2024-2025学年新教材高中数学第五章三角函数5.1.2蝗制课时跟踪训练含解析新人教A版必修第一册

PAGE弧度制一、复习巩固1．下列各种说法中，不正确的是()A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1°的角是周角的eq\f(1,360)，1rad的角是周角的eq\f(1,2π)C．1rad的角比1°的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关解析：依据角度制和弧度制的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径大小无关，而是与弧长与半径的比值有关．答案：D2．下列各说法中，错误的说法是()A．半圆所对的圆心角是πradB．周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度解析：依据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误．答案：D3．下列说法中，正确的是()A．1弧度是1度的圆心角所对的弧B．1弧度是长度为半径的弧C．1弧度是1度的弧与1度的角之和D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，弧度是角的一种度量单位解析：由1弧度的概念知选项D正确．答案：D4．－690°化为弧度是()A．－eq\f(5π,3) B．－eq\f(7π,3)C．－eq\f(23π,6) D．－eq\f(13π,6)解析：因为1°＝eq\f(π,180)，所以－690°＝－690×eq\f(π,180)＝－eq\f(23,6)π.答案：C5．假如一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的eq\f(3,2)倍，那么该弧所对的圆心角是原来的()A.eq\f(1,2)倍 B．2倍C.eq\f(1,3)倍 D．3倍解析：设圆的半径为r，弧长为l，则该弧所对圆心角的弧度数为eq\f(l,r)，若将半径变为原来的一半，弧长变为原来的eq\f(3,2)倍，则该弧所对圆心角的弧度数变为eq\f(\f(3,2)l,\f(1,2)r)＝3·eq\f(l,r)，即该弧所对的圆心角变为原来的3倍．答案：D6．下列与eq\f(9π,4)的终边相同的角的表达式中，正确的是()A．2kπ＋45° B．k·360°＋eq\f(9π,4)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)解析：与eq\f(9π,4)的终边相同的角可以写成2kπ＋eq\f(9π,4)(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．答案：C7．已知α＝－3，则角α的终边所在的象限是()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：因为1≈57.3°，故α＝－3≈－171.9°，所以α在第三象限．答案：C8．与－660°角终边相同的最小正角是________．(用弧度制表示)解析：因为与角α终边相同的角为α＋k·360°(k∈Z)，所以与－660°角终边相同的角是－660°＋k·360°(k∈Z)，其中最小正角是60°，化为弧度为eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)9．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________．解析：|α|＝eq\f(l,r)＝eq\f(12,8)＝eq\f(3,2)，S＝eq\f(1,2)l·r＝eq\f(1,2)×12×8＝48.答案：eq\f(3,2)4810．设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝eq\f(3π,5)，β2＝－eq\f(π,3).(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同的全部角．解析：(1)∵180°＝πrad∴α1＝－570°＝－eq\f(570π,180)＝－eq\f(19π,6)＝－2×2π＋eq\f(5π,6)，α2＝750°＝eq\f(750π,180)＝eq\f(25π,6)＝2×2π＋eq\f(π,6).∴α1的终边在其次象限，α2的终边在第一象限．(2)β1＝eq\f(3π,5)＝eq\f(3,5)×180°＝108°，设θ＝108°＋k·360°(k∈Z)，则由－720°≤θ＜0°，即－720°≤108°＋k·360°＜0°，得k＝－2，或k＝－1.故在－720°～0°范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°.β2＝－eq\f(π,3)＝－60°，设γ＝－60°＋k·360°(k∈Z)，则由－720°≤－60°＋k·360°＜0°，得k＝－1，或k＝0.故在－720°～0°范围内，与β2终边相同的角是－420°.二、综合应用11．把－eq\f(11,4)π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．－eq\f(3π,4) B．－eq\f(π,4)C.eq\f(π,4) D.eq\f(3π,4)解析：∵－eq\f(11π,4)＝－2π－eq\f(3π,4).∴－eq\f(11π,4)与－eq\f(3π,4)是终边相同的角，且此时|－eq\f(3π,4)|＝eq\f(3π,4)是最小值．答案：A12．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于()A．∅B．{α|0≤α≤π}C．{α|－4≤α≤4}D．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}解析：利用数轴取交集的方法，如图画出表示A，B的角的集合．由图形可知，A∩B＝{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}，故选D.答案：D13．若α，β满意－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，则α－β的取值范围是________．解析：由题意，得－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<－β<eq\f(π,2)，∴－π<α－β<π.又α<β，∴α－β<0.∴－π<α－β<0.答案：(－π，0)14．若角α的终边与角eq\f(8,5)π的终边相同，则在[0,2π]上，终边与角eq\f(α,4)的终边相同的角是________．解析：由题意，得α＝eq\f(8,5)π＋2kπ(k∈Z)，所以eq\f(α,4)＝eq\f(2,5)π＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)．令k＝0,1,2,3，得eq\f(α,4)＝eq\f(2,5)π，eq\f(9,10)π，eq\f(7,5)π，eq\f(19,10)π.答案：eq\f(2,5)π，eq\f(9,10)π，eq\f(7,5)π，eq\f(19,10)π15．把下列角化成2kπ＋α，k∈Z,0≤α＜2π的形式，并推断该角是第几象限角：(1)eq\f(31π,4)；(2)－1104°.解析：(1)eq\f(31π,4)＝6π＋eq\f(7π,4)，∵eq\f(7π,4)是第四象限角，∴eq\f(31π,4)是第四象限角．(2)∵－1104°＝－1104×eq\f(π,180)＝－eq\f(92,15)π＝－8π＋eq\f(28π,15)，∴eq\f(28π,15)是第四象限角，∴－1104°是第四象限角．16．(1)已知扇形的周长为20cm，面积为9cm(2)已知某扇形的圆心角为75°，半径为15cm，解析：(1)如图所示，设扇形的半径为rcm，弧长为lcm，圆心角为θ(0<θ<2π)，由l＋2r＝20，得l＝20－2r，由eq\f(1,2)lr＝9，得eq\f(1,2)(20－2r)r＝9，∴r2－10r＋9＝0，解得r1＝1，r2＝9.当r1＝1cm时，l＝18cm，θ＝eq\f(l,r)＝eq\f(18,1)＝18>2π(舍去)．当r2＝9cm时，l＝2