2024年北京北师大二附中高三（上）统练四数学试题及答案

2024-2025高三上数学统练4一．选择题（共10小题）2−ꢁꢁ1．复数z满足ꢀ=A．1，则|z）．3．2D．52．已知集合A{x|x1}B{﹣，124}AB等于（A．{31}．，4}．，，4}3．下列函数中，在定义域上为增函数且为奇函数的是（）D．{31，2}）A．＝x．＝xx3．＝sinxD．＝2x→→→→4．已知两个向量ꢂ=(2，−3)，ꢃ=(4ꢄꢂ∥mn的值为（）A．1．2．4D．85．在下列关于直线、m与平面、β的命题中，真命题是（）A⊂β，且αβlαβ，且αlαC．若β⊂α，m⊂β∥mDβ，且⊥lα→→→→→→6．已知向量ꢂ与向量ꢃ的夹角为120°，|ꢂ|=|ꢃ|=1，则|ꢂ+2ꢃ|=（）A．3．3．2−3D．1ꢈ37．在△＞”是“＞）A．充分不必要条件C．充分必要条件．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件8．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙其2h下圆3部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．这个沙堆的高与锥的高h的比值为（）84A．．27291C3D．3第1页（共14页）9．已知某种垃圾的分解率为v，与时间（月）满足函数关系式v＝ab（其中a，b1210%过2420%至少需要经过（lg2≈0.3．52．64A．48D．12010．如图，正方体ABCD﹣ABCD的棱长为2，线段BD上有两个动点E，111111FE在FEF=．下列说法不正确的是（AE运动时，二面角﹣ABC的最小值为°BEF运动时，三棱锥体积﹣CEF运动时，存在点，FAE∥DEF运动时，二面角EFB为定值二．填空题（共5小题））．函数（x）＝1﹣）+ꢉ的定义域是．312．在△中，＝3b7，∠=，则△的面积为．13．在等比数列{a}中，a+a＝，aa＝﹣5，则公比＝；若a＞1，则n的n1324最大值为．14．已知等边△的边长为4，E，F分别是AB，的中点，则ꢊꢋ⋅ꢊꢇ=→→；若M，N是线段→→上的动点，且MN|1，则ꢊꢌ⋅的最小值为．15．对于函数yfxx，使得xfx）＝1成立，则称函数fx）具有性质P．000（）下列函数中具有性质P．fx）＝﹣2x2；fx）＝sinxx∈，2π]1ꢉfx）＝x+x（，+∞fx）＝lnx+1（）若函数（x）＝alnx具有性质，则实数a的取值范围是．第2页（共14页）三．解答题（共2小题）ꢈ216．在△中，≠，ꢏꢐꢑ2ꢎ=3ꢏꢐꢑꢎ−．（）求∠；（）从条件、条件、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△存在且唯一确定，求△的面积．条件：b＝a，sinA＝；条件：=6边上的高为2；条件：ꢑꢁꢅꢇ=3ꢑꢁꢅꢒ，b2.0解答计分．1+ꢉ17．已知函数（x）＝，1−ꢉ（Ⅰ）求曲线yfx）在点（0（033（Ⅱ）求证，当x∈01）时，x）＞+)；3（Ⅲ）设实数kfx）＞ꢓ(ꢉ+对x（01）恒成立，求k的最大值．3第3页（共14页）2024-2025高三上数学统练4参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）2−ꢁꢁ1．复数z满足ꢀ=A．1，则|z）．3．2D．5【分析】z化简，再结合复数模公式，即可求解．2−ꢁꢁ【解答】解：ꢀ==−﹣2，故z=(−1)2+(−2)2=．故选：D．【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．2．已知集合A{x|x1}B{﹣，124}AB等于（）A．{31}．，4}．，，4}D．