第08讲-多项式乘法及平方差公式

第八讲多项式乘法及平方差公式要点归纳1.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的________________,再把所得的积_________________.2.同底数幂相除,底数_______________,指数_______________,即______________.(为正整数,且)3.任何一个不等于0的数的0次幂都等于______________,即.4.单项式除以单项式,把系数与同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式中含有的字母,则连同它的________________作为商的一个因式.5.多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项________________这个单项式,再把所得的商相加.6.两数和乘以这两个两数差,等于这两个数的_______________,即______________典例讲解经典再现1.多项式乘法例1计算(1)(2)(3)(4)【思路分析】运用多项式乘法法则进行计算时，必须做到不重不漏，所以在计算时，要按一定的顺序进行；另外当计算的式子中含混合运算时，要对每组的乘积先添上括号，然后再去括号，防止出现符号错误.解:(1)(2)(3)(4)【方法规律】多项式乘以多项式，必须把一个多项式中的每一项乘以另一个多项式中的每一项，不能漏乘，同时应注意符号和括号处理.2.同底数幂的除法例2计算:(1)(2)(3)(4)解：(1)(2)(3)(4)【方法规律】运用同底数幂的除法法则应注意：(1)被除式与除式的底数必须相同，且不为0(2)指数相减不要错用为相除(3)对底数互为相反数时，可先通过适当变形可化为同底数幂的除法3.零指数次幂例3下列各式不一定成立的是（）A.B.C.D.【思路分析】零指数次幂的应用要特别注意其条件-------底数不等于0,对于A,C,D三个选项的底数均不可能为0,而B选项中有可能为0,则此时不符合其条件解:B【方法规律】当指数为0时,一定要先判断其底数是否为0,若底数不为0,则结果为1;若底数为0,则无意义.4.单项式的除法例4计算:(1)(2)(3)(4)【思路分析】正确理解单项式除法的法则,对含有“”的应注意符号的运算，同时还要注意运算顺序解：(1)(2)(3)(4)【方法规律】单项式除以单项式时：(1)运算过程中要注意单项式的系数包含前面的符号，(2)被除式中单独含有的字母及其指数作为商的一个因式，不要遗漏5.多项式除以单项式例5计算：(1)(2)(3)【思路分析】(1)直接运用多项式除以单项式的法则进行计算，(2)先将被除式化简后再进行除法计算，（3）将看做一个整体，然后按多项式除以单项式的法则计算.解:(1)(2)(3)【方法规律】多项式除以单项式应注意三点:（1）多项式除以单项式所得商的项数与这个多项式的项数相同，不要漏项，（2）要熟练地进行多项式除以单项式运算，必须掌握幂的运算性质，因为幂的运算性质是其他运算的基础，（3）用多项式的每一项除以单项式时，要注意每一项的符号和单项式的符号6.平方差公式例6计算：(1)(2)(3)【思路分析】(1)根据平方差公式直接计算,(2)先明确完全相同项和互为相反数项,再计算,(3)挽写成两数和乘两数差的形式,再计算解:(1)原式(2)原式(3)原式【方法规律】(1)是平方差公式的基本形式,在应用时要善于运用其变式,如符号变式,系数变式,次数变式等,(2)构造平方差公式是快速计算某些有理数乘法的好方法,在构造时常用均值,即把两数(式)分别写成平均数与另一数的和或差相乘的形式拓展探究1.