指数函数与对数函数单元教学设计

必修1指数函数与对数函数单元教学设计一、分析教学要素1.数学分析：本章内容是在学完函数概念以及函数基本性质后的情况下，较为系统地研究指数函数、对数函数，它是函数内容学习的继续和深入（第二阶段）．基本初等函数(指数函数、对数函数)是高中数学的基础，是刻画现实世界变化规律的重要模型，由于我们生活在充满变化的现实世界中，其中有一类具有重要的运动变化的关系，如GDP的增长问题、人口增长问题、细胞分裂、考古中所用的14C的衰减、药物在人体内残留量的变化等，结合实际问题，可以感受观察、抽象概括并建立数学模型的过程和方法，通过计算工具，感知指数函数、对数函数以及幂函数增长的差异，体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同的函数类型增长的含义．体会函数在数学和其他学科中的重要性，体现数学的应用价值．2.课标分析：《普通高中数学课程标准（2017年版）》本章是在上一章学习函数及其性质的基础上，具体研究指数函数、对数函数、这三个高中阶段重要的函数．这是高中函数学习的第二个阶段，目的是使学生在这一阶段获得较为系统的函数知识，并初步培养函数应用意识，为今后的学习打下坚实的基础，同时使学生对函数的认识由感性上升到理性．可以说这一章起到了承上启下的重要作用，本章所涉及到的一些重要思想方法，对学生掌握基础的数学语言，学好高中数学起着重要的作用．3.学情分析：（1）学生已有的知识分析：学生在以前学习中，已经经历过“数”的扩充过程，由正整数到整数，由整数到有理数，再由有理数到实数，从而形成一个优美的体系，本章继续体现这样扩充的思路，实现指数概念的扩充进而进一步研究幂函数概念，依据两个原则：①数学发展的需要；②基本运算能无限制地进行，把“指数函数、对数函数、幂函数”科学地组织起来，再一次体现充满在整个数学中的组织化、系统化的精神．4.教材分析：第四章的主要内容是指数函数、对数函数这二种函数模型.本章共分五大节，共16课时.第一大节指数与指数函数分2小节共4课时.该节首先引入整数指数幂和分数指数幂的概念.在初中已经学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念的基础上，本节复习了正整数指数幂、零指数、负整数指数幂的概念，并且复习了正整数指数幂的运算法则.有了这些知识，本章将指数幂的概念和运算性质逐步扩充到有理指数幂以及实数指数幂.接着通过两个具体的例子引入了指数函数，并对指数函数的图象和性质进行了研究.第二大节对数与对数函数分2小节，共5课时，该节首先学习对数和对数的运算法则，然后再学习对数函数及其图象和性质，对数函数的图象是在画指数函数图象的对应值表的基础上描绘的，对数函数同指数函数一样，是以对数概念和运算法则作为基础讲授的.接着，通过对指数函数与对数函数的关系的研究给出了反函数的含义，并对这两种函数的增长差异进行了比较.第三大节函数的应用（Ⅱ）也安排了4个课时，举例说明了指数函数、对数函数在经济学、物理学等领域中的应用.5.重点难点分析：单元教学难点：指数函数和对数函数的性质.单元教学重点：无理指数幂的含义以及指数和对数的关系.6.教学策略分析：为了有效的突破重难点，让学生提出真问题，开展真研究，而不人为地限定解决问题的思路与方法，不压缩学生的思维空间，真正做到以知识为载体，以研究为手段，促进学生核心素养的培育和发展．为了提高学生的研究能力，学生以四人一组开展小组合作探究．二、编制单元教学目标1.了解指数函数模型的实际背景2．理解有理数指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质．3．经历由指数得到对数的过程，理解对数的概念，掌握对数的运算性质．4．经历由正整数指数函数逐步扩充到实数指数函数的过程，由指数函数的概念、图象与性质得到对数函数的概念、图象与性质的过程，并通过具体实例去了解指数函数模型、对数函数模型的实际背景，掌握指数函数和对数函数的概念、图象以及性质．5．收集现实生活中普遍使用的指数函数和对数函数的模型实例，了解它们的广泛应用．6．利用计算工具、比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．7．了解指数y=ax(a>0，且a≠1)与对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的图象关系，初步了解指数函数和对数函数互为反函数的关系．8．引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数、幂函数等与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．9．鼓励学生运用现代信息技术学习、探索和解决问题．