{31，2}【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合＝{xx≤，＝{31，，4}，则AB{﹣，1}．故选：．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．3．下列函数中，在定义域上为增函数且为奇函数的是（）A．＝x．＝xx3．＝sinxD．＝2x【分析】分别结合奇偶性及函数的单调性判断各选项即可求解．【解答】解：Ayx为非奇非偶函数，不符合题意；Byx+3为奇函数且单调递增，符合题意；Cysinx在R上不单调，不符合题意；D：＝2x为非奇非偶函数，不符合题意．故选：．【点评】本题主要考查了基本初等函数的奇偶性的判断，属于基础试题．→→→→4．已知两个向量ꢂ=(2，−3)，ꢃ=(4ꢄꢂ∥mn的值为（）A．1．2．4D．8第4页（共14页）→→→→【分析】ꢂ∥，则存在实数kꢂ=ꢓꢃ，即可得出．→→→→【解答】解：∵ꢂ∥，∴存在实数kꢂ=ꢓꢃ，2=4ꢓ12∴=ꢓꢄ，解得k=m＝﹣，n6．3=则mn4．故选：．【点评】本题考查了向量共线定理、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．在下列关于直线、m与平面、β的命题中，真命题是（A⊂β，且αβlα）B⊥β，且∥⊥αC．若β⊂α，m⊂β∥mD⊥β，且β∥α【分析】根据线面垂直的定义和定理，注意紧扣面面垂直的性质定理的条件逐项判断，分析可得答案．【解答】解：A不正确，由面面垂直的性质定理可推出；C不正确，可能l与m异面；B正确，由线面垂直的定义和定理，面面平行的性质定理可推出；D不正确，由面面垂直的性质定理可知，βmlm，⊥l．故选：．【点评】本题考查了空间线面的位置关系，垂直和平行的定理的应用，属基础题．→→→→→→6．已知向量ꢂ与向量ꢃ的夹角为120°，|ꢂ|=|ꢃ|=1，则|ꢂ+2ꢃ|=（）A．3．3．2−3D．1【分析】根据模长公式即可求解．→→→→【解答】解：已知向量ꢂ与向量ꢃ的夹角为120°，|ꢂ|=|ꢃ|=1，→1212→则ꢂ⋅ꢃ=1×1×(−)=−，→→→→→→则|ꢂ+2ꢃ|=ꢂ2+4ꢂ⋅ꢃ+4ꢃ2=1−2+4=．故选：．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．第5页（共14页）ꢈ37．在△＞”是“＞）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】考虑△中A的取值范围，再判断充分性与必要性是否成立．ꢈ3【解答】解：△中，∈0πꢆꢂꢅꢇ＞时，＞，充分性成立；ꢈ3若A＞tan＞或tan0或tanA不存在，所以必要性不成立；是充分不必要条件．故选：．【点评】本题考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．8．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙23与圆锥的高h的比值为（）8492313A．．．D．272细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为h，设圆锥的底面半径为r32的圆锥的底面半径为h3体积，由体积相等求解h′，则答案可求．2【解答】解：细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为，32设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为ꢔ，3第6页（共14页）2381323∴细沙的体积为V=π(•2ℎ=2．81细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径r，设高为′，13881则V=πr•′2=2，8得h′=．