2024年北京昌平区初三二模数学试卷和答案解析

2024年昌平区初中学业水平考试第二次模拟练习

数学试卷

本试卷共8页，共100分,考试时长为120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，

在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题（每小题2分，共16分）第1・8题均有四个选项，符合题意的选项

只有一个.

1.2024年2月5日至25日，人民网连续第23次开展全国两会调查，调查围绕10个领域设

其49个候选热词.本次调查广纳民情民意，吸引约6150000人次参与，其e6150000用

科学记数法可以表示为（）

A.6.15X105B.6.15x10。C.0.615xl06D.

0.6I5X107

2.卜.列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）

3.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射.由

于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，Z1=45。./2=120°,

4.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）

,...........b、「

-4-3-2-10I234

A.b=5/7B.av—bC.网<_aD.

a+b>0

5.正多边形的一个外角是60°,那么这个正多边形是（）

A.正四边形B.正六边形C.正八边形D.正十边形

6.已知关于x的一元二次方程/一2工+〃?=0有两个实数根，则〃，的取值范围是（)

A.m<\B.>1C.w£1D.ni>1

7.在不透明的袋子里有三个除颜色外其它都相同的小球，两个红球，•个黄球，从中随机

同时取出两个小球，其中取到一个红球一个黄球的概率为（）

A—B.-C.!D.I

362

8.如图，AA为半圆O的直径，C,0是直径上两点，且AC=8O,过点。作A8的

垂线交半圆于点£，CD=2DE.设AO="，AC=O，DE=c,给出下而三个结论：

①。一〃=2c；②£：：：—：③a+b=?无c.所有正确结论的序号是（）

ac

A.①@B.砥）C.②（③D.①②

二、填空题（木题共16分，每小题2分）

9.使代数式行工有意义的x的取值范围是.

10.分解因式：3x2+6xy+3y2=.

32

H.分式方程士=--解是.

xx-1

12.在平面直角坐标系工冲中，若点（I,⑼和（4.2）在反比例函数丁=勺&。0）图象上，则

机=.

13.如图.点。为。。外一点，过点。件OO的两条切线.切点分别为4△.点C为优菰

A8上一点，若NP=800,则/AC8=

----------

P

14.2024年3月12日，是我国笫46个植树节，今年植树节的主题是“共司呵护地球家

园，筑造美丽未来”.下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，

请你估计植树位期间，种植杨树的成活率大约为（结果保留两位小数）.

第一批次第二批次第三批次第四批次第五批次

种植数量200200200200200

成活数量194193192196195

成活频率0.9700.9650.9600.9800.975

15.图I是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm,其

它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为ctn.

ffll图2

图I图2

16.某学校为丰富学生的课余生活，组织校园篮球赛，初三年级6个班进行单循环比赛（即

每班都与其他班比赛一场），每天同时在三个场地各进行一场比赛.已知笫一天（2）班与（4）

班比赛，第二天（3）班与（5）班比赛，第三天（4）班与（6）班比赛，笫四天（2）班与

（3）班比赛，那么第三天与（3）班比赛的是班，笫五天与（1）班比赛的是

__________班.

三、解答题（本题共68分，第17・22题，每小题5分，第23・26题，每小题6

分，27・28题，每小题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.计算：我+（目-2sin45°+|l-x/2|.

3X-8>A（I）

18.解不等式组：43.・1〜

2

19.已知求代数式（1「I〕+21的值.

lx-1）x--\

20.如图，在四边形A8CO中，AB//CD，AB=ADt对角线AC,8。交于。，AC平

”分NBAD.

（I）求证，四边形ARCD是菱形：

（2）过点C作八8的垂线交其延长线于点E,若80=6，lan/Q4"=23,求CE的长.

4

21.如图，初三年级准备制作一个长8.5m的横幅，横幅内容定为16个字，对横

场的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：

字宽：字距=3:4:1,试求横幅字距是多少？

边空宽字柜边空宽

E3b□□…力

22.在平面点角坐标系x。、'中，一次函数y=k+〃U#0）的图象是由函数）=2丫的图象平

移得到，且经过点（I,3）.

