上海市闵行区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年上海市闵行区高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.“”是“”的条件.A.充要条件 B.既不充分也不必要条件

C.必要不充分条件 D.充分不必要条件2.不等式，的解集不可能是(

)A. B.R C. D.3.已知集合，，则满足的集合S共有个.A.3 B.4 C.7 D.84.设集合，，，，其中a，，下列说法正确的是(

)A.对任意a，是的子集，对任意b，不是的子集

B.对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集

C.对任意a，使得不是的子集，对任意b，不是的子集

D.对任意a，使得不是的子集，存在b，使得不是的子集二、填空题：本题共12小题，共54分。5.已知全集为R，集合，则______.6.集合，则集合______.7.若，则的最小值为______.8.若“”是“”的充分条件，则实数m的取值范围是______.9.已知，，则的取值范围是______.10.若集合有且仅有一个元素，则实数______.11.用反证法证明命题：“若，则或”的第一步应该先假设______.12.一元二次不等式的解集是，则______.13.关于x的不等式的解集M有下列结论，其中正确的是______.

①M可以是；②M可以是R；③M可以是；④M可以是14.已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为和，且，则实数______.15.若不等式的解集为，则实数a的取值范围是______.16.不等式有多种解法，其中之一是在同一直角坐标系中作出，的图像，然后求解，请类比求解以下问题：设a，，，若对任意，都有，则的取值范围是______.三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.本小题14分

求下列不等式解集.

18.本小题14分

已知集合，，全集

当时，求，；

若，求实数a的取值范围．19.本小题14分

一家新兴的医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划应用新技术生产一种新型的医疗器械；已知生产该产品的每年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产x台需另投入成本万元，且

由市场调研知，该产品每台的售价为200万元时，本年度内生产的该产品当年能全部销售完.

求年利润万元关于年产量x台的函数解析式利润=销售收入-成本；

当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？20.本小题18分

已知二次函数

若关于x的方程的两个实数根，满足，求实数t的值；

若对任意都有成立，求实数t的取值范围；

若关于x的方程在区间上有且仅有一个实数根，求实数t的取值范围.21.本小题18分

在平面直角坐标系中，两点、的“曼哈顿距离”定义为，记为如，点、的“曼哈顿距离”为9，记为

动点P在直线上，点，若，求点P的横坐标x的取值范围；

动点P在直线上，动点Q在函数图像上，求的最小值；

动点Q在函数的图像上，点，的最大值记为如，当点P的坐标为时，求的最小值，并求此时点P的坐标.

答案和解析1.【答案】D

【解析】本题考查必要条件，充分条件及充要条件的判定，属基础题.