例如，利用科学计算器、计算机画出指数函数、对数函数和幂函数的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质．三、设计单元教学过程§4.3.对数及其运算（共2课时）基于以上学习内容分析、学生认知分析和教学目标，按3个课时对本单元教学过程设计如下.1.呈现背景，提出问题为了适应航海事业的发展,需要确定航程和船舶的位置，为了适应天文事业的发展，需要处理观测行星运动的数据，就是为了解决很多位数的数字繁杂的计算而产生了对数．恩格斯曾把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为17世纪数学的三大成就，给予很高的评价.本单元对数的定义和运算性质的目的主要是为了学习对数函数．对数概念与指数概念有关，是在指数概念的基础上定义的，在一般对数定义(a>0,a≠1)之后，给出两个特殊的对数：一个是当底数时，称为常用对数，简记作；另一个是底数(一个无理数)时，称为自然对数，简记作．这样既为学生以后学习或读有关的科技书给出了初步知识，也使教材大大简化，只保留到学习对数函数知识够用即可．分析联想，寻求方法．对数作为一种运算，由引出，在这个式子中，已知一个数和它的指数，求幂的运算就是指数运算；而已知一个数和它的幂，求指数的运算就是对数运算(而已知指数和幂求这个数的运算就是开方运算)；所以从方程角度来看待的话，这个式子有三个量，知二求一．恰好可以构成以上三种运算，所以引入对数运算是很自然的，也是很重要的，也就完成了对的全面认识对于对数概念的学习，一定要紧紧抓住与指数之间的关系，首先从指数式中理解底数和真数的要求；其次对于对数的性质及零和负数没有对数的理解，也可以通过指数式来证明、验证；在理解对数概念后能完成指数式和对数式的互化。对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式与指数形式的互化又是解决问题的重要手段．对数作为一种运算，重要的是把握运算法则，以便正确完成各种运算，由于对数与指数在概念上相通，使得对数法则的推导应借助指数运算法则来完成，推导过程又加深了指对关系的认识，自然应成为本节的重点，特别予以关注．3.推理论证，得出结论理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化；掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题；能较熟练地运用法则解决问题；渗透应用意识，培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力．对数既是一个重要的概念，又是一种重要的运算，而且它是与指数概念紧密相连的．它们是对同一关系从不同角度的刻画，表示为：当时，．所以指数式中的底数，指数，幂与对数式中的底数，对数，真数的关系可以表示如下：本节的教学重点是对数的定义；对于运算法则的探究，可以通过对具体例子的提出，让形式的认识由感性上升到理性，由特殊到一般归纳出法则，再利用指数式与对数式的关系完成证明，而其他法则的证明应引导学生利用已证结论完成，强化“用数学”的意识．对运算法则的认识，首先可以类比指数运算法则对照记忆，其次强化法则使用的条件或者说成立的条件是保证左，右两边同时都有意义，因此要注意每一个对数式中字母的取值范围．最后还要让学生认清对数运算法则可使高一级的运算转化为低一级的运算，这样不仅加快了计算速度，也简化了计算方法，显示了对数计算的优越性．三、本单元所需教学资源的概述对数既是一个重要的概念，又是一种重要的运算，而且它是与指数概念紧密相连的．它们是对同一关系从不同角度的刻画，表示为：当时，．所以指数式中的底数，指数，幂与对数式中的底数，对数，真数的关系可以表示如下：本节的教学重点是对数的定义；对数作为一种运算，由引出，在这个式子中，已知一个数和它的指数，求幂的运算就是指数运算；而已知一个数和它的幂，求指数的运算就是对数运算(而已知指数和幂求这个数的运算就是开方运算)；所以从方程角度来看待的话，这个式子有三个量，知二求一．恰好可以构成以上三种运算，所以引入对数运算是很自然的，也是很重要的，也就完成了对的全面认识．对数作为一种运算，重要的是把握运算法则，以便正确完成各种运算，由于对数与指数在概念上相通，使得对数法则的推导应借助指数运算法则来完成，推导过程又加深了指对关系的认识，自然应成为本节的重点，特别予以关注．四、本单元学时建议本单元学时建议安排三学时，即对数的概念、对数的运算性质、对数的换底公式及其推论．例如：三、教学内容安排：教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题为什么学习对数?