两个一次二项式相乘的规律探索例1(1)计算=1\*GB3①_________________=2\*GB3②__________________=3\*GB3③_________________=4\*GB3④_________________(2)由上面计算找规律,并填空:__________________【思路分析】根据多项式乘法法则计算,从计算结果的算式结构探寻其结构的规律解:(1)=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④(2)【方法规律】(1)型多项式的乘法是常见的多项式乘法,在后续的因式分解的知识中也经常见到该类型问题的逆向应用(2)型多项式的乘法的规律:两个一次项系数为1的一次二项式相乘,其结果是一个二次三项式,且二次项系数为1,一次项系数为两个常数项的和,常数项为两个因式的常数项的积,应注意熟记这一规律2.确定多项式中字母系数的值例2己知多项式展开后不含和项,求的值【思路分析】两个多项式相乘展开后不含某些项,即是指这些项的系数为0解:因为展开式中不含和项,所以,解得故的值分别为3和5【方法规律】求字母系数的值常运用方程思想,即依据题意列出关于字母系数的方程(组),然后通过解方程(组)来求出字母系数的值3.零指数幂的运用例3求满足的整数【思路分析】由题设中的右边为1，可知等式的左边有如下三种情况：=1\*GB3①不等于0的数的零次幂，=2\*GB3②1的任何次幂，=3\*GB3③的偶次幂.因此应分三种情况分则求解解:,或或解得,或或或,故的值为【方法规律】由往往仅联想到不等于0的数的0次幂等于1,而忽视了底数为的情况,乘方等于1的数有如下三类:第一类为1的任何次幂都为1,第二类为的偶次幂等于1,第三类为不等于0的数的0次幂等于1,解题切勿漏解4.整式的乘,除法的互逆关系的运用例4己知某个多项式除以多项式所得的商式为,余式为,求这个多项式.【思路分析】利用整式的乘法与除法互为逆运算的关系求解解:根据题意可知,所求的多项式为【方法规律】被除式,除式,商式和余式的关系为“被除式=除式商式+余式”例5己知多项式能被多项式整除，求的值【思路分析】由被除式与除式最高次项，可知商式的最高次项为x,所以商式可以设为,将与相乘可以得到与多项式相等的多项式,对比两个多项式对应项的系数,即可得到问题的答案.解:设等式右边展开并整理,得对比两边系数,得解得故的值分别为4和【方法规律】待定系数法是解决整式整除问题常用的方法,根据整除的意义设出商式,然后根据两多项式对应项的系数相等建立方程组求解5.整式的混合运算例6计算:【思路分析】按照整式混合运算的顺序进行计算.解:原式【方法规律】(1)遇到整式的乘除,加减,乘方等运算时,要注意顺序,即先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的,同级运算从左到右依次进行(2)整式的混合运算是本章的重点内容,解决此类问题的一般步骤是:=1\*GB3①审题,确定运算顺序,=2\*GB3②运用各种法则准确计算每一步,=3\*GB3③检验结果的正确性6.多项式的除法例7先阅读下到材料:已知,求的值【思路分析】解法1:解法2:又1)－x＋7＝9.解法3：先用竖式除法：∴x3－x2－x＋7＝(x－2)(x2＋x＋1)＋9＝9.例8解答下列问题：已知3x2－x＝1,求多项式9x4＋12x3－2x2－7x＋2013的值.【思路分析】先仔细阅读所提供的材料，不难发现三种解法的基本思路，由此可仿上述思路解决问题.解法1：∵3x2－x＝1,∴3x2－x－1＝0.9x4＋12x3－2x2－7x＋2013＝9x4－3x3－3x2＋15x3－5x2－5x＋6x2－2x－2＋2015＝3x2(3x2－x－1)＋5x(3x2－x－1)＋2(3x2－x－1)＋2015＝3x2·0＋5x·0＋2×0＋2015＝2015.解法2：∵3x2－x＝1,∴x2＝(x＋1),x2＝(x2＋x)＝[(x＋1)＋x]＝x＋，x4＝x2＋x＝×(x＋1)＋x＝x＋，∴9x4＋12x3－2x2－7x＋2013＝9×(x＋)＋12×（x＋）－2×(x＋1)－7x＋2013＝x＋＋x＋－x－－7x＋2013＝2015.