2024-2025学年高中数学第二章变化率与导数5简单复合函数的求导法则课后作业含解析北师大版选修2-2

PAGE其次章改变率与导数[A组基础巩固]1．函数y＝2sin3x的导数是()A．2cos3x B．－2cos3xC．6sin3x D．6cos3x解析：y′＝(2sin3x)′＝6cos3x.答案：D2．y＝(3x2＋2x)5的导数是()A．5(3x2＋2x)4(6x＋2)B．(6x＋2)5C．10(3x＋2)4D．5(3x＋2)4(6x＋2)解析：y′＝5(3x2＋2x)4·(3x2＋2x)′＝5(3x2＋2x)4(6x＋2)．答案：A3．y＝log3cos2x的导数是()A．y′＝－2log3e·tanx ` B．y′＝2log3e·cotxC．y′＝－2log3cosx D．y′＝eq\f(log3e,cos2x)解析：y′＝eq\f(1,cos2x)log3e·(cos2x)′＝eq\f(1,cos2x)log3e·2cosx·(cosx)′＝eq\f(1,cos2x)log3e·2cosx·(－sinx)＝－2log3e·tanx，故选A.答案：A4．函数y＝x2cos2x的导数为()A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2xC．y′＝x2cos2x－2xsin2xD．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x解析：y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－sin2x)·(2x)′＝2xcos2x－2x2sin2x.答案：B5．某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝eq\r(10t)，则在时刻t＝40min的降雨强度为()A．20mm B．400mmC.eq\f(1,2)mm/min D.eq\f(1,4)mm/min解析：f′(t)＝eq\f(1,2\r(10t))·10＝eq\f(5,\r(10t))，∴f′(40)＝eq\f(5,\r(400))＝eq\f(1,4).答案：D6．若f(x)＝eq\f(ex＋e－x,2)，则f′(0)＝________.解析：∵f′(x)＝eq\f(1,2)(ex－e－x)，∴f′(0)＝0.答案：07．若y＝x2(1＋eq\r(x))，则y′＝________.解析：y′＝2x(1＋eq\r(x))＋x2(1＋eq\r(x))′＝＋2x.答案：＋2x8．若f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝________.解析：f′(x)＝[log3(x－1)]′＝eq\f(1,x－1ln3)，所以f′(2)＝eq\f(1,ln3).答案：eq\f(1,ln3)9．求下列函数的导数：(1)y＝cos(eq\f(π,4)－3x)；(2)y＝eq\f(1,x)(2＋5x)10；(3)y＝eq\f(1,2)ln(1＋x2)．解析：(1)y′＝[cos(eq\f(π,4)－3x)]′＝－sin(eq\f(π,4)－3x)·(－3)＝3sin(eq\f(π,4)－3x)．(2)y′＝[eq\f(1,x)(2＋5x)10]′＝－eq\f(1,x2)(2＋5x)10＋eq\f(1,x)·10(2＋5x)9·5＝－eq\f(2＋5x10,x2)＋eq\f(502＋5x9,x)＝eq\f(2＋5x945x－2,x2).(3)y′＝eq\f(1,2)[ln(1＋x2)]′＝eq\f(1,2)·eq\f(1,1＋x2)·(1＋x2)′＝eq\f(1,21＋x2)·2x＝eq\f(x,1＋x2).10．求y＝ln(2x＋3)的导数，并求在点(－eq\f(1,2)，ln2)处切线的倾斜角．解析：令y＝lnu，u＝2x＋3，则y′x＝(lnu)′·(2x＋3)′＝eq\f(1,u)·2＝eq\f(2,2x＋3).当x＝－eq\f(1,2)时，y′＝eq\f(2,3－1)＝1，即在点(－eq\f(1,2)，ln2)处切线的倾斜角的正切值为1，所以倾斜角为eq\f(π,4).[B组实力提升]1．函数y＝e2x－4在点x＝2处的切线方程为()A．2x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0C．ex－y－2e＋1＝0 D．ex＋y＋2e－1＝0解析：y′＝2e2x－4，则当x＝2时，y′＝2e0＝2，∴斜率为2.又当x＝2时，y＝e2×2－4＝1，∴切点为(2,1)．∴切线方程为2x－y－3＝0.答案：A2．已知点P在曲线y＝eq\f(4,ex＋1)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A．[0，eq\f(π,4)) B．[eq\f(π,4)，eq\f(π,2))C．(eq\f(π,2)，eq\f(3π,4)] D．[eq\f(3π,4)，π)解析：设切点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝(eq\f(4,ex＋1))′＝－eq\f(4ex,ex＋12)＝－eq\f(4,ex＋2＋\f(1,ex))，故tanα＝y′|x＝x0＝－eq\f(4,ex0＋2＋\f(1,ex0)).因为ex0＋eq\f(1,ex0)≥2，所以ex0＋eq\f(1,ex0)＋2≥4，故tanα＝－eq\f(4,ex0＋2＋\f(1,ex0))∈[－1,0)，又α∈[0，π)，所以α∈[eq\f(3π,4)，π)．答案：D3．函数y＝sin2x的图像在点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,4)))处的切线的斜率是________．解析：因为y＝sin2x，所以y′＝2sinx(sinx)′＝2sinx·cosx＝sin2x，所以k＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)))＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)4．已知函数f(x)＝eq\f(x－1,x＋a)＋ln(x＋1)，其中实数a≠－1.若a＝2，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为________．解析：f′(x)＝eq\f(x＋a－x－1,x＋a2)＋eq\f(1,x＋1)＝eq\f(a＋1,x＋a2)＋eq\f(1,x＋1).当a＝2时，f′(0)＝eq\f(2＋1,0＋22)＋eq\f(1,0＋1)＝eq\f(7,4)，而f(0)＝－eq\f(1,2)，因此曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(7,4)(x－0)，即7x－4y－2＝0.答案：7x－4y－2＝05．求证：定义在R上的偶函数在x＝0处的导数为零．证明：设f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)．两边对x求导，得f′(－x)·(－x)′＝f′(x)，即－f′(－x)＝f′(x)．令x＝0，有－f′(0)＝f′(0)，所以f′(0)＝0.6．设一质点的运动规律为S(t)＝e1－3tcos(2πt＋eq\f(π,3))，试求t＝eq\f(1,3)时质点运动的速度v.解析：由S(t)＝e1－3tcos(2πt＋eq\f(π,3))得S′(t)＝－3e1－3tcos(2