苏版必修一2.4函数的单调性(学案含答案)

...wd......wd......wd...2.4函数的单调性一、考点突破1.若何求解函数的单调区间；2.利用函数的单调性求参数的取值范围。二、重难点提示重点：求函数的单调区间。难点：1.从数、形两种角度理解函数的单调性与最值；2.带参函数的最值问题，若何对参数进展讨论。◆函数的单调性增函数减函数定义一般地，设函数f〔x〕的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2当x1<x2时，都有f〔x1〕<f〔x2〕，那么就说函数f〔x〕在区间D上是增函数。当x1<x2时，都有f〔x1〕>f〔x2〕，那么就说函数f〔x〕在区间D上是减函数。图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的注意1.如果函数在区间上是单调递增函数或单调递减函数〔两者只能居其一〕，那么就说函数在区间上具有单调性。2.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。3.函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质。【方法提炼】判断函数单调性的基本方法——定义法①设元，任取，且；②作差；③变形〔通常是因式分解和配方〕；④定号〔即判断差的正负〕；⑤下结论。〔即指出函数在给定的区间D上的单调性〕例如a>0，函数f〔x〕＝x＋eq\f(a,x)〔x>0〕，证明函数f〔x〕在〔0，eq\r(a)〕上是减函数，在〔eq\r(a)，＋∞〕上是增函数。思路分析：可利用定义法讨论函数的单调性。用定义法证明函数单调性的步骤：取值→作差→变形→确定符号→下结论。答案：证明：设x1，x2是任意两个正数，且0<x1<x2，则f〔x1〕－f〔x2〕＝＝eq\f(x1－x2,x1x2)〔x1x2－a〕。当0<x1<x2<eq\r(a)时，0<x1x2<a，又x1－x2<0，∴，即，∴函数在〔0，eq\r(a)〕上是减函数。当eq\r(a)<x1<x2时，x1x2>a，又x1－x2<0，∴f〔x1〕－f〔x2〕<0，即f〔x1〕<f〔x2〕，∴函数f〔x〕在〔eq\r(a)，＋∞〕上是增函数。例题1假设函数f〔x〕＝eq\f(ax－1,x＋1)在〔－∞，－1〕上是减函数，求实数a的取值范围。思路分析：利用函数的单调性求参数的取值范围时，关键是要把参数看作数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，再与单调区间对比求参。答案：解：f〔x〕＝eq\f(ax－1,x＋1)＝a－eq\f(a＋1,x＋1)，设任意x1<x2<－1，则f〔x1〕－f〔x2〕＝－＝eq\f(a＋1,x2＋1)－eq\f(a＋1,x1＋1)＝eq\f(a＋1x1－x2,x2＋1x1＋1)又因为函数f〔x〕在〔－∞，－1〕上是减函数，所以f〔x1〕－f〔x2〕>0，由于x1<x2<－1，所以x1－x2<0，x1＋1<0，x2＋1<0，所以a＋1<0，即a<－1。故实数a的取值范围是〔－∞，－1〕。技巧点拨：函数单调性求参数的值或范围时，可以通过解不等式或转化为不等式恒成立问题求解；需注意的是，假设函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的。例题2设的定义域对于任意正实数恒有，且当时，〔1〕求的值；〔2〕求证：在上是增函数。思路分析：〔1〕求特殊点处的函数值可利用灵活赋值的方法解决。先求出的值，然后再利用2与互为倒数及求出的值。〔2〕由推出是解题的关键。答案：〔1〕解：令，代入到中，，解得令，代入到中，，又，。证据：任意取，且，则：，，又当时，，，即，∴在上是增函数。技巧点拨：对于抽象函数〔未给出具体解析式的函数〕的求值问题，需要根据题目给出的条件进展灵活赋值，求出需要求的函数值；抽象函数单调性的证明仍然采用单调性的定义以及结合题目来进展。【综合拓展】巧用函数单调性解不等式◆解函数不等式问题的一般步骤：①确定函数f〔x〕在给定区间上的单调性；②将函数不等式转化为f〔M〕<f〔N〕的形式；③运用函数的单调性“去掉〞函数的抽象符号“f〞，转化成一般的不等式或不等式组；④解不等式或不等式组确定解集；【总分值训练】函数假设求实数的取值范围。思路分析：画出函数的图象，结合图象可看出函数的单调性，再利用单调性将不等式中的“壳〞给去掉，形成关于的不等式。答案：解：画出函数的图象如下：由函数图象可知，在上单调递增，所以等价转化为，解得。技巧点拨：利用函数单调性解不等式的关键：准确判断出函数单调性，成功去掉这层外壳，把关于因变量之间的不等关系转化为关于自变量之间的不等关系。然后，解关于的简单不等式。课堂练习〔答题时间：30分钟〕一、填空题1.函数的最小值是__________。2.设函数则不等式的解集为________。3.函数〔〕〔1〕假设，则的定义域是___________；〔2〕假设在区间上是减函数，则实数的取值范围是________。4.函数假设关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是____________。5.设，假设时均有≥0，则_________。6.假设关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围是_______。7.〔1〕二次函数在上是增函数，则的取值范围是_________；〔2〕函数，假设，则实数的取值范围是______。8.假设不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是____________。二、解答题9.设是定义在R上的函数，对、恒有，且当时，。〔1〕求证：；〔2〕证明：时恒有；〔3〕求证：在R上是减函数；〔4〕假设，求的取值范围。1.2解析：画出的图象如下：由图可知，的最小值是2。2.解析：画出分段函数的图象如下：而，观察图象可知满足的解集。3.〔1〕；〔2〕解析：〔1〕要使得函数有意义，则，。又∵，∴，∴定义域为〔2〕令，，由在区间上是减函数得：，即①当时，，，，∴，，∴∴，即，符合题意。②当时为常数，不符合题意。③当时，，，∴，，∴，∴，即，不符合题意。④当时，，，∴，，∴，∴，即，符合题意。⑤当时，，不一定所有的有意义，不符合题意。综上所述，实数的取值范围为。4.〔0，1〕解析：画出分段函数的图象如下：是一条平行于轴的直线。要使得关于的方程有两个不同的实根，就要使得与的函数图象有两个交点。由图可知，。5.解析：令，要使得≥0，则与在同一点处的函数值同号，或同时为0。且与的零点一样又时，，∴时，，∴画出符合题意的函数图象如下：令，∴∴，即两边同时乘以，化简整理得：，又，∴。6.〔〕解析：观察方程可知有一个解为，所以关于的方程有四个不同的实数解等价于有三个不同的非零实数解。由得∴令，则与的图象有三个交点。画出符合条件的与的图象如以以下列图：由图可知：，∴。7.〔1〕；〔2〕解析：〔1〕画出符合题意的的图象如以以下列图：由图可知：二次函数的对称轴直线方程为，∴，。又∵，∴。〔2〕画出的图象如以以下列图：∵，又∵，∴，解得：。8.解析：令令，分别画出，的函数图象如下：要使得对任意实