结合充分条件和必要条件的定义进行判断．

解：因为，

，

所以“”是“”的充分不必要条件.2.【答案】D

【解析】解：当，时，不等式，的解集是；

当，时，不等式，的解集是R；

当时，不等式，的解集是；

当时，不等式，的解集是

不等式，的解集不可能是

故选

当，时，不等式，的解集是；当，时，不等式，的解集是R；当时，不等式，的解集是；当时，不等式，的解集是

本题考查一元一次不等式的解法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.【答案】D

【解析】解：因为集合，，

所以，

所以，，

因为，

所以S可以为，，，，，，，，共8个．

故选：

根据题意可得集合B，再结合子集的概念可列举出集合S的所有可能情况．

本题考查子集的应用，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．4.【答案】B

【解析】解：对于集合，，

可得当，即，可得，

即有，可得对任意a，是的子集；

当时，，，

可得是的子集，故A错误，B正确；

当时，，且，

可得不是的子集．

综上可得，对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集，故C错误，D错误．

故选：

运用集合的子集的概念，令，推得，可得对任意a，是的子集；再由，，求得，，即可判断B正确，A，C，D错误．

本题考查集合的关系的判断，注意运用二次不等式的解法，以及任意和存在性问题的解法，考查判断和推理能力，属于基础题．5.【答案】

【解析】解：全集为R，集合，

故答案为：

利用补集的定义直接求解．

本题考查集合的运算和补集的定义，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】

【解析】解：集合，

又Z是整数集，

故答案为：

利用交集的概念计算即可．

本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．7.【答案】4

【解析】解：因为，所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为

故答案为：4

直接利用基本不等式，即可得解．

本题考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．8.【答案】

【解析】解：是的充分条件，

，

实数m的取值范围是，

故答案为：

利用充要条件的定义求解即可．

本题考查了充要条件的应用，属于基础题．9.【答案】

【解析】解：，

，

又，

，

故的取值范围为

故答案为：

根据已知条件，结合不等式的可加性，即可求解．

本题主要考查不等式的性质，属于基础题．10.【答案】0或

【解析】解：因为集合A中有且仅有一个元素，即方程有一个根或者两个相等的实数根，

当时，方程仅有一个实数根，满足题意；

当时．，

解得

，

综上，或

故答案为：0或

由题意得方程有一个根或者两个相等的实数根，然后结合方程根的存在条件可求．

本题主要考查了元素与集合关系的应用，属于基础题．11.【答案】且

【解析】解：用反证法证明“若，则或”时，

第一步应先假设“且”．

故答案为：且

直接利用反证法的步骤，即可得到答案．

本题考查反证法的应用，考查命题的否定，是基础题．12.【答案】0

【解析】解：由题意可知的两个根分别是，且，

所以，解得，，

所以

故答案为：

利用三个二次关系计算即可．

本题考查了不等式的解集与对应方程关系的应用问题，是基础题．13.【答案】②④

【解析】解：对于①：假设结论成立，则，

解得，则不等式为，

解得，与解集是矛盾，故①错误；

对于②：当，时，不等式恒成立，则解集是R，故②正确；

对于③：当时，不等式，则解集不可能为，故③错误；

对于④：假设结论成立，则，

解得，此时不等式为，

解得，符合题意，故④正确．

故答案为：②④．

在假设结论成立时求出a，b值进行判断①④，举特例判断②③．

本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．14.【答案】

【解析】解：关于x的一元二次方程的两个实根分别为和，

，，

，

解得或，

当时，一元二次方程无解，

舍去．

故

故答案为：

利用韦达定理得到二次方程两个根之间的关系，再由已知，可得p的值．

本题主要考查了韦达定理的应用，属于基础题．15.【答案】

【解析】解：由题意可知，不等式对任意的恒成立，

由三角不等式可得，

则，即，解得，

因此，实数a的取值范围是

故答案为：

利用三角不等式得到，再解绝对值不等式即可．

本题主要考查绝对值不等式的性质，考查计算能力，属于基础题．16.【答案】

【解析】解：类比图像法解不等式，画出和，

若对任意都有，

则应为增函数，所以两个函数图像应如下图所示：

由图像得，解得，其中，，

所以，当且仅当时等号成立，

故的范围为

故答案为：

类比图像法，画出和的图像，根据图像列出方程即可．

本题主要考查不等式的求解，考查计算能力，属于中档题．17.【答案】解：由，

所以不等式解集为；

由，则或，

所以或，

故不等式解集为

【解析】将分式不等式化为求解集即可；

由公式法求绝对值不等式的解集．

本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．18.【答案】解：当时，，

所以，

由，知，

当时，，解得；

当时，，解得，

综上所述，实数a的取值范围为

【解析】把代入，可得集合A，再由并集和交集的运算法则，得解；

易知，再分和两种情况，列出关于a的不等式组，解之即可．

本题考查集合的运算，熟练掌握集合的关系与运算是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．19.【答案】解：由题意可得：当时，，

当时，

，

故；

①若，，

由二次函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，万元，

②若

，

当且仅当时，即时，万元．

所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元．

【解析】分和两种情况，两种情况，结合题意分析求解；

分和两种情况，根据二次函数性质结合双勾函数单调性计算最值，比较得到答案．

本题考查了函数在生活中的实际运用，也考查了二次函数的性质、利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．20.【答案】解：因为方程，即，

且方程的两根为和，所以，

解得或，

又因为，所以，

化简得，解得或舍去，所以

由题意得对恒成立，

则对恒成立，

即对恒成立，

设，则

当且仅当，即时等号成立，

所以，即，

所以t的取值范围是

当，即时，经检验满足题意；

当，即或时，

由，得，解得，

经检验不合题意；

综上知，t的取值范围是或

【解析】利用一元二次方程的韦达定理及判别式计算即可；

分离参数利用换元法结合基本不等式计算即可；

分类讨论方程根的情况结合二次函数根的分布计算即可．

本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：由已知，则概率“曼哈顿”定义得，

，，

当时，成立，解得；

当时，，解得，

当时，，解得，

综上所述点P的横坐标x的取值范围为

设出动点，，则，

，

，

当时，，

此时，

当时，，

此时，

当时，，

此时，

，

，

综合得，当，时取等号，

的最小值为

设，则，

若存在实数a，b，使得，则对任意成立，