27∴ℎ8=．27故选：．【点评】本题考查圆锥体积公式的应用，考查计算能力，是中档题．9．已知某种垃圾的分解率为v，与时间（月）满足函数关系式v＝ab（其中a，b1210%过2420%至少需要经过（lg2≈0.3A．48．52．64D．120ꢕ(12)==0.1ꢕ(24)==0.211b=212＝0.050.5×(212)ꢆ由题意可得，数函数的公式，即可求解．ꢕ(12)=ꢂꢃ=0.1ꢕ(24)=ꢂꢃ=0.21【解答】解：由题意可得，，解得b=12，a0.05，1故v（）＝0.5×(212)，ꢆ1ꢖꢗ201+ꢖꢗ212×(1+0.3)令v（）＝1，可得(212ꢆ=20t=ꢖꢐꢗ==≈=52．1110.3ꢖꢗ212ꢖꢗ221212故选：．【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．10ABCD﹣ABCD的棱长为2BD上有两个动点E在FEF=111111列说法不正确的是（）AE运动时，二面角﹣ABC的最小值为°BEF运动时，三棱锥体积﹣第7页（共14页）CEF运动时，存在点，FAE∥DEF运动时，二面角EFB为定值【分析】对A：建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角夹角的余弦值，根据其范围，即可判断；对BCDEFB即为平面B，平面即为平面D，从而得出二面角C﹣﹣B为定值．1111【解答】解：对A：建立如图所示的空间直角坐标系，则A22，（020C0，，0D20.0D20，EF在BD上，且ꢎꢘ=2，ꢊꢋ=2，可设E，2，2≤≤211111→→→则Ft1，﹣2﹣2，﹣，（﹣2，，0﹣11t2→→⋅ꢄ2ꢉ=0设平面的法向量为ꢄ（xy，，→→⋅ꢄ=(ꢆ−−ꢆꢙ+2ꢀ=0取y＝，则ꢄ=(0，，ꢆ)，平面的法向量为ꢅ（，01→→→→ꢆꢄ⋅ꢅꢆcosꢅ＞=E﹣﹣C的平面角为θθθ==→=→2ꢆ2|ꢄ|⋅|ꢅ|1，4ꢆ1+24ꢆ21≤2ꢙ=1+，在[12]上单调递减，2≤1+≤，5≤ꢏꢐꢑꢚ≤22时，θ取得最大值2取最小值4554ꢆ222故A说法正确．1212对B：因为S△=EF×BB=×22=A到平面B的距离为，111323所以体积为V﹣﹣=×2×2=，即体积为定值，故B说法正确．对C∥BF，．BD四点共面，与和BD是异面直线矛盾，故C说法错误．1111第8页（共14页）对D：连接，CE，平面即为平面B，而平面即为平面D，111111，F时，二面角CEFB的大小保持不变，故D说法正确．故选：．【点评】本题考查空间几何体的性质，考查运算求解能力，属中档题．二．填空题（共5小题）．函数（x）＝1﹣）+ꢉ的定义域是[0，1）．【分析】由题意，根据函数的解析式可得1x0x0，由此求得函数的定义域．【解答】解：由函数fx）＝log1﹣x+，可得1﹣＞0x0，0x1，可得函数的定义域是[0，故答案为：，【点评】本题主要考查根据函数的解析式求函数的定义域，属于基础题．1534312．在△中，＝3b7，∠=，则△的面积为．【分析】根据余弦定理求出c，再求出三角形的面积即可．222【解答】解：∵bac2cos，12∴＝9+6c•（c5或c＝﹣8−1212321534∴△=acsin=××5×=，1534故答案为：．【点评】本题考查了求三角形的面积公式，考查余弦定理的应用，是基础题．1213．在等比数列{a}中，aa＝，aa＝﹣5，则公比q＝−1n的最大值为3．n1324ꢂꢂ1243根据题意，由等比数列的通项公式可得q=可得{a}的通项公式，解a1可得第二空答案．a1nn【解答】解：根据题意，等比数列a}中，aa10aa＝﹣，n1324第9页（共14页）ꢂꢂ11012243则q==．14若aa10a+a10，解可得a8，1311112则aaq﹣＝8﹣＝（﹣1﹣2﹣n−，n1若a1，即（﹣1﹣2﹣1，n1或3n的最大值为3，1故答案为：−3．