假设不成立，故选项D错误．故选：BC．三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。13．设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则k＝________.【答案】－8【解析】又A，B，D三点共线，所以，即所以：，解得.故答案为：－814．已知.则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是____________．【答案】.【解析】与的夹角为钝角，则，且，即且，解得．故答案为:.15．若，且，则与的夹角的余弦值为________．【答案】1【解析】解：因为，所以，①，因为，所以，②①－②得，所以．33×①＋16×②得，所以．所以．故答案为：116．如图所示，在三棱柱中，已知是边长为的正方形，四边形是矩形，平面平面.若，则直线到面的距离为___________.【答案】【解析】如图建立空间坐标系，设，，设面的法向量为，则有，得，直线到面的距离就等于点到面的距离，也等于向量在面的法向量上的投影的绝对.故答案为：.四、解答题：共6小题，其中第1大题10分，其余题目每题12分，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。17．如图所示，在三棱柱中，平面，，是的中点，.（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由平面，平面，则，由，是的中点，则，又，∴平面，又平面，∴平面平面；（2）如图，取的中点，连结，设到面的距离为，由题意知：，，，∴，，又，即∴点到平面的距离.18．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E为棱AA1的中点，AB＝1，AA1＝2．（1）求点B到平面B1C1E的距离；（2）求二面角B1﹣EC1﹣C的正弦值．【答案】（1）；（2）．【解析】解：（1）如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则B(1，0，0），B1(1，0，2），C1(1，1，2），E(0，0，1），∴(0，1，0），(﹣1，0，﹣1），(0，0，2），设平面B1C1E的法向量(u，v，w），则，取u＝1，得(1，0，﹣1），∴点B到平面B1C1E的距离为：d．（2）∵C1(1，1，2），E(0，0，1），C(1，1，0），∴(0，0，2），(﹣1，﹣1，1），设平面CC1E的法向量(x，y，z），则，取x＝1，得(1，﹣1，0），设二面角B1﹣EC1﹣C的平面角为θ，则cosθ，∴sinθ，∴二面角B1﹣EC1﹣C的正弦值为．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，已知AB∥DC，AB⊥AD，△SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AD＝AB＝2DC＝2，F为SB的中点

（1）求异面直线SA与FC所成角的大小；（2）在棱SB上是否存在点Q，使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为？若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由．【答案】（1）90°；（2）存在，1．【解析】解：（1）∵在四棱锥S﹣ABCD中，已知AB∥DC，AB⊥AD，△SAD是正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，AD＝AB＝2DC＝2，F为SB的中点，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），S（0，1，），C（1，2，0），B（2，0，0），F（1，），（0，﹣1，），（0，，），设异面直线SA与FC所成角为θ（0°＜θ≤90°），则cosθ0，∴θ＝90°．∴异面直线SA与FC所成角的大小为90°；（2）假设在棱SB上存在点Q（a，b，c），λ，(0≤λ≤1)，使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为，则，即（a，b﹣1，c）＝λ（2，﹣1，），解得a＝2λ，b＝1﹣λ，c，∴Q（2λ，1﹣λ，），（2λ，1﹣λ，），（1，2，0），（0，1，），设平面ACQ的法向量(x，y，z），则，取x＝2，得，设平面ASC的法向量(p，q，r），则，取p＝2，得=(2，﹣1，），∵平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为，∴，整理得5λ2﹣10λ+4＝0，解得λ或（舍去）．故在棱SB上存在点Q，使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为，此时．20．如图所示，平面CDEF平面ABCD，且四边形ABCD为平行四边形，∠DAB＝45°，四边形CDEF为直角梯形，EF∥DC，EDCD，AB＝3EF＝3，ED＝a，AD．（1）求证：ADBF；（2）若线段CF上存在一点M，满足AE∥平面BDM，求的值；【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）∵面CDEF面ABCD，EDCD，面，面面，∴ED面ABCD，面，即，过作于，过作交于，∵CDEF为直角梯形，AB＝3EF＝3，∴，即，则，且，∴，得，即，∴，而，即面，又面，∴，故.（2）以D为原点，过点D垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如下图示：∴，若，则，设，则，设平面BDM的法向量为，则，取x1＝2，则，若AE∥平面BDM，则，解得，∴线段CF上存在一点M，满足AE∥平面BDM，此时．21．在多面体中，正方形和矩形互相垂直，、分别是和的中点，．（1）求证：平面．（2）在边所在的直线上存在一点，使得平面，求的长；【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）因为四边形为矩形，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面；（2）因为平面，四边形为正方形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、、、，设点，，，，设平面的法向量为，由，令，可得，要使得平面，则，所以，