（I）求这个一次函数的表达式；

（2）当X>1时，对于x的每一个值，函数尸处（〃岸0）的值大于一次函数尸h+〃（R0）

的值，直接写出，〃的取值范围.

23.4月24日是中国航天日，某校初中部举办了“航天知识”竞赛，每个年级伴随机抽取10

名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对成绩进行「收集、整理，分析.下面给出「部分

信息.

。初一、初二年级学生得分的折线图

得分/分

2----------------------------------------------------

01AAAAAA1AAi.

012345678910学生6号

〃.初三年级学生得分：

10,9.6,10.8,7,10,7,3,10

c初一、初二、初三，三个年级学生得分的平均数和中位数如下

初初初

年级

平均

88m

数

中位

88.5n

数

根据以上信息，回答下列问题:

（I）由折线图可知，初一、初二两个年级学生“航天知识”竞赛，成绩更稔定的是

（填“初一”或“初二”）:

（2）统计表中加=,"=:

（3）由于数据统计出现失误，初三年级所调查的10名学生中TT•名学生被记录为6分，实

际得分为9分，将数据修正后，初三年级所调杳的10名学生中以下统计数据发生变化的：

（写出符合题意的序号）.

①平均数：②中位数：③众数：④方差.

24.如图，A3是0O的直径，点C在OO上，若花C。平分/4C6,交A8于点E,过

点C作C。的切线。尸，交八3的延长线于点3

D

(I)求证：/ECF=NFEC：

（2）连接80,若NCZ）8=30。，BF=2,求半径的长.

25.通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由「•不可能拧净衣服上的全部污水，所以

还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量.如：把一件存留1斤污水的衣服

用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留I斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的2.

某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后的衣服

上都存留约1斤的污水.

（I）该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容：

方案一：采用一次漂洗的方式.

将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的:

方案二：采用两次漂洗的方式.

若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的；

若在第一次用x（0<x<20）斤清水，第二次用（20-%）斤清水，漂洗后该衣服中存有的污

物是原来的（用含有工的代数式表示）：

通过计算分析，方案（“一”或“二”）的漂洗效果更好.

（2）若采用方案二，第一次用斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存

有的污物是原来的.

26.在平面直角坐标系xQy中，收伍/力是帼物线丁=公^+6+^。〉。）上

任意两点，其中王〈天.

（I）若抛物线经过点（4.c）,

①求抛物线的对称轴；

②当$+9>4时，比较凶,外大小，并说明理由：

（2）设抛物线的对称轴为直线4=1,若存在实数而当，上切时，M-"2,"2一”"1，

都有卜一对之2,直接写出。的取值瓶围.

27.如图，在55C中，ZB=NC=a，点。是平面内任意一点（不与点A，li,C重合），

将线段AO绕点A逆时针旋转2a得到线段AE，连接BE，G为BE的中点，连接AG,CD.

A

B

图I

(l)如图1.当点。AC边上时

①根据题意，补全图1：

CD

②直接写出：石=——：

(2)如图2,当点力在/8C内部时，(I)问中工的比值还成立吗？如果成立，请证明

AG

你的结论，如果不成立，请说明理由.

28.对于平面平角坐标系xOy中的点尸和图形时,给出如下定义:将图形财绕尸顺时针旋

转90°得到图形M当图形M与图形N有公共点时，我们称点P是图形M的“关联点”.已

知A(0,2),5(3,1).

(1)如图1,点P是线段46的“关联点”，在点4(1.0),)(0,1),4(2,3)中，则满

足条件的点是:

(2)若直线)，=T+力上存在点P,使点。为线段八8的“关联点”，直接写出〃的取值范

围：

(3)以亿0)为圆心，1为半径的e7，若线段上存在点P，使点P为e7的“关联点”，

直接写出/的取值范围.

2024年昌平区初中学业水平考试第二次模拟练习

数学试卷

本试卷共8页，共100分，考试时长为120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，

在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题（每小题2分，共16分）第1・8题均有四个选项，符合题意的选项

只有一个.

1.2024年2月5日至25日，人民网连续第23次开展全国两会调查，调查围绕10个领域设

置49个候选热词.本次调查广纳民情民意，吸引约6150000人次参与，其76150000用

科学记数法可以表示为（）

A.6.15x10'B.6.15X1D6c.0.615X106D.