2【点评】本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．→→14．已知等边△的边长为4，，F分别是AB，的中点，则ꢊꢋ⋅ꢊꢇ=2；若M，N是线段→→114上的动点，且|MN＝1，则ꢊꢌ⋅的最小值为．→→【分析】建立平面直角坐标系，求出相应点的坐标，从而求得，ꢊꢇ的坐标，再求数量积即可求得第一空；由条件设M（m，2m≤1Nm+1，0→→→→32114求出ꢊꢌꢊꢍ的坐标，从而得到ꢊꢌ⋅ꢊꢍ=(ꢄ+)2+，再求二次函数的值域即可．所在直线为x的中垂线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，因为等边△的边长为4，，F分别是，的中点，（﹣20C2，（02E（﹣1，（，→→所以ꢊꢋ=(20)，ꢊꢇ=(1，，→→所以ꢊꢋ⋅ꢊꢇ=2×1+0×3=2；不妨设M在N的左边，则设Mm，02≤m1m+10→→所以ꢊꢌ=(ꢄ+1，−3)，ꢊꢍ=(ꢄ+2，−，→→32114所以ꢊꢌ⋅ꢊꢍ=(ꢄ+1)(ꢄ+2)+3=m+3m2=(ꢄ+2+，→→11432所以当ꢄ=−时，ꢊꢌ⋅有最小值为．114故答案为：；．第页（共14页）【点评】本题考查平面向量的数量积，属于中档题．15．对于函数yfxx，使得xfx）＝1成立，则称函数fx）具有性质P．000（）下列函数中具有性质P．fx）＝﹣2x2；fx）＝sinxx∈，2π]1ꢉfx）＝x+x（，+∞fx）＝lnx+1（）若函数（x）＝alnx具有性质，则实数a的取值范围是a＞0或≤﹣e．1ꢉ【分析】1x≠0时（=有解即函数具有性质P1ꢂ1ꢛ（alnx具有性质Pa0xlnx=xxlnx的值域为[−11，进而得到答案．ꢂꢛ1ꢉ【解答】1x≠0时，fx=有解，即函数具有性质P，1ꢉ令﹣2x2=，即﹣2x﹣10，22∵Δ＝﹣80，故方程有一个非0实根，故（x）＝﹣2x具有性质P；1ꢉfx）＝sinxx∈，2π]）的图象与y=有交点，1ꢉ故sinx=有解，故（x）＝sinxx∈[02]）具有性质P；1ꢉ1ꢉ令+=，此方程无解，1ꢉ故fx）＝x+x∈0；1ꢉfx）＝lnx+1）的图象与y=有交点，第页（共14页）1ꢉ故ln（x+1=有解，故fx）＝lnx+1）具有性质；综上所述，具有性质P的函数有：①②④，1ꢂ（）（）＝alnx具有性质，显然a≠，方程xlnx=有根，1ꢛ∵（x）＝xlnx的值域为[−，∞11∴，ꢂꢛ解之可得：＞0或≤﹣e．故答案为：2）＞0或a≤﹣e【点评】三．解答题（共2小题）ꢈ216．在△中，≠，ꢏꢐꢑ2ꢎ=3ꢏꢐꢑꢎ−．（）求∠；（）从条件、条件、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△存在且唯一确定，求△的面积．条件：b＝a，sinA＝；条件：=6边上的高为2；条件：ꢑꢁꢅꢇ=3ꢑꢁꢅꢒ，b2.0解答计分．【分析】（1）根据题意，利用倍角公式求得ꢏꢐꢑꢎ=3，即可求解；（cꢈ2【解答】1）解：由△中，∠ꢎ≠，且ꢏꢐꢑ2ꢎ=3ꢏꢐꢑꢎ−1，2ꢏꢐꢑ2ꢎ=3ꢏꢐꢑꢎ，所以ꢏꢐꢑꢎ=3，2ꢈ60＜π，所以ꢎ=．（）解：若选择条件2b3absinA1，ꢂꢃꢈ6由正弦定理=且ꢎ=，可得a＝，b3，ꢑꢁꢅꢇꢑꢁꢅꢎ第页（共14页）又由余弦定理b＝a+c2acB，可得2−23ꢏ−5=0，222解得ꢏ=3+2，1212123+222所以△ꢇꢎꢒ=ꢂꢏꢑꢁꢅꢎ=×2×(3+22)×=，3+222所以△存在且唯一确定，此时△的面积为若选条件：=6边上的高为2，．ꢈ62ꢑꢁꢅꢎ因为ꢎ=，可得ꢏ==4，由余弦定理bac﹣2cosB，可得2−43ꢂ+10=0，解得此时△存在但不唯一确定，不符合题意．若选条件：ꢑꢁꢅꢇ=3ꢑꢁꢅꢒ，b2，222ꢂ=23±2，因为ꢑꢁꢅꢇ=3ꢑꢁꢅꢒ，由正弦定理得ꢂ=3