2024-2025学年新教材高中数学第十章复数10.2.2复数的乘法与除法学案新人教B版必修第四册

PAGE10.2.2复数的乘法与除法必备学问·自主学习导思1.复数的乘法与除法的运算法则是什么?2.互为共轭复数的乘积是实数吗?1.复数代数形式的乘法法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),称z1·z2(或z1×z2)为z1与z2的积,并规定z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.2.复数乘法的运算律对随意复数z1,z2,z3∈C,有交换律z1·z2=z2·z1结合律(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)安排律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3【提示】复数的乘法的两点说明(1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似,可仿多项式乘法进行,但结果要将实部、虚部分开(i2换成-1).(2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍旧成立,乘法公式也适用.在进行复数的乘法运算时,多项式运算中的完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2是否还适用?提示:仍旧适用.但运算结果中的i2要化为-1.3.复数的除法法则设z1=a+bi,z2=c+di(c+di≠0),则QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi(c+di≠0).【提示】复数除法的两点说明(1)分子、分母同乘以分母的共轭复数c-di,化简后即得结果,这个过程事实上就是把分母实数化,这与根式除法的分母“有理化”很类似.(2)留意最终结果要将实部、虚部分开.4.实系数一元二次方程:ax2+bx+c=0(a,b,c∈R且a≠0)在复数范围内肯定有两个根.Δ=b2-4ac.(1)当Δ≥0时有两个实根.①Δ>0时有两个不相等的实根:QUOTE;②Δ=0时有两个相等的实根:-QUOTE.(2)Δ<0时有两个互为共轭的虚数根:QUOTE.(3)若x1,x2是其两个根,总有QUOTE1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)若z1,z2∈C,且QUOTE+QUOTE=0,则z1=z2=0. ()(2)两个共轭虚数的积是实数. ()(3)两个虚数的商还是虚数. ()提示:(1)×.反例:如z1=1,z2=i,满意QUOTE+QUOTE=0,但不满意z1=z2=0.(2)√.z=a+bi(a,b∈R,b≠0),zQUOTE=a2+b2∈R.(3)×.两个虚数的商也可能是实数,如2i÷i=2.2.设复数z满意iz=1,其中i为虚数单位,则z等于 ()A.-i B.i C.-1 D.1【解析】选A.z=QUOTE=-i.3.计算:(2-i)(1+i)=.

【解析】(2-i)(1+i)=2-i2+i=3+i.答案:3+i4.(教材二次开发:例题改编)已知复数z=QUOTE(i为虚数单位),则QUOTE=.

【解析】z=QUOTE=QUOTE=-1+2i,QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE关键实力·合作学习类型一复数的乘法(数学运算)1.(2024·江苏高考)已知i是虚数单位,则复数z=QUOTE的实部是.

【解析】z=QUOTE=3+i,则实部为3.答案:32.计算下列各题.(1)(1-i)(1+i)+(-1+i).(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i.(3)(1-2i)(3+4i)(-2+i).【解析】(1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-i2-1+i=1+i.(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i=(3+11i)(3-4i)+2i=(9-12i+33i-44i2)+2i=53+21i+2i=53+23i.(3)(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.1.两个复数代数形式乘法的一般方法(1)首先按多项式的乘法绽开.(2)再将i2换成-1.(3)然后再进行复数的加、减运算,化简为复数的代数形式.2.常用公式(1)(a+bi)2=a2-b2+2abi(a,b∈R).(2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R).(3)(1±i)2=±2i.类型二复数的除法(数学运算)【典例】已知z是纯虚数,QUOTE是实数,求z.【思路导引】设出复数z,依据复数的运算法则及实数的概念求解.【解析】设纯虚数z=bi(b∈R且b≠0)则QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi,又QUOTE是实数,所以b+2=0,即b=-2,所以z=-2i.应用复数除法法则的两个步骤(1)分母实数化:分子、分母同乘以分母的共轭复数,转化为复数乘法运算.(2)结果化为复数代数形式.1.(2024·全国卷Ⅰ)设z=QUOTE,则|z|= ()A.2 B.QUOTE C.QUOTE D.1【解析】选C.因为z=QUOTE,所以z=QUOTE=QUOTE-QUOTEi,所以|z|=QUOTE=QUOTE.2.(2024·合肥高一检测)已知i为虚数单位,复数z=QUOTE+3i,则复数z的虚部是 ()A.i B.1 C.2i D.2【解析】选D.z=QUOTE+3i=QUOTE+3i=1+2i,其虚部为2.3.(2024·天津高考)i是虚数单位,复数QUOTE=.