0.615X107

【答案】B

【解析】

【分析】木颍丰要考杏科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为〃xIO"的形式，

其中〃为整数.确定〃的管时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃

的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】解:6150000=6.15x1（/,,

故选：B.

2.下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】本题号杳了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图

形的定义是解答本题的关键.根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可.

【详解】解：A.该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意;

B.该图不是釉对称图形，是中心对称图形，故不符合题意：

C.该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意;

D.该图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故符合题意；

故选D.

3.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射.由

于折射率相同，所以在水中平行的光线,在空气中也是平行的.如图，Zl=45°,Z2=120°.

C.105°D.90°

【答案】C

【解析】

【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案.

【详解】解：如图所示，AB//CD,光线在空气中也平行,

.•♦/1=4Z2+Z4=180°.

ZI=45°,Z2=120°.

Z3=45°.Z4=180o-120o=60°.

N3+N4=45°+60°=105°.

故选：C.

【点晴】本题考查了平行线的性质的应川，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质.

4.实数ab在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）

,,9..............勺，r

—4—3—2—I0I234

A.b=41B.a<-bC.\t\<-aD.

a+b>0

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查的是实数与数轴和弟术平方根.由数轴可知，-3<。<一2,〃>3,由此

逐一判断各选项即可.

【详解】解：由数轴可知，-3<“<一2,b>3,

A、•,、斤<，5=3，二〃>"，故木选项不符合题意：

B、•.•一3<a<—2，Z>>3.:.-b<-3,:.a>-b,故本选项不符合题意：

C.V-3<«<-2,b>3,:.2<-a<3,\b\>3,：\b\>-a,故本选项不符合题意：

D.•,-3<a<-2,/?>3,/.«+/?>0.故本选项符合题意；

故选：D.

5.正多边形的一个外角是60°,那么这个正多边形是()

A.正四边形B.正六边形C.正八边形D.正十边

形

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了正多边形的外角，根据多边形的外角和为3600进行求解即可.

【详解】解：•••正多边形的一个外角是60。，

360°

这个正多边形的边数为〃一=6,

60。

...这个正多边形为正六边形.

故选：B.

6.已知关于X的一元二次方程十，〃-0有两个实数根，则，”的取值范围是()

A.m<\B.">1C.m£ID.1

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了根的判别式.根提判别式的意义得到△=(-2)2-4xlxmN0,然后解

关于〃，的不等式即可.

【详解】解：根据题意，得：A=（-2）--4xlxmN0,

解得切£1,

故选：C.

7.在不透明的袋子里有三个除颜色外其它都相同的小球，两个红球，一个黄球，从中随机

同时取出两个小球，其中取到一个红球一个黄球的概率为（）

【答案】A

【解析】

【分析】本胭考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或皿树状图求概率

是解题的关犍.

根据题意，运用列表或画树状图把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求

解.

【详解】解：列表把所有•等可能结果表示出来，两个红球分别表示为红1,红2,

红1红2黄

红1—红1,红2红1,黄

红2红2,红1—红2,黄

黄黄，红1黄,红2—

共有6种等可能结果，其中一个红球一个黄球的结果有4种，

...取到一个红球一个黄球的概率为3=],

63

故选：A.

8.如图，A8为半圆0的直径，C,是直径A8上两点，且AC=8O,过点。作AB的

垂线交半圆于点E,8=2QE.设=AC=h，DE=c,给出下面三个结论：

①a—/?=2c：②£=2：③a+b=2叵o所有正确结论的序号是（）

E

ACODB

A.够)B.①③C.②(§)D.①②(§)

【答案】D

t解析】

【分析】本题考查r直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，完全平方公式的

变形.熟练掌握直径所对的圆周角为百.角，相似三角形的判定与性质，完全平方公式的变形

是解题的关犍.