由指数函数中的细胞分裂问题，引出细胞分裂第次后，细胞的个数；如果知道细胞分裂若干次后的个数为，如何求出分裂次数；这就是已知底数和幂，要求指数的问题；网上查询对数产生的背景增加学生学习兴趣复习引入初中如何认识和学习根式由学生来复习讲解根式发挥学生的主动性概念形成(1)如果a(a＞0且a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．（2）对数的性质有：1)1的对数等于零；2)底的对数等于1；3)零和负数没有对数．（3）通常将以10为底的对数叫做常用对数；以e为底的对数叫做自然对数，log10N可简记为lgN，logeN简记为lnN．式子名称N指数式底数指数幂值对数式底数对数真数可以由学生自己阅读课文的方式给出定义让学生理解对数的引出的必要性和合理性概念深化(1)在对数定义中，为什么也要限定a＞0且a≠1?答：因为对数概念源出于指数，对数式logaN＝b是由指数式ab＝N转化而来，对数的底数就是指数的底数，而ab＝N中要使它对任意实数b都有意义，必须a＞0且a≠1，所以对数式中也必须要求a＞0且a≠1．（2）为什么1的对数等于零，底的对数等于1，零和负数没有对数？答：当a＞0且a≠1时，a0＝1，即a的零次幂为1，所以0就是以a为底1的对数；a1＝a，即a的1次幂为a，所以1就是以a为底a的对数；在ab＝N中，对任意实数b，都有ab＞0，即N＞0，所以不存在实数b，使ab≤0，即零和负数是没有对数的．（3）的关系由学生来提出疑问讨论方式解答最终转化成学生的能力应用举例地震级别定义，离子浓度，噪音分贝单位等学生上网查询理解数学的应用性归纳总结类比联想理解新知识讨论提升理解第二学时：对数的运算性质教学内容安排教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入练习：已知lg3＝m，lg5＝n，求1003m－2n的值．解：∵lg3＝m，lg5＝n∴10m＝3，10n＝5．∴1003m－2n＝102(3m－2n)＝106m÷104n＝(10m)6÷(10n)4＝36÷54＝巩固知识，确定教学起点公式形成及深化1．如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．2．对数的运算性质用语言叙述为：两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和；两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差；一个正数的n次幂的对数等于这个正数的对数的n倍．师生讨论1．对数运算性质的实质是什么？答：对数运算性质的实质是可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘运算，从而降低了运算难度，加快了运算速度，简化了计算方法．2．运用对数运算性质时应注意什么？答：运算性质只有当M＞0，N＞0，a＞0且a≠1时才有意义，如log220＝log2［(－4)×(－5)］是成立的，但log2［(－4)×(－5)］＝log2(－4)＋log2(－5)就不成立，这是因为log2(－4)和log2(－5)没有意义．强调真数大于零使学生掌握对数运算性质和法则说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式①简易语言表达：“积的对数=对数的和”……②有时逆向运用公式：如③真数的取值范围必须是：是不成立的是不成立的④对公式容易错误记忆，要特别注意：，教学环节［例1］(1)用lg2和lg3表示lg75．(2)用logax，logay，logaz表示loga［例2］求证：(1)lg5＝1－lg2，(2)logab·logba＝1(a＞0且a≠1，b＞0且b≠1)解：(1)lg75＝lg(25×3)＝lg(52×3)＝2lg5＋lg3＝2lg＋lg3＝2(1－lg2)＋lg3＝2－2lg2＋lg3(2)原式＝loga(x4·)－loga＝4logax＋loga(y2z)－loga(xyz3)＝4logax＋(2logay＋logaz)－(logax＋logay＋3logaz)＝logax＋logay－logaz证明：(1)∵lg5＋lg2＝lg10＝1∴lg5＝1－lg2．(2)设logab＝p，则ap＝b∴a＝b∴＝logba∴logab·logba＝·p＝1用已知对数表示未知对数，就是把要表示的对数的真数分解成已知对数的真数的积、商、幂的形式，然后用对数的运算性质．注意运算性质只有在同底的情况下才能运算．第(2)题中没有指明a、x、y、z的范围，这时我们就认为是使每个对数符号都有意义的a、x、y、z的最大范围，即a＞0且a≠1，x＞0，y＞0，z＞0．证明对数等式时，首先考虑运算性质，如果不能运用性质，则应考虑把对数式化成指数式，然后用指数运算性质变形后再化成对数式．