【解析】QUOTE=QUOTE=QUOTE=3-2i.答案:3-2i类型三i的运算性质(逻辑推理)【典例】计算:(1)QUOTE+QUOTE.(2)i+i2+…+i2021.【思路导引】利用i的乘方的周期性计算.【解析】(1)原式=QUOTE+QUOTE=i(1+i)+(-i)1010=i+i2+(-1)1010·i1010=i-1+i4×252+2=i-1-1=i-2.(2)方法一:原式=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=i.方法二:因为in+QUOTE+in+2+in+3=in(1+i+i2+i3)=0(n∈N*),所以原式=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2017+i2018+i2019+i2020)+i2021=i2021=(i4)505·i=1505·i=i.i的运算性质的应用(1)i的周期性要记熟,即in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*).(2)记住以下结果,可提高运算速度①(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i;②QUOTE=-i,QUOTE=i;③QUOTE=-i.【补偿训练】1.(2024·福清高一检测)i+i2+i3+i4+…+i2018= ()A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i【解析】选C.原式=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2013+i2014+i2015+i2016)+i2017+i2018=i2017+i2018=i+i2=-1+i.2.(2024·上海高一检测)已知复数z满意z(1+i2020)=2-4i(其中i为虚数单位)则z=.

【解析】因为zQUOTE=2-4i,所以z=QUOTE=QUOTE=1-2i.答案:1-2i类型四共轭复数及其应用(数学运算)【典例】(1)已知复数z=QUOTE,QUOTE是z的共轭复数,则z·QUOTE等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.2(2)已知复数z满意|z|=QUOTE且(1-2i)z是实数,求QUOTE.【思路导引】(1)先利用复数的运算法则求出复数z,再依据共轭复数的定义求出QUOTE,最终依据复数的乘法法则求z·QUOTE.(2)可以先设复数的代数形式,再利用复数的运算性质求解;也可以利用共轭复数的性质求解.【解析】(1)选A.方法一:因为z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE+QUOTE,所以QUOTE=-QUOTE-QUOTE,所以z·QUOTE=QUOTE.方法二:因为z=QUOTE,所以|z|=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以z·QUOTE=QUOTE.(2)方法一:设z=a+bi(a,b∈R),则(1-2i)z=(1-2i)(a+bi)=(a+2b)+(b-2a)i,又因为(1-2i)z是实数,所以b-2a=0,即b=2a,又|z|=QUOTE,所以a2+b2=5.解得a=±1,b=±2,所以z=1+2i或-1-2i,所以QUOTE=1-2i或-1+2i,即QUOTE=±(1-2i).方法二:因为(1-2i)z是实数,故可设z=b(1+2i),b∈R,由|z|=QUOTE可知|b|QUOTE=QUOTE,所以b=±1,即QUOTE=±(1-2i).1.在例题(1)条件不变的状况下,把例题(1)的结论改为:求QUOTE.【解析】由例题(1)的解析可知z=-QUOTE+QUOTE,QUOTE=-QUOTE-QUOTE,z·QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTEi.2.把例题(2)的条件“(1-2i)z是实数”换成“(1-2i)z是纯虚数”,求QUOTE.【解析】设z=a+bi,则QUOTE=a-bi,由例题(2)的解析可知a=-2b,由|z|=QUOTE=QUOTE=QUOTE,得b=1,a=-2或b=-1,a=2,所以QUOTE=-2-i,或QUOTE=2+i.共轭复数的应用(1)由比较困难的复数运算给出的复数,求其共轭复数,可先按复数的四则运算法则进行运算,将复数写成代数形式,再写出其共轭复数.(2)留意共轭复数的简洁性质的运用.类型五复数范围内的一元二次方程(逻辑推理、数学运算)【典例】(1)若1+QUOTEi是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则 ()A.b=2,c=3 B.b=-2,c=3C.b=-2,c=-1 D.b=2,c=-1(2)已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实数根,则实数k的值为.

