2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步1.5.2平行关系的性质课时作业含解析北师大版必修2

PAGE课时作业7平行关系的性质|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与ABA．平行B．相交C．异面D．平行和异面解析：∵E、F分别是AA1、BB1的中点，∴EF∥AB.又AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.又AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，∴AB∥GH.答案：A2．已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若a∥b，a∥α，b∥β，则α∥β；③若α∥β，a⊂α，则a∥β；④若a∥α，a∥β，则α∥β.其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：对于①，a∥b或a与b是异面直线，故①错；对于②，也可能是α与β相交，故②错；对于④，同样α与β也可能相交，故④错．只有③对．答案：A3．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论正确的是()A．E，F，G，H肯定是各边的中点B．G，H肯定是CD，DA的中点C．BE：EA＝BF：FC，且DH：HA＝DG：GCD．AE：EB＝AH：HD，且BF：FC＝DG：GC解析：由BD∥平面EFGH，得BD∥EH，BD∥FG，则AE：EB＝AH：HD，且BF：FC＝DG：GC.答案：D4．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B在平面β内，则在平面β内且过点B的全部直线中()A．不肯定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在多数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线解析：当直线a平面β，且点B在直线a上时，在平面β内且过点B的全部直线中不存在与a平行的直线．故选A.答案：A5．若α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，且AB＋CD＝28，AB、CD在β内的射影长分别为9和5，则AB、CD的长分别为()A．16和12B．15和13C．17和11D．18和10解析：如图，作AM⊥β，CN⊥β，垂足分别为M、N，设AB＝x，则CD＝28－x，BM＝9，ND＝5，∴x2－81＝(28－x)2－25，∴x＝15,28－x＝13.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．若空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8,12，过AB的中点E作平行于BD、AC的截面四边形的周长为________．解析：截面四边形为平行四边形，则l＝2×(4＋6)＝20.答案：207．如图所示，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD四边上的点，且它们共面，AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH为菱形时，AEEB＝________.解析：因为AC∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH＝EF，AC平面ABC，所以EF∥AC，所以eq\f(EB,BA)＝eq\f(EF,AC)①.同理可证eq\f(AE,BA)＝eq\f(EH,BD)②.又四边形EFGH是菱形，所以EF＝EH，由①②，得eq\f(AE,EB)＝eq\f(AC,BD).又AC＝m，BD＝n，所以eq\f(AE,EB)＝eq\f(m,n).答案：mn8．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝eq\f(a,3)，过P，M，N的平面与棱CD交于Q，则PQ＝________.解析：由线面平行的性质知MN∥PQ∥AC，所以eq\f(PQ,AC)＝eq\f(2,3)，又AC＝eq\r(2)a，所以PQ＝eq\f(2\r(2),3)a.答案：eq\f(2\r(2),3)a三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且EH∥FG.求证：EH∥BD.证明：因为EH∥FG，EH⊄平面BCD，FG⊂平面BCD，所以EH∥平面BCD，又因为EH⊂平面ABD，平面BCD∩平面ABD＝BD，所以EH∥BD.10.如图，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．解析：(1)证明：因为BC∥AD，BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，BC平面PBC，所以l∥BC.(2)平行．取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE綊AM.所以四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE.又因为AE平面PAD，MN平面PAD，所以MN∥平面PAD.|实力提升|(20分钟，40分)11．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么全部的动点C()A．不共面B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．不论A、B如何移动，都共面解析：如图所示，A′、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点，此时AB中点变成A′B′中点C′，连接A′B，取A′B中点E.连接CE、C′E、AA′、BB′、CC′.则CE∥AA′，∴CE∥α.C′E∥BB′，∴C′E∥β.又∵α∥β，∴C′E∥α.∵C′E∩CE＝E.∴平面CC′E∥平面α.∴CC′∥α.所以不论A、B如何移动，全部的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上．答案：D12．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则解析：因为平面α∥平面BC1E，所以A1F綊BE所以Rt△A1AF≌Rt△BB1E，所以FA＝B1E＝1.答案：113．平面内两正方形ABCD与ABEF，点M，N分别在对角线AC，FB上，且AMMC＝FNNB，沿AB折起，使得∠DAF＝90°.(1)证明：折叠后MN∥平面CBE；(2)若AM：MC＝2：3，在线段AB上是否存在一点G，使平面MGN∥平面CBE？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．解析：(1)证明：如图，设直线AN与直线BE交于点H，连接CH，因为△ANF∽△HNB，所以eq\f(FN,NB)＝eq\f(AN,NH).又eq\f(AM,MC)＝eq\f(FN,NB)，所以eq\f(AN,NH)＝eq\f(AM,MC)，所以MN∥CH.又MN⊄平面CBE，CH⊂平面CBE，所以MN∥平面CBE.(2)存在，过M作MG⊥AB，垂足为G，连接GN，则MG∥BC，MG⊄平面CBE，BC⊂平面CBE，所以MG∥平面CBE.又MN∥平面CBE，MG∩MN＝M，所以平面MGN∥平面CBE.所以点G在线段AB上，且AG：GB＝AM：MC＝2：3.14.如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．解析：(1)证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD.∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB，AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH.∴AB∥平面EFGH.同理可证，CD∥平面EFGH.(2)设EF＝x(0<x<4)，∵四边形EFGH为平行四边形，∴eq\f(CF,CB)＝eq\f(x,4)，则eq\f(F