应用举例1、设a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，n∈R且n≠0，则下列等式正确的是()A．loga(M＋N)＝logaM＋logaNB．loga(M－N)＝logaM－logaNC．loga(MN)＝logaM·logaND．loga＝logaM2、下列各等式中正确运用对数运算性质的是()A．lg(x2y)＝(lgx)2＋lgy＋B．lg(x2y)＝(lgx)2＋lgy＋2lgzC．lg(x2y)＝2lgx＋lgy－2lgzD．lg(x2y)＝2lgx＋lgy＋lgz3、求下列各式的值(1)log354－log32＝______；(2)lg1000－lg100＋lg10－lg＝______；(3)log4＋log4＝______；(4)log24·log42＝______．4、用log32表示log96．5、已知a＋b＝lg32＋lg35＋3lg2·lg5，求a3＋b3＋3ab的值．解析：运用幂的运算性质：loga＝logaM＝logaM．解析：lg(x2y)＝lgx2＋lgy＋lgz＝2lgx＋lgy＋lgz解析：(1)原式＝log3＝log327＝3(2)原式＝3－2＋1－(－1)＝3(3)原式＝log44－1＋log4＝－1＋log44＝－1－＝－(4)原式＝log222·log44＝2×＝1．解：∵log96＝log9(2×3)＝log92＋log99＝＋log92令log92＝b，则9b＝2，即(3b)2＝2∴3b＝，∴log3＝b，即b＝log32＝log32．∴log92＝b＝log32∴log96＝＋log32解：∵a＋b＝(lg2＋lg5)(lg22－lg2lg5＋lg25)＋3lg2·lg5＝lg22－lg2lg5＋lg25＋3lg2lg5＝(lg2＋lg5)2＝1．∴a3＋b3＋3ab＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋3ab＝a2－ab＋b2＋3ab＝(a＋b)2＝1．强化公式及其应用归纳总结1．准确地掌握对数的运算性质是正确地进行对数运算的前提，利用对数运算，可以把通过乘、除、乘方、开方运算得到的积、商、幂的对数转化为对数的加、减、乘、除运算，从而显示了利用对数计算的优越性．2．正确地进行对数运算，要注意底和真数的关系，将真数转化为积、商、幂，并注意对数性质和对数的两个恒等式的运用．3．掌握对数运算性质的正用、反用，了解运算性质的变形用法．．第三学时：对数的换底公式及其推论教学内容安排教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．学生回答调动学生参与课堂教学的主动性公式推导定义：一般地，如果的b次幂等于N,就是，那么数b叫做以a为底N的对数，记作，a叫做对数的底数，N叫做真数推论：证明：(1)logb＝logab；(2)logab＝．探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中N>0）⑵，∵对任意且,都有∴同样易知：⑶对数恒等式如果把中的b写成,则有⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数为了简便,N的常用对数简记作lgN例如：简记作lg5;简记作lg3.5.⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数简记作lnN例如：简记作ln3;简记作ln10（6）底数的取值范围；真数的取值范围证明：(1)设logab＝p，则logab＝np即(an)p＝b∴logb＝p因此loganb＝logab(2)设lgb＝p，lga＝q，则10p＝b，10q＝a∴logab＝即lgab＝初步对公式理解典型例题［例1］求下列各式的值：(1)log84；(2)lg25＋lg8＋lg5·lg20＋lg22．［例2］(1)若lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg；(2)已知log189＝a，18b＝5试用a，b表示log365．［例1］解：(1)log84＝log2322＝(2)lg25＋lg8＋lg5·lg20＋lg22＝lg25＋lg8＋lglg(10×2)＋lg22＝lg100＋(1－lg2)(1＋lg2)＋lg22＝3［例2］解(1)lg＝lg3＝lg3＋lg＝lg3＋lg＝lg3＋(1－lg2)＝0.4771＋(1－0.3010)＝0.8266(2)由18b＝5得log185＝b∴log365＝由指数式和对数式的互化推导出了对数的运算性质，对于对数的运算性质要熟练掌握，并能够灵活应用，在求值的过程中，要注意公式的正用和逆用．