【思路导引】(1)利用根与系数的关系求解;(2)设方程的实数根,利用复数相等的条件求解.【解析】(1)选B.实系数方程虚根成对,所以1-QUOTEi也是一根,所以b=-2,c=1+2=3.(2)设x0是方程的实数根,代入方程并整理得(QUOTE+kx0+2)+(2x0+k)i=0.由复数相等的充要条件得QUOTE解得QUOTE或QUOTE所以k的值为-2QUOTE或2QUOTE.答案:±2QUOTE解决复数范围内的一元二次方程问题的留意点(1)与在实数范围内对比,在复数范围内解决实系数一元二次方程问题,根与系数的关系和求根公式仍旧适用,但是判别式推断方程根的功能就发生变更了.(2)解决复系数一元二次方程的基本方法是复数相等的充要条件.已知a,b∈R,且2+ai,b+i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2+px+q=0的两个根,求p,q的值.【解析】由根与系数的关系可得QUOTE即QUOTE因为p,q均为实数,所以QUOTE解得QUOTE从而有QUOTE课堂检测·素养达标1.已知QUOTE=1+i(i为虚数单位),则复数z等于 ()A.1+i B.1-iC.-1+i D.-1-i【解析】选D.因为QUOTE=1+i,所以z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-1-i.2.若复数z满意(1+i)z=|QUOTE+i|,则在复平面内,QUOTE对应的点位于 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选A.由题意,得z=QUOTE=QUOTE=1-i,所以QUOTE=1+i,其在复平面内对应的点为(1,1),位于第一象限,故选A.3.方程x2+6x+13=0的一个根是 ()A.-3+2i B.3+2iC.-2+3i D.2+3i【解析】选A.Δ=36-4×13=-16,所以x=QUOTE=-3±2i.4.设i是虚数单位,QUOTE是复数z的共轭复数,若z=QUOTE,则QUOTE=.

【解析】z=QUOTE=QUOTE=-1-i,所以QUOTE=-1+i.答案:-1+i5.(2024·广州高一检测)已知复数z=QUOTE-QUOTEi.则z2+z4=.

【解析】因为z2=QUOTE=QUOTE-i-QUOTE=-i,所以z4=QUOTE=(-i)2=-1,所以z2+z4=-1-i.答案:-1-i七复数的乘法与除法(15分钟30分)1.(2024·宁夏高一检测)若a为实数,则复数z=QUOTE在复平面内对应的点在 ()A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限 D.其次象限【解析】选B.因为z=a+i+a2i-a=QUOTEi,且a2+1>0,所以复数z=QUOTE在复平面内对应的点在虚轴上.2.(2024·青岛高一检测)已知i是虚数单位,则化简QUOTE的结果为 ()A.i B.-i C.-1 D.1【解析】选C.因为QUOTE=QUOTE=QUOTE=i,所以QUOTE=i2022=i2=-1.3.(2024·武汉高一检测)已知i是虚数单位,复数z满意QUOTEz=i,则z的虚部是 ()A.QUOTE B.-QUOTEi C.QUOTEi D.-QUOTE【解析】选A.因为QUOTEz=i,所以z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi,则z的虚部为QUOTE.4.若方程x2+x+m=0有两个虚根α,β,且|α-β|=3,则实数m的值为 ()A.QUOTE B.-QUOTE C.2 D.-2【解析】选A.因为方程x2+x+m=0是实系数一元二次方程,且有两个虚根α,β,所以α,β互为共轭虚数,所以设α=a+bi,a,b∈R,则β=a-bi,由|α-β|=3,得b=±QUOTE.当b=QUOTE时,α=a+QUOTEi,代入方程得QUOTE+a+QUOTEi+m=0,即QUOTE+QUOTEi=0,所以QUOTE所以QUOTE当b=-QUOTE时,同理QUOTE【补偿训练】若a为实数,且QUOTE=3+i,则a= ()A.-4 B.-3 C.3 D.4【解析】选D.QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi=3+i,所以QUOTE解得a=4.5.设复数z=1+QUOTEi,则z2-2z=.