由题意知，BD=AC=b,CD=AD-AC=a-b^山CD=2DE,可得a—〃=2c,

可判断①止误；如图，连接BE,则NAEB=90。，证明AB£7A\«EW，则

，即£=2,可判断②的正设：由(a+%)~=(“一力)~+4a〃=(2c)-+4c2=&，，

可得〃+匕=26、，可判断③的正误・

【详解】解：由题意知，BD=AC=b,CD=AD-AC=a-b，

,:CD=2DE,

：.a-h=2c,①正确，故符合要求；

如图，连接4EBE,

•••AA为半圆O的直径，

:.ZAZTfi=90°,

,/Z4ED+NBED=90°=ZAED+/EAD.

:・NBED=NEAD，

又•••/BDE=90°=NEDA.

LBED^EAD，

即£=2.②正确,故符合要求：

ADDEac

ah=c2，

(a+〃)"=(a-b\+4«Z?=(2c)2+4c2=&，，

，a+b=2夜c，③正确，故不符合要求：

故选：D.

二、填空题(本题共16分，每小题2分)

9,使代数式J73T有意义的x的取信莅围是,

【答案】x>l

【解析】

【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使J7=I在实数范围内布r意义，

必须x-120,从而可得答案.

【详解】解：代数式五二？有意义，

\A--1?0,

:.x>1,

故答案为：x>\

10.分解因式：3x?+6xy+3y2=.

【答案】3(x+y)2.

【解析】

【分析】先利用提取公因式法提取数字3,再利用完全平方公式继续进行分解.

22

【详解】3.P+6xy+31y2=3(.F+Zvy+y)=3(x+y).

故答案为3(x+y)2.

【点脐】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公区式首先提取公

因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

32

H.分式方程士二—；的解是.

xx-1

【答案】A=3

【解析】

【分析】本题考查了解分式方程，正确熟知解分式方程的步骤是解题的关键.

解分式方程，先去分母，将其转化为整式方程，再求解，最后耍枪验是否有培根.

【详解】解：去分母得：3（X-1）=2A,

解得：x=3.

当x=3时，x-1^0.

所以原方程的解为x=3.

故答案为：％=3.

12.在平面宜角坐标系屹\，中，若点（1,，〃）和（4,2）在反比例函数），=：代工0）图象匕则

w=.

【答案】8

【解析】

【分析】本题考行反比例函数图象上的点的坐标特征.根据比例函数y=A小/0）中的系

X

数女=外得到关于机的方.程，求解即可得到答案.

【详解】解：点（1,小）和（4⑵在反比例函数、，=与伙工0）图象上，

x

.4=4x2=，”，

解得机=8,

故答案为：8.

13.如图，点尸为CO外一点，过点P作。。的两条切线，切点分别为A，凡点C为优孤

48上一点，若/尸=80°,则NACB=

【答案】50

【解析】

【分析】木题考查切线的性质，圆周角定理.连接OA，0B,由切线的性质定理得到

ZPAO=ZPBO=9（r,求出NA08=360°-90°—90°—80°=100。，由画周角定理得到

ZACB=-ZAOB=50Q.

2

【详解】解：连接04,0B.

•.丛，P8分别切圆于A、B,

.•半径O4_LQ4,半径OA_LP8,

二NPAO=NPBO=9QP,

QZP=80°.

.­.Z4O«=360^-90^-90°-80°=100°

：.ZACB=-ZAOB=50°.

2

故答案为：50.

14.2024年3月】2日，是我国的第46个植树节，今年植树节的主题是“共司呵护地球家

园，筑造美丽未来”.下表是某地区在枫树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，

请你估计植树节期间，种植杨树的成活率大约为（结果保留两位小数）.

第一批次第二批次第三批次第四批次第五批次

种植数量200200200200200

成活数量194193192196195

成活频率0.9700.9650.9600.9800.975

【答案】0.97

【解析】

【分析】本题考查了频率.熟练拿握领率的定义是解题的关键.

194+193+192+196+195

根4据ri---------——------------计算求解即可.

5x200

【详解】解：由题意知.种植杨树的成活率大约为------=——=----------=0.97.

5x200

故答案为：0.97.

15.图I是装满红泗的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm,其

它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为cm.

图I图2

【答案】3

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的应用.过点。作OM_LCZ).垂足为M,过点0'作

C/N1AB.垂足为N.根据AB〃C£).得出再根据相似三角形的性

质解答即可.