例1(2)利用了换底公式和指数式化为对数式，充分体现了换底公式的作用归纳总结1．将对数运算性质变形出另外几种表现形式，再推导出对数换底公式后，进行对数运算时更加简便快捷，同时也提醒我们在进行对数运算过程中，如果运算性质不能直接运用时，可以通过先化成指数式，变形后再化成对数式的方法达到计算的目的．2．如果同底的幂相等，幂指数必定相等，同样可知如果两个同底的对数相等，真数也必相等．但在去掉对数符号的同时，一定注明真数大于零．而指数式可以在等式两边取对数，这也是常用的解题技巧．学生总结，老师补充调动学生参与课堂教学的主动性§4.4.对数函数教学设计方案教学设计对数函数是数学中常见的、经典的函数模型之一；在统计数据的处理尤其是时间序列数据、经济数据的处理中，利用对数函数的性质经常利用对数变换的手段消除数据的异方差；对数函数是中学数学中的一个非常重要的基本函数模型，是帮助学生深刻理解函数概念和函数图象的载体；由于学生在前几节课已经学习了指数运算、指数函数和对数运算，已经初步了解对数运算是指数运算的逆运算，因此从指数函数的解析式变换出对数函数解析式已无任何困难，但是在讲授时需要通过具体例子让学生理解为什么要建立对数函数模型；引导学生根据函数定义分析对数函数关系和变量关系的差异，即所表达的两变量x和y之间的关系相同，但是如果确定自变量和因变量以后，它们所表示的函数关系不同，从而从更深层次理解函数的概念；对数函数及其图象有许多良好的性质，经常成为中学数学中构造综合问题的工具；作为一种函数模型，学生对对数函数作用的理解可能不如一次、二次函数模型来得直观，因此理解引入对数函数关系可能有一定困难；不同底数的对数函数图象的分布之间的关系与同一个对数函数的内部变化趋势的区别对于初学者来说有一定困难.对数函数是学生学习函数以来遇到的第一个自然定义域受运算规则限制而解析式本身又不易看出的函数，因此对这一新的运算符号的理解和应用，影响着学生对对数函数自然定义域的理解程度，因此需要反复强调和练习，形成熟能生巧的技能.3.应注意的问题（1）对数函数的引入与过渡教材有了明显的变化，教师在教学中应充分重视.（2）在画函数图象时，有条件的学校可以让学生利用计算器或计算机，这样既可以节约时间，又可以增强学生的学习兴趣.（3）在探究活动中，有条件的学校可以利用《几何画板》等软件.（4）对数函数的图象和性质应用举例中例2明显多了对数不等式的解法，过渡教材没有，应对对数不等式的解法重点强调并落实.（5）分类有助于处理大量繁杂的事物，从而有条理地思考，因此，在让学生观察对数函数图象并总结其单调性和特殊点时，建议引导学生按不同的底数进行适当的分类.4.教学流程图从对数函数的实际背景引入课题从对数函数的实际背景引入课题构建对数函数的概念画对数函数的图象探索对数函数的性质课堂小结与作业5.教学过程1）问题情境1：考古学家通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡生物体的残留物，利用估算出土文物或古遗址的年代，那么，对应关系（）能否构成函数？（为引出对数函数概念作准备）（教师组织学生思考、讨论所提出的问题，引导学生从函数定义出发解释实际问题中变量之间的关系.学生思考、讨论后推举代表回答问题.）2）给出对数函数的定义3）问题情境2：你能类比前面讨论指数函数的思路，提出研究对数函数的方法吗？（教师引导学生回顾指数函数的一些性质，让学生能明确函数图象在研究函数性质中的作用，注意从特殊到一般和数形结合思想方法的应用，渗透概括能力的培养.）4）问题情境3：如何在同一平面坐标系中画出数函数和的图象？（学生独立画图，互相交流.教师课堂巡视，个别辅导，展示画得较好的部分学生的图象.）5）问题情境4：从图象中你能发现函数和的图象有什么关系？可否利用的图象画出的图象？（教师投影展示课本图3-3，让学生观察图象，发表自己的发现，在教师引导下概括出借助对称性画图象的方法.）6）探究活动：选取函数的若干个不同的值，在同一平面画坐标系内作出相应对数函数的图象，观察图象，你能发现它们有何共同特征？（分组动手作图，讨论研究，为归纳对数函数的性质作铺垫）7）问题情境5：你能利用对数函数的图象归纳出对数函数性质吗？（学生通过上述探究活动，观察图象，得出性质，相互交流，形成对对数函数性质的认识，渗透从特殊到一般的思想方法.）11）教师引导学生对本课进行小结.12）课后作业：练习B第1、2题四、教学资源建议教材、教参、多媒体计算机、几何画板、直尺五、课时建议1课时.若课时紧，可以在习题课上再落实部分对数函数的图象和性质应用举例.六、教学方法与学习指导策略采用启发式讲授法.观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究、合作交流的教学方法，通过各种教学媒体（如计算机或计算器），调动学生参