2025版新教材高考数学一轮复习课时质量评价50直线与圆锥曲线的位置关系含解析新人教A版VIP

PAGE课时质量评价(五十)(建议用时：45分钟)A组全考点巩固练1．(2024·鹤壁中学高三月考)已知直线l：x－y＋3＝0与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，点P(1,4)是弦AB的中点，则双曲线C的离心率为()A．eq\f(4,3)B．2C．eq\f(\r(5),2)D．eq\r(5)D解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为点P(1,4)是弦AB的中点，依据中点坐标公式可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝2，,y1＋y2＝8.))因为A，B两点在直线l：x－y＋3＝0上，依据两点斜率公式可得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝1.因为A，B两点在双曲线C上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)－\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),a2)－\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，))所以eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2),a2)－eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),b2)＝0，即eq\f(b2,a2)＝eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2))＝eq\f(y1＋y2y1－y2,x1＋x2x1－x2)＝eq\f(8,2)×1＝4，解得eq\f(b,a)＝2.所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2))＝eq\r(5).2．(2024·大连一中模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为eq\f(π,3)，且双曲线过点P(2,3)，双曲线两条渐近线与过右焦点F且垂直于x轴的直线交于A，B两点，则△AOB的面积为()A．4eq\r(3)B．2eq\r(3)C．8D．12A解析：由题意得，双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(3)x，可得双曲线的方程为x2－eq\f(y2,3)＝λ(λ>0)，把点(2,3)代入可得4－3＝λ，得λ＝1，所以双曲线的方程为x2－eq\f(y2,3)＝1，c2＝1＋3＝4，c＝2，F(2,0)，可得A(2，2eq\r(3))，B(2，－2eq\r(3))，可得S△AOB＝eq\f(1,2)×2×4eq\r(3)＝4eq\r(3).故选A．3．(2024·重庆高三月考)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点为F(－c,0)，过点F且斜率为1的直线与双曲线C交于A，B两点．若线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(2c，0)，则双曲线C的离心率为()A．eq\f(\r(5),2)B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．2D解析：设线段AB的中点坐标为(x0，y0)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0,x0＋c)＝1，,\f(y0,x0－2c)＝－1))⇒x0＝eq\f(c,2)，y0＝eq\f(3,2)c，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入双曲线方程有eq\f(x\o\al(2,1),a2)－eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)－eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，两式相减得eq\f(x1－x2x1＋x2,a2)－eq\f(y1－y2y1＋y2,b2)＝0，可得eq\f(b2,a2)＝eq\f(y1－y2y1＋y2,x1－x2x1＋x2)＝3，即b2＝3a2，所以c＝2a，e＝2.4．(2024·新高考全国卷Ⅰ)斜率为eq\r(3)的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________.eq\f(16,3)解析：(方法一)在抛物线y2＝4x中，2p＝4，斜率为eq\r(3)的直线倾斜角θ＝eq\f(π,3)，所以过焦点的弦长|AB|＝eq\f(2p,sin2θ)＝eq\f(4,sin2\f(π,3))＝eq\f(4,\f(3,4))＝eq\f(16,3).(方法二)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由已知可得抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，过点F且斜率k＝eq\r(3)的直线方程为y＝eq\r(3)(x－1)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝\r(3)x－1，))消去y得3x2－10x＋3＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(10,3)，,x1x2＝1，))所以|AB|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋3)×eq\r(\f(100,9)－4)＝eq\f(16,3).5．过点P(1,1)作直线l与双曲线x2－eq\f(y2,2)＝λ交于A，B两点．若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是____________．(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析：因为双曲线方程为x2－eq\f(y2,2)＝λ，所以λ≠0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为点P恰为线段AB的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.将A，B两点坐标代入双曲线方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)－\f(y\o\al(2,1),2)＝λ，,x\o\al(2,2)－\f(y\o\al(2,2),2)＝λ.))