解法3：先用竖式除法：∴9x4＋12x3－2x2－7x＋2013＝(3x2－x－1)(3x2＋5x＋2)＋2015.又∵3x2－x＝1,∴3x2－x－1＝0,∴原式＝(3x2－x－1)(3x2＋5x＋2)＋2015＝0·(3x2＋5x＋2)＋2015＝2015.【方法规律】已知多项式的值，求另一个多项式的值有三种思路：一是将待求多项式用含有已知多项式中的各高次项均用低次多项式表示，继而将待求多项式中的各高次项均用低次多项式表示，最后代入计算；三是用竖式除法表示，以待求多项式为被除式，以已知多项式为除式的整式除法的商式和余式继而求值.7.平方差公式的灵活运用例9计算:(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)＋1【思路分析】本题直接计算虽然看似相当繁杂，但从其结构来看，后一个因式的指数均是前一个因式的指数的2倍，且均为和的形式，由此联想到平方差公式，则缺少两数差这一个因式，而2＋1这个因式所对应的两数差2－1，其值恰好等于1，故可采用平方差公式来计算.解：原式＝（2－1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）（232＋1）＋1＝264【方法规律】本题灵活地运用了2－1＝1这个最简单的算式，使得整式算式显得更有规律，更简便，它是不是给人以四两拨千斤的感觉呢？望读者仔细体会.1.下列计算不准确的是（）A．(x＋1)(x＋4)＝x2＋5x＋4B.(a＋3)(a－4)＝a2＋7a－12C．(n－2)(n＋3)＝n2＋n－6D.(m－2)(m－3)＝m2－5m＋62.下列计算正确的是（）A.b10÷b5＝b2B.b6÷b3＝b2C.b2÷b2＝bD.b6÷b4＝b23.若8x6y4z÷()＝4x2y2,括号内应填()A.32x8y4zB.2x3y2C.2x4y2zD.2x3y2z4.计算(－4a3＋12a2b－8a3b2)÷(－4a2)A.a＋2ab2B.a－3b＋2ab2C.a＋3b＋2ab2D.a－3b＋a5.下列多项式中不能用平方差公式计算的是（）A．(－a－b)(－b＋a)B.(xy＋z)(xy－z)C.(－2a－b)(2a＋b)D.(x－y)(－y－x)6.长方形的一边长3m＋2n,；另一边比它长(m－n)，则这个长方形的面积是（）A．12m2＋11mn＋2n2B.12m2＋5mn＋2n2C.12m2－5mn＋2n2D.12m2＋11mn＋n27.如果(2x－3)0＝1，则x的取值范围是()A.x＝2B.x≠C.x≤D.x≥8.对任意整数n，按下列程序计算，则输出的答案为()A.nB.n2C.2nD.110.若x－y＝2,x2－y2＝6,则x＋y＝.11.计算(1)6x6y5z5÷(－3x2y3z)÷(－2x4yz4)(2)(25x3＋15x2－20x)÷(－5x)(3)(2x3y3－2x3y＋x4y)÷(－x3y)(4)(－a－b)(a－b)(5)(2x－3y)(3y＋2x)－(4y－3x)(3x＋4y)(6)a4＋(1－a)(1＋a)(1＋a2)12.运用平方差公式进行计算：(1)501×499；（2）40×39；（3）59.8×60.2（4）10022－998213.先化简，在求值;（1）[(3m＋4n)(3m＋2n)－2n(3m＋4n)]÷(－6m)，其中m＝1,n＝3.(2)(a＋b)(a－b)＋b(a＋2b)－b2,其中a＝1,b＝－2.14.解下列方程（不等式）：(1)2(x－3)(x－2)－(x＋4)(x－4)＞(x－3)(x＋6)(2)(2x－3)(3x－2)－5x(x－2)＝(x－3)(x＋3)B冲刺中考15.若1＜x＜3，则代数式x(1－x)(1＋x)的值（）A．大于0B.小于0C.非负数D.不确定16.已知m2＋2mn＝13,3mn＋2n2＝21,则(2m＋n)(m＋6n)－44的值为（）A．45B.55C.66