【解析】因为z=1+QUOTEi,所以z2-2z=z(z-2)=(1+QUOTEi)(1+QUOTEi-2)=(1+QUOTEi)(-1+QUOTEi)=-3.答案:-36.(2024·新泰高一检测)已知i为虚数单位,若复数z=QUOTE,z的共轭复数为QUOTE,则z·QUOTE=.

【解析】由题可知z=QUOTE=i,所以QUOTE=-i,所以z·QUOTE=i·(-i)=1.答案:1(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.(2024·全国卷Ⅰ)设复数z满意|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则 ()A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1【解析】选C.因为z在复平面内对应的点为(x,y),所以z=x+yi,所以z-i=x+(y-1)i,所以|z-i|=QUOTE=1,所以x2+(y-1)2=1.2.(2024·全国卷Ⅲ)设z=i(2+i),则QUOTE= ()A.1+2i B.-1+2iC.1-2i D.-1-2i【解析】选D.因为z=i(2+i)=-1+2i,所以QUOTE=-1-2i.3.(2024·南昌高一检测)复数z=QUOTE的虚部为 ()A.-QUOTEi B.-QUOTE C.QUOTEi D.QUOTE【解析】选D.因为z=QUOTE=QUOTE=-QUOTE+QUOTEi,所以复数z=QUOTE的虚部为QUOTE.4.(2024·南宁高一检测)已知复数z的共轭复数为QUOTE,且QUOTE=3+i(i为虚数单位),则QUOTE= ()A.2 B.QUOTE C.QUOTE D.4【解析】选B.因为QUOTE=3+i,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=1+i,则QUOTE=QUOTE=QUOTE.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.(2024·胶州高一检测)若复数z满意(1+i)z=3+i(其中i是虚数单位),复数z的共轭复数为QUOTE,则 ()A.|z|=QUOTEB.z的实部是2C.z的虚部是1D.复数QUOTE在复平面内对应的点在第一象限【解析】选ABD.因为(1+i)z=3+i,所以z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2-i,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,故选项A正确.z的实部是2,故选项B正确.z的虚部是-1,故选项C错误.复数QUOTE=2+i在复平面内对应的点为QUOTE,在第一象限,故选项D正确.6.(2024·济南高一检测)已知集合M={m|m=in,n∈N},其中i为虚数单位,则下列元素属于集合M的是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选BC.依据题意,M=QUOTE中n=4kQUOTE时,in=1;n=4k+1QUOTE时,in=i;n=4k+2QUOTE时,in=-1;n=4k+3QUOTE时,in=-i,所以M=QUOTE.选项A中QUOTE=2∉M;选项B中QUOTE=QUOTE=-i∈M;选项C中QUOTE=QUOTE=i∈M;选项D中QUOTE=-2i∉M.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知1+2i是方程x2-mx+2n=0(m,n∈R)的一个根,则m+n=.

【解析】由题意,方程另一根为1-2i,所以QUOTE解得QUOTE故m+n=2+QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.若QUOTE=1-bi,其中a,b都是实数,i是虚数单位,则|a+bi|=.

【解析】因为a,b∈R,且QUOTE=1-bi,则a=(1-bi)(1-i)=(1-b)-(1+b)i,所以QUOTE所