2024-2025学年云南省大理市大理白族自治州高二上学期10月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年云南省大理市大理白族自治州高二上学期10月月考数学检测试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1复数，则（）A.1 B.2 C. D.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.3.已知直线和两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（）A若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则4.某单位职工参加某APP推出的“二十大知识问答竞赛”活动，参与者每人每天可以作答三次，每次作答20题，每题答对得5分，答错得0分，该单位从职工中随机抽取了10位，他们一天中三次作答的得分情况如图：根据图，估计该单位职工答题情况，则下列说法正确的是（）A.该单位职工一天中各次作答的平均分保持一致B.该单位职工一天中各次作答的正确率保持一致C.该单位职工一天中第三次作答得分的极差小于第二次的极差D.该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差5.设x，y∈R，向量，且，则（）A B. C.3 D.6.魏晋南北期时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率约为，和真正的值相比，误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才给打破.已知的近似值还可以表示成，则的值为（）A. B. C.8 D.167.奇函数在区间上单调递增，且其图象经过点，则不等式的解集为（）A. B. C. D.8.如图，在直三棱柱中，，已知与分别为和的中点，与分别为线和上的动点（不包括端点），若、则线段长度的取值范围为（）A.[) B.[] C.[) D.[]二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“点数为4”，事件“点数为奇数”，事件“点数小于4”，事件“点数大于3”，则（）A.与互斥 B.与互斥C.与对立 D.与对立10.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（）A.的最小正周期为B.直线是图象的一条对称轴C.在上单调递增D.图像关于原点对称11.已知三棱锥的底面是直角三角形，平面，，则（）A.三棱锥外接球表面积为B.三棱锥外接球的表面积为C.三棱锥内切球的半径为D.三棱锥内切球的半径为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.正方形边长为，以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为_______．13.已知，则的最小值为____________．14.如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，，．若方向上的单位向量为，则在向量方向上的投影向量为______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．15.如图，在三棱柱中，D，E分别为和AB的中点，设，，.（1）用表示向量；（2）若，，，求.16.已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，．（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离．17.在中，角的对边分别为，且.（1）求角：（2）若，角的平分线交于点，且满足，求的面积.18.如图，在四棱锥中，平面，，，且，，．（1）求证：；（2）在线段上，是否存在一点M，使得二面角的大小为，如果存在，求与平面所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．19.设函数的定义域为，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称为的一个“Ω区间”.性质1：对任意，均有；性质2：对任意，均有.（1）分别判断说明区间是否为下列两函数的“Ω区间”；；.若是函数“Ω区间”，求的取值范围.2024-2025学年云南省大理市大理白族自治州高二上学期10月月考数学检测试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.复数，则（）A.1 B.2 C. D.【正确答案】A【分析】由复数的运算化简已知等式，再由共轭复数和复数的关系求出共轭复数的模长即可.【详解】由已知可得，所以，所以，故选：A.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】先解不等式确定集合的元素，再利用集合的并集运算即可求解.【详解】由，解得，所以，因为，得，所以，故.故选:C．3.已知直线和两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【正确答案】D【分析】由直线与平面，平面与平面的位置关系判断即可.【详解】对于A选项，若，则可能与平行，故A错误；对于B选项，若，则可能与平行或者在平面内，故B错误；对于C选项，若，则可能平行或者相交，则C错误；对于D选项，由面面平行以及线面垂直的性质可知，D正确；故选：D本题主要考查了直线与平面，平面与平面的位置关系，属于基础题.4.某单位职工参加某APP推出“二十大知识问答竞赛”活动，参与者每人每天可以作答三次，每次作答20题，每题答对得5分，答错得0分，该单位从职工中随机抽取了10位，他们一天中三次作答的得分情况如图：根据图，估计该单位职工答题情况，则下列说法正确的是（）A.该单位职工一天中各次作答的平均分保持一致B.该单位职工一天中各次作答的正确率保持一致C.该单位职工一天中第三次作答得分的极差小于第二次的极差D.该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差【正确答案】D【分析】根据给出统计图数据，分别计算出三次作答的平均分、正确率、极差、标准差，即可作出判断．【详解】由题可得，该单位抽取的10位员工三次作答的得分分别为：1号员工2号员工3号员工4号员工5号员工6号员工7号员工8号员工9号员工10号员工第一次作答65808580909090859090第二次作答80859090959095909595第三次作答8590959510010010095100100对于A：第一次作答的平均分为：，第二次作答的平均分：，第三次作答的平均分：，故该单位职工一天中各次作答的平均分不一致，故A错误；对于B：第一次作答的正确率：，第二次作答的正确率：，第三次作答的正确率：，故该单位职工一天中各次作答的正确率不一致，故B错误；对于C：该单位职工一天中第三次作答得分的极差：，该单位职工一天中第二次作答得分的极差：，故该单位职工一天中第三次作答得分的极差等于第二次的极差，故C错误；对于D：该单位职工一天中第三次作答得分的标准差：，该单位职工一天中第一次作答得分的标准差：，故该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差，故D正确，故选：D．5.设x，y∈R，向量，且，则（）A. B. C.3 D.【正确答案】B【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果.