【详解】解：如图，过点。作OM_LCO,垂足为例，过点。'作OW_L43,垂足为N，

ICDO^-ABO'，

.CDOM

~AB=m/'

•rOM=15-7=8(c/n),OW=1l-7=4(an),

68

~AB4

解得：AB=3,

故答案为：3.

16.某学校为丰富学生的课余牛.活，组织校园篮球赛，初三年级6个班进行单循环比赛（即

每班都与其他班比赛一场），每天同时在三个场地各进行一场比赛.己知第一大（2）班与（4）

班比赛，第二天（3）班与（5）班比赛，第三天（4）班与（6）班比赛，第四天（2）班与

（3）班比赛，那么第三天与（3）班比赛的是班，第五天与（1）班比赛的是

__________班.

【答案】①.（I）②.⑵

【解析】

【分析】本题考查逻辑推理能力.木趣对学生的逻辑推理能力要求较高.根抄每队都与其他

队比赛一场，和已经进行的比赛，进行推断即可.

【详解】解：（3）班己知的比赛：第二天（3）班与（5）班比赛，第四天（2）班与（3）班

比赛，而第三天已知进行的是（4）班与（6）班比赛，故第三天只有（1）班与（3）班比赛，

（4）班与（2）班比赛在第一天，（4）班与（6）班比赛在第三天，第二天已知（3）班与（5）

班比赛，故第二天（4）班与（1）班匕赛，（2）班与＜6）班比赛，同理可得：第四天（1）

班与（6）班比赛，（4）班与（5）班匕赛，第一天（3）班与（6）班比赛，（1）班与（5）

班比赛，故最后一天为（I）班与（2）班比赛，（3）班与（4）班比赛，（5）班与（6）班比

赛，如表1

第一第二第三第四第五

天天天天天

场

2-43-54-62-31-2

地1

场

3-61-41-31-63-4

地2

场

1-52-62-54-55-6

地3

同一天场地上的比赛可交换进行.

故答案为：（1）.（2）.

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23・26题，每小题6

分，27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.计算：人+(；)-2sin45°+|l-V2|-

【答案】2日1

【解析】

【分析】本题考查了二次根式、绝对值、负指数轼、特殊角的三角函数值的运算，熟悉运算

法则是解题的关键.根据二次根式、绝对值、负指数林、特殊角的三角函数值的运算，化简

计算即可.

【详解】解：原式=2&+2-2x[+&-l

=2V2+2-V2+>/2-l

=272+1.

3X-8>XD

18.解不等式组：《3x7〜

2

【答案】工之4

【解析】

【分析】本题考查解一元一次不等式组.先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解

集.

3.r-8>jv®

【详解】解：｛3x-lc・

------>A<2)

2

解不等式①得，XN4：

解不等式②得，X>1,

所以这个不等式的解集为XN4.

19.已知Y+x-ZuO,求代数式K+的值.

31)x--l

【答案】I

【解析】

【分析】本题考查的是分数的混合运算.

将（一、+||+，7化简为2士.再整体代入.求值.

）%--12

【详解】解：原式=上2二1+--=’.3竺二12=立e

x-\x2-lx-\22

TA-2+X-2=0.

二Y+x=2，

..原式=1.

20.如图，在四边形A3CZ）中，AB//CD，AB=AD，对角线4C,BD交于O,AC平

分NBAD.

（I）求证：四边形A8CZ）是菱形：

3

（2）过点。作的垂线交其延长线于点E，若30=6，tan/Q48=-.求CE的长.

4

【答案】（I）见解析（2）CE=y

【解析】

【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握菱

形的判定与性质是解题的关键.

（1）先证NC48=NQG4,再证NDAC=NDC4,得C£）=AO=A8,然后证四边形

A8CO是平行四边形，即可得出结论；

（2）根据菱形的性质结合三角函数得出40=4,AC=8,求出A8,在Ric从CE中，

解直用二用形，即可得出结论.

【小问1详解】

证明：•••AC平分N84O，

/.N"C=/8AC，

•­AB//CD,

ZDC4=ZB4C.