两式相减并化简可得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝2×eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝2.即直线l的斜率为2，所以直线的方程为y＝2x－1.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,x2－\f(y2,2)＝λ，))化简可得2x2－4x＋2λ＋1＝0.因为直线l与双曲线有两个不同的交点，所以Δ＝16－4×2×(2λ＋1)>0，解得λ<eq\f(1,2)且λ≠0.所以λ的取值范围为(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).6．(2024·雅安市高三二模)已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过F作直线与C相交于P，Q两点，且Q在第一象限．若2eq\o(PF,\s\up6(→))＝eq\o(FQ,\s\up6(→))，则直线PQ的斜率是________．2eq\r(2)解析：设l是准线，过P作PM⊥l于M，过Q作QN⊥l于N，过P作PH⊥QN于H，如图，则|PM|＝|PF|，|QN|＝|QF|.因为2eq\o(PF,\s\up6(→))＝eq\o(FQ,\s\up6(→))，所以|QF|＝2|PF|，所以|QN|＝2|PM|，所以|QH|＝|NH|＝|PM|＝|PF|，|PH|＝eq\r(3|PF|2－|PF|2)＝2eq\r(2)|PF|，所以tan∠HQF＝eq\f(|PH|,|QH|)＝2eq\r(2)，所以直线PQ的斜率为2eq\r(2).7．(2024·鹤壁市高三模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线与x轴交于点A，点M(2，p)在抛物线C上．(1)求C的方程；(2)过点M作直线l交抛物线C于另一点N.若△AMN的面积为eq\f(64,9)，求直线l的方程．解：(1)因为点M(2，p)在抛物线y2＝2px上，所以p2＝4p，所以p＝4或p＝0(舍去)，所以抛物线C的方程为y2＝8x.(2)由(1)知抛物线C的方程为y2＝8x，M(2,4)，A(－2，0)，kMA＝eq\f(4－0,2－－2)＝1，所以直线MA的方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0，且|MA|＝4eq\r(2)，所以点N到直线MA的距离d＝eq\f(2S△AMN,|MA|)＝eq\f(16\r(2),9).设N点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),8)，y0))，则d＝eq\f(\f(y\o\al(2,0),8)－y0＋2,\r(2))＝eq\f(16\r(2),9)，解得y0＝eq\f(28,3)或y0＝－eq\f(4,3)，即N点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(98,9)，\f(28,3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,9)，－\f(4,3))).若取Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(98,9)，\f(28,3)))，则kMN＝eq\f(\f(28,3)－4,\f(98,9)－2)＝eq\f(3,5)，所以直线l的方程为y－4＝eq\f(3,5)(x－2)，即3x－5y＋14＝0；若取Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,9)，－\f(4,3)))，则kMN＝eq\f(－\f(4,3)－4,\f(2,9)－2)＝3，所以直线l的方程为y－4＝3(x－2)，即3x－y－2＝0.所以直线l的方程为3x－5y＋14＝0或3x－y－2＝0.8．(2024·桂林模拟)椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq\f(\r(2),2)，过点A(－a,0)和B(0，b)的直线与原点间的距离为eq\f(\r(6),3).(1)求椭圆M的方程；(2)过点E(1,0)的直线l与椭圆M交于C，D两点，且点D位于第一象限，当eq\f(|CE|,|DE|)＝3时，求直线l的方程．解：(1)由题意可得直线AB的方程为bx－ay＋ab＝0.依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(ab,\r(a2＋b2))＝\f(\r(6),3)，,e＝\r(\f(a2－b2,a2))＝\f(\r(2),2)，))解得a2＝2，b2＝1，所以椭圆M的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)(x2>0，y2>0)，设直线l的方程为x＝my＋1(m∈R)．代入椭圆方程整理得(m2＋2)y2＋2my－1＝0.Δ＝8m2＋8>0，所以y1＋y2＝－eq\f(2m,m2＋2)，y1y2＝－eq\f(1,m2＋2).①由eq\f(|CE|,|DE|)＝3，依题意可得y1＝－3y2.②结合①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝\f(m,m2＋2)，,3y\o\al(2,2)＝\f(1,m2＋2)，))消去y2解得m＝1，m＝－1(不合题意)．所以直线l的方程为y＝x－1.B组新高考培优练9．(2024·大连市高考模拟)已知直线y＝2x＋m与椭圆C：eq\f(x2,5)＋y2＝1相交于A，B两点，O为坐标原点．当△AOB的面积取得最大值时，|AB|＝()A．eq\f(5\r(42),21)B．eq\f(\r(210),21)C．eq\f(2\r(42),7)D．eq\f(2\r(42),21)A解析：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋m，,\f(x2,5)＋y2＝1，))得21x2＋20mx＋5m2－5＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(20m,21)，x1x2＝eq\f(5m2－5,21)，|AB|＝eq\r(1＋22)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(\r(5)×\r(2021－m2),21)＝eq\f(10\r(21－m2),21).又O到直线AB的距离d＝eq\f(|m|,\r(5))，则△AOB的面积S＝eq\f(1,2)d·|AB|＝eq\f(\r(5)×\r(m221－m2),21)≤eq\f(\r(5)×\r(m2＋21－m2),21)＝eq\f(\r(105),21)，当且仅当m2＝21－m2，即m2＝eq\f(21,2)时，△AOB的面积取得最大值．此时，|AB|＝eq\f(10\r(21－m2),21)＝eq\f(5\r(42),21).10．