【详解】解：向量，且，∴，解得∴，∴，选项B正确.故选：B．6.魏晋南北期时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率约为，和真正的值相比，误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才给打破.已知的近似值还可以表示成，则的值为（）A. B. C.8 D.16【正确答案】B【分析】利用的近似值是代入化简，即得结果.【详解】由已知的近似值是代入得，.故选：B.7.奇函数在区间上单调递增，且其图象经过点，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据函数的奇偶性与单调性得：，解不等式即可.【详解】因为为奇函数，且，所以；又在区间上单调递增，所以，有，即，解得.故选：D8.如图，在直三棱柱中，，已知与分别为和的中点，与分别为线和上的动点（不包括端点），若、则线段长度的取值范围为（）A.[) B.[] C.[) D.[]【正确答案】A【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设出的坐标，根据已知条件求得参数之间的关系，并建立关于参数的函数关系式，求其值域即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，设点坐标为，，故，因为，故可得，则，由可得，又，故,故当时，取得最小值；又当时，，但无法取到，则无法取到；综上，线段DF长度的取值范围为.故选：A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“点数为4”，事件“点数为奇数”，事件“点数小于4”，事件“点数大于3”，则（）A.与互斥 B.与互斥C.与对立 D.与对立【正确答案】ABD【分析】利用互斥事件和对立事件的概念求解.【详解】事件“点数为4”与“点数为奇数”不能同时发生，所以与互斥，A正确.事件“点数为4”与“点数小于4”不能同时发生，所以与互斥，B正确.事件“点数为奇数”的对立事件是“点数为偶数”，不是“点数大于3”，C错误.事件“点数小于4”的对立事件是“点数不小于4”，即“点数大于3”，与对立，D正确.故选：ABD.10.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（）A.的最小正周期为B.直线是图象的一条对称轴C.在上单调递增D.图像关于原点对称【正确答案】ACD【分析】利用三角函数图象变换规律得出，利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；计算的值可判断B选项；由，在的单调性可判断C选项；利用奇函数的定义可判断D选项.【详解】将函数图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象.对于A选项，函数的最小正周期为，A选项正确；对于B选项，，B选项错误；对于C选项，，则，，在上单调递增，C选项正确；对于D选项，函数的定义域为，，所以，函数为奇函数，D选项正确.故选：ACD.11.已知三棱锥的底面是直角三角形，平面，，则（）A.三棱锥外接球的表面积为B.三棱锥外接球的表面积为C.三棱锥内切球的半径为D.三棱锥内切球的半径为【正确答案】AC【分析】根据三棱锥特征构造长方体求出外接球半径，求得表面积，再由等体积法求出内切球半径.【详解】由题意可知，，两两垂直，则三棱锥外接球的半径满足，从而三棱锥外接球的表面积为，故A正确，B错误.由题意可得三棱锥的体积，三棱锥的表面积.设三棱锥内切球的半径为，因为V=1所以，则C正确，D错误.故选：AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.正方形边长为，以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为_______．【正确答案】【分析】得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积.【详解】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：，故答案.13.已知，则的最小值为____________．【正确答案】3【分析】由基本不等式即可求解.【详解】,当且仅当时，等号成立故314.如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，，．若方向上的单位向量为，则在向量方向上的投影向量为______．【正确答案】【分析】根据题意结合垂直关系可得，，结合投影向量的定义分析求解.【详解】因为平面平面，平面平面，平面，，可得平面，且平面，则，又因为平面，平面，则，故在方向上的投影向量为．故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．15.如图，在三棱柱中，D，E分别为和AB的中点，设，，.（1）用表示向量；（2）若，，，求.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）结合已知条件，利用空间向量的运算法则即可求解；（2）由空间向量数量积的运算律计算可得结果.【小问1详解】根据题意可得；【小问2详解】易知，且，显然，；所以.16.已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，．（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离．【正确答案】（1）证明见解析（2）.【分析】（1）以所在直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出相关向量的坐标，利用向量数量积证明线面垂直，继而可证明结论.（2）利用向量法求得平面的法向量，根据距离的向量求法求点到平面的距离．【小问1详解】证明：平面，为正方形，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系．由已知可得，，，，为的中点，，所以，，，所以，所以，又点为中点，，所以，，平面，平面，又因为平面,故平面平面．【小问2详解】设平面的法向量为，则令，则，，，设点到平面的距离为d，,点到平面的距离为．17.在中，角的对边分别为，且.（1）求角：（2）若，角的平分线交于点，且满足，求的面积.【正确答案】（1）（2）3【分析】（1）根据题意结合正弦定理、三角恒等变换分析求解；（2）由角平分线性质可得，利用余弦定理解得，，结合面积公式运算求解.【小问1详解】因为，整理得，由正弦定理可得：，且，则，可得，即，且，可得.【小问2详解】因为为角的角平分线，则，即，由余弦定理可得，即，解得或（舍去），则，所以的面积.18.如图，在四棱锥中，平面，，，且，，．（1）求证：；（2）在线段上，是否存在一点M，使得二面角的大小为，如果存在，求与平面所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．【正确答案】（1）证明见解析（2）存在；【分析】（1）利用直角梯形的性质求出，的长，根据勾股定理的逆定理得出，由平面得出，故平面，于是；（2）假设存在点，做出二面角的平面角，根据勾股定理求出到平面的距离从而确定的位置，利用棱锥的体积求出到平面的距离，根据勾股定理计算，则即为所求角的正弦值．【小问1详解】证明：如图，由已知得四边形ABCD是直角梯形，由，，可得是等腰直角三角形，即，∵平面，∴，又平面PAC,∴平面，∴．【小问2详解】(方法1)过点M作交于点N，则，∵平面，∴平面．