专题14立体几何与空间向量(解答题)（原卷版） - 大数据之十年高考真题（2014-2025）与优 质模拟题（新高考卷与全国理科卷）

大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（新高考卷）专题14立体几何与空间向量(解答题)1．【2024年新高考1卷第17题】如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=(1)若AD⊥PB，证明：AD//平面PBC(2)若AD⊥DC，且二面角A−CP−D的正弦值为427，求AD2．【2024年甲卷理科第19题】如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，EF//AD,BC//AD，AD=4,(1)证明：BM//平面CDE(2)求二面角F−BM−E的正弦值．3．【2024年新高考2卷第17题】如图，平面四边形ABCD中，AB=8，CD=3，AD=53，∠ADC=90°，∠BAD=30°，点E，F满足AE=(1)证明：EF⊥PD；(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．4．【2023年新课标全国Ⅱ卷第20题】如图，三棱锥A−BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60∘，E(1)证明：BC⊥DA；(2)点F满足EF=DA，求二面角5．【2023年新课标全国Ⅰ卷第18题】如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2,

(1)证明：B2(2)点P在棱BB1上，当二面角P−A2C6．【2023年高考全国乙卷理第19题】如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD=5DO，点

(1)证明：EF//平面ADO(2)证明：平面ADO⊥平面BEF；(3)求二面角D−AO−C的正弦值.7．【2023年高考全国甲卷理第18题】如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，A1C⊥底面

(1)证明：A1(2)已知AA1与BB1的距离为2，求8．【2022年新课标全国Ⅰ卷第19题】如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为(1)求A到平面A1(2)设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A9．【2022年新课标全国Ⅱ卷第20题】如图，PO是三棱锥P−ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点．

(1)证明：OE//平面PAC(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=10．【2022年高考全国乙卷理第18题】如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，(1)证明：平面BED⊥平面ACD；(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC11．【2022年高考全国甲卷理第18题】在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD,(1)证明：BD⊥PA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．12．【2021年新课标全国Ⅰ卷第20题】如图，在三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点.（1）证明：OA⊥CD；（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E−BC−D的大小为45°，求三棱锥13．【2021年新课标全国Ⅱ卷第19题】在四棱锥Q−ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2,（1）证明：平面QAD⊥平面ABCD；（2）求二面角B−QD−A的平面角的余弦值．14．【2021年高考全国乙卷理第18题】如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM（1）求BC；（2）求二面角A−PM−B的正弦值．15．【2021年高考全国甲卷理第19题】已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，E，（1）证明：BF⊥DE；（2）当B1D为何值时，面BB16．【2020年新课标全国Ⅱ卷第20题】如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，QB=2，求PB与平面QCD所成角的正弦值．17．【2020年新课标全国Ⅰ卷第20题】如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．18．【2020年新课标Ⅲ卷理科第19题】如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，点（1）证明：点C1在平面AEF（2）若AB=2，AD=1，AA19．【2020年新课标Ⅱ卷理科第20题】如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.20．【2020年新课标Ⅰ卷理科第18题】如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD．△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=6（1）证明：PA⊥平面PBC；（2）求二面角B−PC−E的余弦值．21．【2019年新课标Ⅲ卷理科第19题】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.22．【2019年新课标Ⅱ卷理科第17题】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.23．【2019年新课标Ⅰ卷理科第18题】如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．24．【2018年新课标Ⅱ卷理科第20题】如图，在三棱锥P−ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M−PA−C为30°，求PC与平面PAM25．【2018年新课标Ⅲ卷理科第19题】如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥M−ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．26．【2018年新课标Ⅰ卷理科第18题】如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.27．【2017年新课标Ⅰ卷理科第18题】如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且∠BAP=∠CDP=9（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90∘，求二面角A−PB28．【2017年新课标Ⅲ卷理科第19题】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.29．【2017年新课标Ⅱ卷理科第19题】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=12AD（1）证明：直线CE//平面PAB（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45o，求二面角30．【2016年新课标Ⅲ卷理科第19题】如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.31．【2016年新课标Ⅱ卷理科第19题】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6，点E,F分别在AD,CD上，AE=CF=54,EF（1）证明：D'H⊥平面ABCD；（2）求二面角B−D'A−C的正弦值.32．【2016年新课标Ⅰ卷理科第18题】如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D−AF−E与二面角

（1）证明：平面ABEF⊥平面EFDC；（2）求二面角E−BC−A的余弦值.33．【2015年新课标Ⅱ理科第19题】如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中,AB=16，BC=10，AA1=8，点E，（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（Ⅱ）求直线AF与平面α所成角的正弦值．34．【2015年新课标Ⅰ理科第18题】如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC．

（1）证明：平面AEC⊥平面AFC；（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．1．（2024·河南·三模）如图所示，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，AD=DC=CB=2，AB=(1)证明：D在平面PAC上的射影H为△PAC(2)当二面角P−AD−C为120∘时，求直线AD与平面APB所成角2．（2024·山东泰安·模拟预测）如图1，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=π2，AB=BC=12AD，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE(1)证明：平面BCDE⊥平面A1(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A13．（2024·山东德州·三模）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，点M为PC中点，∠ABC=∠BAD=π2，BC=2AD=(1)证明:DM//平面(2)求证：平面PAD⊥平面PAB；(3)若PD与平面PBC所成的角为30∘，求平面PDC与平面4．（2024·山东青岛·三模）如图所示，多面体ABCDEF，底面ABCD是正方形，点O为底面的中心，点M为EF的中点，侧面ADEF与BCEF是全等的等腰梯形，EF=4(1)证明:MO⊥平面ABCD；(2)若点P在棱CE上，直线BP与平面ABM所成角的正弦值为24221，求5．（2024·山东菏泽·模拟预测）如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AD=BD，∠DAB=π4，PB⊥BC，(1)证明：PA⊥BD；(2)若AD=PD=22，E为AD的中点，求直线PC与平面6．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC=BC=(1)求证：EF//平面AB(2)设AB=4a(0<a≤22)，在平面AB7．（2024·新疆·三模）已知底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA∥DQ，PA=3DQ=3(1)求证：平面PAC⊥平面CDQ；(2)线段PC上是否存在点M，使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是155.若存在，求出PM8．（2024·浙江·三模）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，平面ACC1A1⊥底面ABC，∠A1AC=π(1)当P是线段EF的中点时，求点P到平面ABB(2)当平面PCC1与平面BB1C9．（2024·江苏宿迁·三模）如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，B1C1为半个圆柱上底面的直径，∠ACB=90°，AC=BC=2，点E，F分别为AC，(1)证明：平面BCD//平面C(2)若P是线段C1F上一个动点，当CC1=10．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，已知斜三棱柱ABC−A1B1C1的侧面(1)求证：AB⊥BC；(2)求平面ABB1与平面11．（2024·江苏苏州·三模）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，(1)求证：AB(2)求直线EF和B1(3)求直线EF与平面CD12．（2024·河南·三模）如图，在四棱台ABCD=A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，侧棱(1)证明：平面DBB1D(2)若四棱台ABCD−A1B1C1D13．（2024·河南新乡·三模）如图，在四面体A