(多选题)已知曲线C的方程为x2＋eq\f(y2,9)＝1(0＜x≤1)，A(0，－3)，B(0,3)，D(－1,0)，点P是C上的动点，直线AP与直线x＝5交于点M，直线BP与直线x＝5交于点N，则△DMN的面积可能为()A．73B．76C．68D．72ABD解析：设P(x0，y0)，则kPA·kPB＝eq\f(y\o\al(2,0)－9,x\o\al(2,0))＝eq\f(y\o\al(2,0)－9,1－\f(y\o\al(2,0),9))＝－9.设kpA＝k(k＞0)，则kPB＝－eq\f(9,k).直线AP的方程为y＝kx－3，则点M的坐标为(5,5k－3)，直线BP的方程为y＝－eq\f(9,k)x＋3，则点N的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，－\f(45,k)＋3)).所以|MN|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(5k－3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(45,k)＋3))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(5k＋\f(45,k)－6))≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2\r(5k·\f(45,k))－6))＝24，当且仅当5k＝eq\f(45,k)，即k＝3时等号成立．从而△DMN面积的最小值为eq\f(1,2)×24×6＝72.故选ABD．11．(2024·宜宾市高二月考)设A，B是抛物线y2＝4x上两点，抛物线的准线与x轴交于点N.已知弦AB的中点M的横坐标为3，记直线AB和MN的斜率分别为k1和k2，则keq\o\al(2,1)＋keq\o\al(2,2)的最小值为()A．2eq\r(2)B．2C．eq\r(2)D．1D解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(3，t)，N(－1，0)，可得yeq\o\al(2,1)＝4x1，yeq\o\al(2,2)＝4x2.相减可得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)，可得k1＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2)＝eq\f(4,2t)＝eq\f(2,t).又由k2＝eq\f(t,4)，所以k1k2＝eq\f(1,2)，则keq\o\al(2,1)＋keq\o\al(2,2)≥2|k1k2|＝1，当且仅当|k1|＝|k2|＝eq\f(\r(2),2)时取等号，即keq\o\al(2,1)＋keq\o\al(2,2)的最小值为1.12．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与抛物线交于A，B两点，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为M，∠MAF的角平分线与抛物线的准线交于点P，线段AB的中点为Q.若|AB|＝8，则|PQ|＝()A．2B．4C．6D．8B解析：如图，过点B作抛物线准线的垂线，垂足为N.由题意得∠MAP＝∠QAP，|AF|＝|AM|，所以AP⊥MF，|MG|＝|GF|.所以|PM|＝|PF|.所以△MPA≌△FPA．所以∠PFB＝∠PNB＝90°.所以△PFB≌△PNB．所以|PF|＝|PN|.所以|PM|＝|PN|，即点P是MN的中点．所以|PQ|＝eq\f(1,2)(|AM|＋|BN|)＝eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq\f(1,2)|AB|＝4.13．(多选题)(2024·滕州期末)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l.设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的随意一点，P在l上的射影为E，∠EPF的外角平分线交x轴于点Q，过Q作QN⊥PE交EP的延长线于N，作QM⊥PF交线段PF于点M，则()A．|PE|＝|PF|B．|PF|＝|QF|C．|PN|＝|MF|D．|PN|＝|KF|ABD解析：由抛物线的定义，知|PE|＝|PF|，A正确；因为PN∥QF，PQ是∠FPN的平分线，所以∠FQP＝∠NPQ＝∠FPQ，所以|PF|＝|QF|，B正确；若|PN|＝|MF|，由PQ是∠FPN的平分线，QN⊥PE，QM⊥PF得|QM|＝|QN|，从而有|PM|＝|PN|，于是有|PM|＝|FM|，这样就有|QP|＝|QF|，△PFQ为等边三角形，∠FPQ＝60°，也即有∠FPE＝60°，这只是在特别位置才有可能，因此C错误；由A，B知|PE|＝|QF|，因为|EN|＝|KQ|，所以|KF|＝|PN|，D正确．14．(2024·邢台市高三三模)在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx＋m(k>0)交椭圆E：eq\f(x2,4)＋y2＝1于C，D两点．(1)若m＝k＝1，且点P满意eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＝0，证明：点P不在椭圆E上；(2)若椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，直线l与线段F1F2和椭圆E的短轴分别交于两个不同点M，N，且|CM|＝|DN|，求四边形CF1DF2面积的最小值．解：设直线l：y＝kx＋m(k>0)交椭圆E：eq\f(x2,4)＋y2＝1于C(x1，y1)，D(x2，y2)两点．(1)把y＝x＋1代入eq\f(x2,4)＋y2＝1，得5x2＋8x＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(8,5)，y1＋y2＝x1＋x2＋2＝－eq\f(8,5)＋2＝eq\f(2,5).因为eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝－(eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＝(－x1－x2，－y1－y2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，－\f(2,5)))，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，－\f(2,5))).因为eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)))eq\s\up12(2),4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,5)≠1，所以点P不在椭圆E