：.ZI1\C=ZDCA,

AD—CD-

AB=AD<

：.AB=CD,

•.AB//CD,

，四边形人BCD是平行四边形，

AB=AD>

，四边形ABCD是菱形：

【小问2详解】

解，四边形4Am是菱形.

/.AC±BD,OB=OD=—BD=3.AO=OC=—AC,

22

中,-啜］

AO=49AC=8•

--------3

二88=5/32+42=5，sinZ04B=",

过点。作48的垂线交其延长线于点E,

:.ZCEA=90°.

CE3

•.RtZ\ACE中，s\nZOAB=--=-,

AC5

21.如图，初三年级准备制作•个长8.5m的横幅，横帽内容定为16个字，对横

幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽:

字窕：字距=3:4:1,试求横幅字距是多少？

边空宽字距边空宽

【答案】0.1m

【解析】

【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据空宽：字宽：字距=3:4:1设边空宽为3.vm，

字宽为4.vm，字距为.再根据长8.5m的横幅列方程，解方程即可得到答案.

【详解】解:因为边空宽:字宽：字距=3:4:1,

所以设边空宽为3xm,字宽为字距为师.

由题意可得：2x3x+16x4x+l5x=8.5,

解得x=O.L

答：横幅字距为0.1m.

22.在平面宜角坐标系xO-v中，一次谑数y=k+〃的图象是由函数>=2t的图象平

移得到，且经过点（1,3）.

（I）求这个•次函数的表达式；

（2）当h>1时，对于x的每一个值,函数y=mx（/nR0）的值大于一次函数尸fcr+baXO）

的值，直接写出，〃的取值范围.

【答案】（I）尸2x+l：（2）m>3

【解析】

【分析】（1）据一次函数平移时A不变可知42,再把点（1,3）代入求出力的值，进而可

得出结论.

（2）根据点（1,3）结合图象即可求得.

【详解】解：（I）•••一次函数产（厚0）的图象由函数尸2丫的图象平移得到，

：.k=2.

•・•一次函数产2A■+人的图象过点（1,3）,

，.3=2x|+b.

b=1.

.••这个一次函数的表达式为y=2r+l.

（2）把点（1,3）代入卢znx,求得〃尸3,

♦.•当x>l时，对于x的每一个值，函数产的值大于一次函数产2计1的值，

>n>3.

【点睛】本题考查的是•次函数的图象与几何变换及一次函数和不等式的关系，熟知•次函

数平移的性质是解答此题的关键.

23.4月24日是中国航天日，某校初中部举办了“航天知识”竞赛，每个年级各随机抽取10

名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对成绩进行了收集、整理，分析.下面给出了部分

信息.

a初•、初二年级学生得分的折线图

初三年级学生得分:

（1）由折线图可知，初一、初二两个年级学生“航天知识”竞赛，成绩更稳定的是

（填“初一”或“初二”）：

（2）统计表中机=,n=:

（3）由于数据统计出现失误，初三年级所调查的10名学生中有一名学生被记录为6分，实

际得分为9分，将数据修正后，初三年级所调查的10名学生中以下统计数据发生变化的：

（写出符合题意的序号）.

①平均数：②中位数；③众数：④方差.

【答案】（I）初一（2）〃?=8,，?=8.5

（3）①（g）（3）

【解析】

【分析】本题考查折线统计图，平均数、中位数、众数和方差，理解相关统计量意义和计

算方法是正确解答的前提.

(I)根据方差的意义解答即可：

(2)根据算术平均数的意义可得，〃的值：根据中位数的定义可得”的值：

(3)分别根据平均数、中位数、众数和方差的定义和计算方法判断即可.

【小问I详解】

解：由折线图可知，初一学生得分的波动比初二的小，所以成绩更稔定的是初一.

故答案为，初一：

【小问2详解】

解：由题意得，，〃=%x(IOx4+9+6+8+7x2+3)=8,

把初三年级学生得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是8、9,

故中位数〃=2芫=8.5,

故答案为：8,8.5：

【小问3详解】

解：将其中的数据6改为9,则数据变为：10,9,9.10.8,7.10,7,3,10

数据变化，

・•・平均数、方差改变，

•,中位数为：-=9*8.5,

2

•••中位数改变，

众数依然是10,

•••众数不变.

故答案为：①②④.

24.如图，A8是。O的直径，点C在上，若弦C。平分/ACB,交A8于点£过

点C作CO的切线Cb，交AA的延长线于点凡

AIEIB

D

(I)求证：NECF=NFEC：

(2)连接80,若NC7用=30。，BF=2,求。0半径的长.

【答案】(1)见解析(2)2

【解析】

【分析】此题考查了切线的性质、圆后角定理、解直角三角形等知识，熟练掌握切线的性质

和锐角三角函数的定义是解题的关键.

(I)连接OZ),OC.证明NODE=NOCE,/OED=NFCE,又由NOED=NFEC.

即可得到/尸CE=NF£C：

(2)证明△ORC为等边二角形.则/HOC=NOCE=NABC=60°.在RfZSCO"中.

得到0«/(70尸=生=~!■设OC=OH=R，则。”=r+2,则‘一=」，解方程即可

OF2r+22

得到答案.

【小问I详解】

证明：连接ODOC.

•.CO平分/4CE

:.ZACD=/BCD

；•AD=BD

•.AB是直径，AD=BD

:.ZAOD=^BOD=90°

••在中，ZODE+ZOED=90°

•.C”是。O切线

NOCF=ZOCE+NFCE=90°

\OD=OC

ZODE=ZOCE

:.ZOED=ZFCE

二ZFCE=ZFEC

【小问2详解】

解：连接30，

•.AB直径，

ZAC5=90°,

BC=BC

：.NCQB=NC4B=30°

/.ZABC=60°

•：OB=OC，

.•・aOBC为等边三鱼形,

NBOC=ZOCI3=ZABC=60°

OC1

•.•RtZ\CO"中，cosZC0F=——=—

OF2

设OC=OB=r,则。尸=/+2

r_1

r+22

.”=2，

经检验，〃=2是分式方程的解且符合题意，

即。半径的长为2.

25.通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧冷衣服上的全部污水，所以

还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含珏.如：把一件存留I斤污水的衣服

用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的土.

某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后的衣服

上都存留约1斤的污水.

（1）该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容：

方案一：采用一次漂洗的方式.

将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的:

方案二：采用两次漂洗的方式.

若第•次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存存的污物是原来的:

若在第一次用x（0<x<20）斤清水，第二次用（20—x）斤清水，漂洗后该衣服中存存的污

物是原来的（用含有工的代数式表示）：

通过计算分析，方案__________<"一"或"二”）的漂洗效果更好.

（2）若米川方案二，第一次用斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存

有的污物是原来的

1

【答案】（1）—

21；105r-20x-21

(2)10；——

121

【解析】

【分析】本题考查分式的计算及应用，理解题意，列出算式，并准确计算是解题的关键.

（I）数据计算：分别计算出两种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答:

实验结论：比较数据计兑得出的数据，即可作出判断：

（2）先利用二次函数求出最值，确定出漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的最小值即

可解决问题.

【小问1详解】

解：方案一：采用一次漂洗的方式.

将2。斤清水•次用掉，漂洗后该衣服中存rr的污物是原来的一「=一；

20+121

方案二：采用两次漂洗的方式.

若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的

[=

14+1X6+T-105'

若在笫一次用M0<.M<20）斤清水，第二次用（20-此斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物

是原来的,20-.V+I=（x+1）（21-X）="X2-20.V-2I

；二+'方案二效果更好:

故答案为：!

，T05'~x2-20x-2l'

【小问2详解】

解：x(20-x)=-(x2-20A)=-(x-IO)2+I(X),

当x=10时布.最大值，分母越大，分数值最小，漂洗效果最好,

第一次用10斤清水,漂洗效果最好,

二次漂洗后该衣服中存有污物是原来的y—Xk-=一「

10+110+1121

故答案为：二,——.

121

26.在平面直角坐标系X。,中，A7（N，yJ,2（七,y2）是抛物线），=依2+协+«">0）上

任意两点，其中王<占.

（I）若抛物线经过点（4c）,

①求抛物线的对称轴：

②当x,+x,>4时.比较y,,心的人小，并说明理由：

（2）设抛物线的对称轴为直线x=，，若存在实数〃?，当〃时，x,=nt,+

都有瓜一凡|之2,直接写出。的取值范围.

【答案】⑴①x=2：②乂<%，理由见解析

（2）a>2

【解析】

【分析】本题考查二次函数的图象与性质，运用数形结合与分类讨论思想解题适解题的关键.

（I）①利用抛物线经过点（4,。）和点（0,c）,函数值相等的两点连线的垂直平分线即为对称

轴，即可得解：

②分当天22时和当外>2>为时两种情况讨论，证明点”（N，y）比点离

对称轴更近即可得解；

⑵利用t<m<rn+\,开口向上得出y\<y2,从而得到b［一刃=2am+a+b,结合“存

在实数机.当Y”?时.都有旧一刃>2"得到|凹一），2110ta.根据当/=一得=，”时.

ly-gl有最小值，得出|凹一%Ln=2〃[一/）+«+8=〃22,从而得解.

【小问I详解】

解：①；抛物线经过点（4,c）和点（0"）,

，抛物线的对称轴是：直线X=Y=2,

②y<>2，理由如下：

V«>0.

.••离对称轴越近，函数值越小，

*/Xy<X2,8+”2>4,

2%>外+占>4,

X2>2,

当天>为22时，x,-2>X）-2,

即点M（玉,凹）比点Ng/）离对称轴更近，

•••y<乃，

当为>2>用时，

Vx}+x2>4

；•x?-2>2-X]9

即点A«M，y）比点"（应，刈）离对称轴更近，

•••y<丹，

综上所述：y<y2.

【小问2详解】

\*t<m<m+1B|J/<%)<x2,开门向上,

•••y<必，

小一)』二%-x

=(or；+bx2+c)-(avf+如+c)

=a(〃?+l)~+/>(〃?+l)+c-(a〃?2+历〃+c)

=a(〃?+l)~-am2+b(ni+l)-bm+c-c

=a(2〃?+l)+〃

=2am+«+/).

2a>0，

•・•|X-%|随着，”的增大而增大，

要使得存在实数小，当T，〃时，都有回一为|22,

只需保证之2,

即当f=一~时，|y-义|.=2a\--\+a-¥b=a>2,

2aI2a)

•••”的取值范困是〃22.

27.如图，在95C中，/8=NC=a，点。是平面内任意一点(不与点A，3,C重合)，

将线段八。绕点A逆时针旋转2a得到线段AE,连接BE，G为的的中点，连接AG，CD.

图1图2

(I)如图1.当点。在AC边上时，

①根据题意，补全图1：

CD

②宜接写出：--=；

AG

CD

(2)如图2,当点D在.ABC内部时，(1)问中——的比值还成立吗？如果成立，请证明

AG

你的结论，如果不成立，请说明理由.

【答案】（1）①补图见解析；

②?=2

AG

（2）仍成立,证明见解析

【解析】

【分析】（1）①根据N4的外角为2a,得到点E在直线上，以A为国心，4。长为

半径画弧，交BA的延长线于点E，作比;的垂直平分线，与片£交于点G，即可作出图形：

②设A3=AC=x，AD=AE=y,再表示出CD、AG即可解题：

（2）延长胡，取48=/V7,连接EH，证明AA£“0CAQC（SAS）,得到石”=C/），

再根据中位线定理得到切=24G，最后利用等量代换即可解题.

【小问1详解】

解：①根据题意补全图形如下：

②设八3=AC=x,AD=AE=y,

BE=x+y,CD=x-y,

G£=—(x+y),

AG=GE-AE=g(x+=g(x-y),

•,0=2：

AG

【小问2详解】

解：成立，

延长K4,取=连接£〃，

了

•.ZHAC=ZABC+ZACB=2a./DAE=2a，

ZDAC=ZHAE,

vAH=AB=AC，AE=AD>

."E"，/IDC(SAS),

；.EH=CD,

点A为8”的中点，点G为BE的口点，

:.AG//EH,EH=2AG,

:.CD=2AG,

.02.

AG

【点睛】本题主要考查了三角形综合题，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质、

三角形外